精品解析：河南镇平县第一高级中学2025-2026学年高三上学期1月期末检测二数学试题

2025-2026学年高三上学期期末检测二 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 从5名医生中选择4人参加为期三天的社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有（ ）种安排方法 A. 180 B. 90 C. 36 D. 30 3. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，．函数，若对任意，不等式恒成立，则实数m最大值为（ ） A. B. C. D. 5. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A B. C. D. 6. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 7. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的个数为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 若在区间上单调递减，则取值范围是 C. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 D. 存在实数，使得成立 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 方程为 B. 到两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 11. 已知正项数列满足为数列的前项和，则（　　） A. 数列为递增数列 B. C. D. 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若等差数列的前n项和，则实数t的值为________； 13. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 14. 已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 19. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． （1）求和的值； （2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高三上学期期末检测二 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1. 已知复数（为虚数单位），则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数除法法则运算可得，再结合复数的概念可得. 【详解】由，则复数的虚部为． 故选：A． 2. 从5名医生中选择4人参加为期三天社区志愿服务活动，这三天中，有一天安排两人，另外两天各安排一人，共有（ ）种安排方法 A. 180 B. 90 C. 36 D. 30 【答案】A 【解析】 【分析】应用分步计数原理结合排列组合数计算求解. 【详解】第一步，从5人中选4人，共有种取法， 第二步，将4人分成三组，共有种分法， 再进行全排有种排法， 由分步计数原理知，共有种安排方法. 故选：A. 3. 中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中是长方体，且，，是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论. 【详解】先求下半部分，表面积为. 再求上半部分， 由于，则， 所以上长方形的面积为. 由已知， 则， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 前后两部分的梯形的高为，， 则这两个梯形的面积之和为. 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 因此总表面积为. 故选：C. 4. 已知向量，．函数，若对任意，不等式恒成立，则实数m的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积的坐标表示得到，再构造函数，求导确定单调性，求得该函数的最小值即可求解. 【详解】由，，， 得， 令， 则在恒成立， 即在单调递增， 即最小值为， 因为对任意，不等式恒成立， 则，故实数m的最大值为， 故选：D 5. 若双曲线E：的右焦点为，则E的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据焦点坐标即可求解，进而求得渐近线方程. 【详解】由于为双曲线的右焦点， 故， 则，所以， 故双曲线的渐近线方程为， 故选：B 6. 在菱形中，，点是的中点，点在线段上（包含端点），则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据向量的线性运算及数量积可得，结合得到范围即可． 【详解】设，因为四边形是菱形， 所以， 由点是的中点，得， 由题意得，， 所以 ， 因为，所以的取值范围是． 故选：D． 7. 已知函数同时满足： ①定义域内任意实数x，都有； ②对于定义域内任意，，当时，恒有； 若恒成立，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断出函数是上的增函数，把转化为，即可求出实数a的取值范围. 【详解】由定义域内任意，，当时，，知：函数是上的增函数. 由题设：，可得， 根据，则，则， 故， ∵函数是上的增函数，有，化简得， 整理得，即， ∵，∴，则的取值范围是． 故选：A 8. 每个正整数都可以唯一表示成以下形式：，其中且为该正整数的“长度”，例如，．若正整数的“长度”为1，则这样的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，而，进而结合组合知识求解即可. 【详解】由题意，，设，而， 则从这11个整数中任取3个不同的数，按照从小到大的顺序安排给， 故满足条件的个数为. 故选：C. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 当时，是的极大值点 B. 若在区间上单调递减，则的取值范围是 C. 若存在唯一的零点，且，则的取值范围是 D. 存在实数，使得成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过求导判断函数的单调性进而确定极值点即可判断A；根据函数在区间上的单调性，分离参数得出关于的不等式，求出函数最值即可判断B；利用导数讨论函数的单调性，结合零点情况确定的取值范围即可判断C;代入函数进行化简验证等式即可判断D. 【详解】由函数可得， 对于A，当时，.所以，当或时，单调递增； 当时，单调递减.所以是的极大值点，故A正确； 对于B，若在上单调递减，则在上恒成立， 即不等式在上恒成立，又在上单调递减，其值域为， 所以的取值范围是，故B错误； 对于C, 由题意，当时，，令，解得， 所以函数有两个零点，不符合题意； 由选项A可知，当时，.所以，当或时，单调递增； 当时，单调递减.所以的极大值为， 极小值且当时，， 当时，，要使存在唯一的零点，则 解得或（舍去），所以，此时，不符合题意； 当时，.所以，当或时，单调递减； 当时，单调递增.所以的极大值为， 极小值且当时，，当时，， 要使存在唯一的零点，且，则， 解得或（舍去），所以. 综上所述，的取值范围是，故C正确； 对于D，， 即， 则有，解得，所以存在，使得成立，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知双曲线：的左、右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，是上三点，且的重心为，则下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 到的两条渐近线的距离之积为 C. 若直线的斜率之积为，则关于原点对称 D. 若直线过点，且在轴两侧，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由焦距和渐近线斜率求出可得双曲线方程判断选项A；由点到直线距离公式结合双曲线方程判断选项B；选项C，设关于原点的对称点为，证明，的斜率之积为3，得重合；设直线的方程为，代入双曲线方程，结合韦达定理和重心坐标公式，由的取值范围， 建立不等式求的取值范围判断选项D. 【详解】由题意，得，，解得，， 所以的方程为，故A正确； 的两条渐近线的方程为，即， 设，则， 所以到的两条渐近线的距离之积为，故B错误； 设，，则关于原点的对称点也在上， 又，的斜率之积为， 又在上， 有，，所以 ， 即，的斜率之积为3， 又直线，的斜率之积为3，都在上，所以重合， 即关于原点对称， 故C正确； 因为，直线过点，设，，， 直线的方程为，由，得， ，所以 ， ， ， 因为在轴两侧，则其横坐标异号， 即， 由可知，所以 ， 因为的重心为，所以，， 又在上， 所以 ， 化简得，所以，即 ， 所以 或 ，即的取值范围是，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知正项数列满足为数列的前项和，则（　　） A. 数列为递增数列 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由可判断，对于B，由得到，即可判断，对于C，由和当时， 得到，即可；对于D，由，裂项相消求和即可. 【详解】对于A，由，得， 所以，即，递增数列，A正确； 对于B，由， 得， 即，又， 则， 所以，B错误； 对于C，由于，当时，， 当时，， 当时，先证，即证， 由于， 所以， 即， 综上：，C正确， 对于D，由，得， 所以，D正确， 故选：ACD 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 若等差数列的前n项和，则实数t的值为________； 【答案】-1 【解析】 【分析】由，得到，又因为是等差数列，再利用等差中项求解. 【详解】因为 所以 又因为是等差数列 所以 解得 故答案为：-1 【点睛】本题主要考查了等差数的前n项和及等差中项，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13. 已知椭圆 的左顶点为，上顶点为， 为坐标原点，若，则的离心率为___________________. 【答案】## 【解析】 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】由题意，即，所以， 因此椭圆的离心率为. 故答案为：. 14. 已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则___ 若，对于任意都成立，则的最大值为 _____ . 【答案】 ①. 0 ②. e 【解析】 【分析】运用两切线斜率相等列式及对数运算公式可求得第一空的结果；同构函数，研究其单调性将题设不等式转化为在上恒成立，再由求导得出函数在上的最小值即可. 【详解】由得，由得， 依题意得，即， 所以，则； 又， 即时，对于任意都成立， 令， 则，所以在上单调递增， 又因为，即， 由函数的单调性，可得对于任意恒成立， 又因为， 即为在上恒成立，所以， 令， 则，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以， 所以的最大值为， 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，内角的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且这样的有两解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据余弦定理化角为边，再根据余弦定理求角； （2）先根据正弦定理得，再根据角范围以及正弦函数图象性质得的取值范围． 【小问1详解】 因为，所以， 所以，， 因为，所以． 【小问2详解】 由正弦定理得， 所以，所以， 因为，所以， 因为这样的有两解，即关于的三角方程在时有两解， 所以，所以． 16. 如图，四边形是正方形，平面，，，，分别为，的中点． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使平面与平面所成角为？若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，的长为或. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线性质，结合线面平行的判定定理，可得答案； （2）由题意建立空间直角坐标系，写出点与向量的坐标，求得平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案. 【小问1详解】 证明：因为分别为的中点，所以在中，， 因为平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 因为平面，且，所以平面， 因为四边形为正方形，所以两两垂直， 以原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图： 由图可得， 由为的中点，则，由为的中点，则， 得，，设，其中. 在平面内，取，，设该平面的法向量， 则，即，令，解得， 所以平面的一个法向量，即为平面的一个法向量. 在平面内，取，， 设该平面的法向量，则， 即，令，解得， 所以平面的一个法向量. 可得，， ， 由题意可得， 化简得，因式分解得，解得或， 故存在坐标为或，使得平面与平面所成角为. 所以长为或 17. 人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为. （1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率； （2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率； （3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式进行求解； （2）由条件概率求解公式可得； （3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，求出的可能取值及对应概率，得到分布列和数学期望. 【小问1详解】 设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件， A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件， 则 ； 【小问2详解】 设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件， 则 ； 由条件概率公式可得 ； 【小问3详解】 设A，B，C三款模型能成功上线为事件， 则，，， 的可能取值为， 则， ， ， ， 所以X的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知椭圆C的两个焦点，，过点且与坐标轴不平行的直线l与椭圆C相交于M，N两点，的周长等于16. （1）求椭圆C的标准方程； （2）若过点的直线与椭圆C交于两点A，B，设直线，的斜率分别为，.求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）依据题意列出关于的方程组求出即可得解； （2）依据题意分直线斜率为0时和直线斜率不为0时两种情况结合韦达定理计算分析即可求证. 【小问1详解】 由题意可得椭圆焦点在x轴上，且，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可知直线斜率存在， 当直线斜率为0时，显然，所以； 当直线斜率不为0时，设直线方程为， 联立方程，消去x可得， 则， 设，则， 所以， 因为， 所以. 综上，为定值0. 19. 对于一个递增正整数数列，如果它的奇数项为奇数，偶数项为偶数，则称它是一个交错数列．规定只有一项且是奇数的数列也是一个交错数列．将每项都取自集合的所有交错数列的个数记为．例如，当时，取自集合的交错数列只有1一种情况，则；当时，取自集合的交错数列有1和1，2两种情况，则． （1）求和的值； （2）证明：取自集合的首项不为1的交错数列的个数为； （3）记数列的前项和为，求使得成立的的最小值． 【答案】（1），； （2）证明见解析； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据交错数列的概念列举出所有情况可得结果. （2）构造数列，则，分析可得对于每一个都有且仅有一个与之对应，由此可证明结论. （3）分析可得，累加可得，由此可得结果. 【小问1详解】 当时，取自集合的交错数列有四种情况，因此； 当时，取自集合的交错数列有七种情况，因此． 【小问2详解】 设数列是取自集合的交错数列， 因为且是奇数，所以， 构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以对于每一个都有且仅有一个与之对应， 所以取自集合的首项不为1的交错数列的个数为． 【小问3详解】 设数列是取自集合的交错数列， 由（2）得，当时，所有交错数列的个数为， 当时，若，则仅有一个交错数列； 若，构造数列，则， 此时数列的个数是取自集合的所有交错数列的个数， 因为数列是递增数列，所以数列与数列，之间一一对应， 又因为，所以数列的所有交错数列的个数为， 综上所述，． 当时，由累加得， 因，所以， 由及（1）得， 显然单调递增， 因为， 所以， 所以使得成立的的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $