精品解析：湖南长沙市周南中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

长沙市周南中学2025年下学期高二年级期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】确定斜率，由斜率与倾斜角的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，则，所以， 又，所以. 故选：C. 2. 二项式展开式中，的系数等于（ ） A. 10 B. －10 C. 80 D. －80 【答案】A 【解析】 【分析】求二项式的通项，令x次数为3即可. 【详解】展开式通项为， 令，解得：， 展开式的的系数为. 故选：A. 3. 已知为等差数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列求和公式及下标和性质计算可得. 【详解】因为，解得. 故选：A 4. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的焦半径公式求解． 【详解】由题意可得，解得. 故选：B． 5. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 【答案】A 【解析】 【分析】由在处有极小值可知，解出的值，并根据单调性验证. 【详解】因为， 所以， 因为函数在处有极小值， 所以，解得或， 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极小值，符合题意； 当时，， 当时，或，当时，， 在处取到极大值，不符合题意； 综上：的值为1. 故选：A. 6. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图，根据空间向量线性运算法则利用表示即可. 【详解】因为 所以. 故选：A. 7. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ） A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种 【答案】D 【解析】 【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解. 【详解】根据题意可知：根据是否入选进行分类： 若入选：则先给从乙、丙、丁个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法； 若不入选：则个人个岗位有种方法，共有种. 故选： 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数求在上的值域记作集合，利用二次函数的单调性求在上的值域，根据题意可得两函数值域的关系，可得关于的不等式组，解不等式即可. 【详解】由可得， 当时，；当时，； 所以在单调递减，在单调递增， 所以，，， 所以在上的值域为，记， 的对称轴为，，， 且在上单调递减，所以， 记， 若对任意的，存在唯一的，使得， 则，所以，解得：， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线可以表示圆 B. 当时，曲线为双曲线，渐近线为 C. 若表示双曲线，则或 D. 当时，该曲线的焦点坐标为和 【答案】AC 【解析】 【分析】根据曲线方程的特点及圆、椭圆、双曲线的标准方程一一分析选项可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若，则椭圆的焦点在轴上，坐标为和，D不正确. 故选：AC. 10. 在下列四个选项，其中正确的有（ ） A. 与向量同方向的单位向量 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由与同方向的单位向量为计算即可得A；根据空间向量的有关定义及其结论，可判断B、C项；根据投影向量的概念，计算可得D项. 【详解】对A：由向量， 则与其同方向的单位向量为，故A正确； 对B：由，故不能得到P，A，B，C四点共面，故B错误； 对C：因为三个不共面的向量可以成为空间的一个基底， 所以当两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底时， 则这两个向量共线，故C正确； 对D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数存在极小值 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先结合，构造函数，利用导函数与求解函数与，则A项可得；B项求导研究函数单调性可得无极值；C项，由得关系，消元得，进而利用基本不等式可得；D项，将不等式变形转化为，再利用整体换元构造函数，利用单调性证明不等式即可. 【详解】由已知可得，构造函数， 则， 所以，其中为常数， 所以，可得，故， 所以，解得，故， A选项，函数在上单调递增，A正确； B选项，，令，其中， 则，令，则， 当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增. 故，所以函数在上单调递增， 即函数无极值，B错误； C选项，因为，所以， 则， 当且仅当时，等号成立，故C正确； D选项，由，则，，故， 不等式，可化为， 即，即， 由，不等式又可化为， 令，即. 下面证明：任意，. 证明：原不等式， 令，即证， 构造函数，， 则， 故在单调递减，由，则， 故得证. 因此，成立，故D项正确； 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直.则的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据两条直线垂直，斜率的关系列式可求出结果. 【详解】，， 依题意得，解得. 故答案为：. 13. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是__________ ①．曲线C过坐标原点 ②．曲线C关于坐标原点对称 ③．曲线C关于坐标轴对称 ④．若点P在曲线C上，则 的面积不大于 【答案】②③④ 【解析】 【分析】设动点坐标为，由已知求出轨迹方程，对选项逐一验证即可. 【详解】由题意设动点坐标为，则， 即， 若曲线C过坐标原点，将点代入曲线C的方程中可得与已知矛盾， 故曲线C不过坐标原点，故①错误； 把方程中的被代换，被代换，方程不变， 故曲线C关于坐标原点对称，故②正确； 因为把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称， 把方程中的被代换，方程不变，故此曲线关于轴对称， 故曲线C关于坐标轴对称，故③正确； 若点P在曲线C上，则， ，当且仅当时等号成立， 故的面积不大于，故④正确. 故选：②③④. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求出的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得. 【详解】双曲线的半焦距为c，渐近线方程为， 点到渐近线距离为，由双曲线定义得， 由为等腰三角形，得，即，因此， 则，所以的离心率为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面内，，，C为动点，若， （1）求点C的轨迹方程； （2）已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)代入法即可求得轨迹方程为圆. (2)由直线l过点(1,2)在圆内即可得到弦长最小值. 【小问1详解】 设，，， ， 得. 【小问2详解】 ，点（1，2）在圆内，当直线l为如图所示位置时，当直线与点(1,2)与圆心连线垂直时，截得弦长CD最短，即，. 故最短弦长为. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用的关系计算即可； （2）先通过分组，然后利用等差数列及等比数列的求和公式来求解. 【小问1详解】 因为数列的前项和， 所以时，， 当时，， 又也适合上式， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）可得，，. 因为，所以， 所以数列的前项和 . 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件先证明线面垂直，进而得证面面垂直； （2）利用空间向量法计算线面夹角正弦值； 【小问1详解】 在梯形中，，故， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，故以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，．易知． 因为是的中点，点是的中点，所以，． ，． 设平面的法向量为，则得 取，则，得平面的一个法向量为 设直线与平面所成角为， 则． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 【答案】（1）. （2）证明见解析 （3）零点个数为0，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）直接求导得，根据即可得到答案； （2），转化为证明在上恒成立即可； （3）通过求导得到的最小值，利用隐零点法证明即可. 【小问1详解】 ，则有，解得，，则. 【小问2详解】 由（1）知，， 设，因为在上单调递增， 则，所以在上恒成立， 所以函数在区间上单调递增. 【小问3详解】 因为，令， 令，得，设， 由（2）知在上单调递增，且，， 故存在唯一零点使得， 即存在唯一零点满足，即得，则， 且当时，，此时单调递减， 当时，，此时单调递增， 所以 ， 当时，，， 则， 则函数的零点个数为0. 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与轴不重合，求△面积的最大值； （3）求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 【答案】（1） （2） （3） 设， （i）当或与轴重合时，直线为轴. 若直线过定点，则该点在轴上，设为， （ii）当与都不与轴重合时，由（2）可知： ， 把换成可得， 因为 且，所以. 解得：， 所以直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意可得，利用椭圆的定义可求得，进而可求得，可求椭圆的方程； （2）设直线的方程为：，与椭圆联立方程组，根据韦达定理可得，结合基本不等式求得△面积的最大值； （3）设，由题意可得定点在点在轴上，设为，由（2）可得的坐标，进而利用，可得，可求得定点坐标. 【小问1详解】 因为椭圆的左､右焦点分别为，所以， 又椭圆经过点， 所以， 所以，所以， 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 由题可设直线的方程为：， 由得，， 令，则，所以， 又因为时，单调递增，所以，所以， 所以， 所以面积的最大值为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2025年下学期高二年级期末考试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 二项式展开式中，的系数等于（ ） A. 10 B. －10 C. 80 D. －80 3. 已知为等差数列的前项和，，则的值为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 9 4. 已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 5. 已知函数在处有极小值，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 1或3 D. 或3 6. 如图，在四棱锥中，点是的中点，设，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ） A. 56种 B. 64种 C. 72种 D. 96种 8. 已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的的0分. 9. 已知曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线可以表示圆 B. 当时，曲线为双曲线，渐近线为 C. 若表示双曲线，则或 D. 当时，该曲线的焦点坐标为和 10. 在下列四个选项，其中正确的有（ ） A. 与向量同方向的单位向量 B. 若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面 C. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 D. 已知向量，，则在上的投影向量为 11. 已知函数及其导函数定义域均为，且满足，，则下列说法正确的有（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数存在极小值 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数在点处的切线与直线垂直.则的值为______. 13. 发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣.像笛卡尔卵形线一样， 笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线.卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点（焦点）的距离之积为常数.已知：曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，则下列命题中正确的是__________ ①．曲线C过坐标原点 ②．曲线C关于坐标原点对称 ③．曲线C关于坐标轴对称 ④．若点P在曲线C上，则 的面积不大于 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为圆心作与的渐近线相切的圆，该圆与的一个交点为，若为等腰三角形，则的离心率为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在平面内，，，C为动点，若， （1）求点C的轨迹方程； （2）已知直线l过点（1，2），求曲线C截直线l所得的弦长的最小值. 16. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和. 17. 如图，在梯形中，，，，将沿折起至，使． （1）求证：平面平面； （2）若点是的中点，点是的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 已知函数，曲线在的切线为． （1）求a，b的值； （2）求证：函数在区间上单调递增； （3）求函数的零点个数，并说明理由． 19. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且椭圆过点.过作两条互相垂直的直线与分别与椭圆交于四点.记弦的中点分别是. （1）求椭圆的方程； （2）若直线与轴不重合，求△面积的最大值； （3）求证：直线过定点，并求出该定点坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $