8.6.2直线与平面垂直的判定课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

直线与平面垂直的判定 漆辉超 汇报人：WPS 一、教学目标 知识与技能： 1.理解直线与平面垂直的意义，探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题； 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中以“化繁为简”的转化思想。 思政感悟： 通过吊脚楼的几何特征，提升学生将数学理论应用于现实生活的能力，增进学生对传统建筑文化的理解与兴趣。能够从这些复杂的建筑技术中，体会到古代劳动人民刻苦钻研、理论结合实际、发展创新的的精神。 汇报人：WPS 二、教学重难点 重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解。 难点：概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线面垂直”转化为“线线垂直”。 汇报人：WPS 环节一：创设情境，引入课题 环节六：归纳总结，反思提升 环节七：目标检测，作业布置 环节二、三：分析概括，形成概念 环节五：概念应用，巩固内化 环节四：辨析理解、深化概念 01 02 05 04 06 03 教学环节 4 三、教学过程 观察土家风情园的吊脚楼，你能得出它的哪些几何奥秘？给你哪些启示？ 问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，还有书脊与桌面的垂直关系，都给我们以直线与平面垂直的形象．那么什么叫做直线与平面垂直呢？ 情境引入 问题2 能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直。观察：如图示，在阳光下观察直立于底面的旗杆AB及它在地面的影子BC. 随着时间的变化，影子BC的位置在不断地变化，旗杆所在直线AB与其影子BC所在直线是否保持垂直？ A B C B′ C′ α 直线AB与其影子BC所在直线始终保持垂直 问题3 如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊AB与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？ 通过对以上现象的观察与分析，可得直线与平面垂直的定义和性质。 书脊AB与桌面垂直， 书脊AB与每页书和桌面的交线垂直。 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α. 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.。 l P α 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 若l⊥α，a⊂α，则l⊥a。 a • A • B 平面α的垂线垂直平面α内的任意直线。 直线与平面垂直的定义 可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条。 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 思考 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。 下面我们研究直线与平面垂直的判定，就是直线与平面垂直的充分条件。 若用直线与平面垂直的定义进行判定，则无法验证直线与平面内的所有直线垂直。那么，能否只需验证直线与平面内部分直线垂直就能判定直线与平面垂直呢？下面我们来看一个实验。 探究 准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD, DC与桌面接触)。 观察： (1) 折痕AD与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？ 不一定 当AD⊥BC时，折痕AD与桌面垂直. 直线与平面垂直的判定 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 符号表示： 思考 定理中的两条相交直线能否改成平行直线，如果改成“无数条直线”呢？ 不能 直线与平面垂直的判定定理 例 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 已知：如图，a//b，a⊥α，求证：b⊥α. 证明： 如图，在平面α内取两条相交直线m，n. ∵a⊥α， ∴a⊥m， a⊥n. 又∵a//b， ∴b⊥m， b⊥n. 又m⊂α，n⊂α，且m,n是两条相交直线. ∴b⊥α. 结论：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 (证明线面垂直的另一方法) 证明：(1) 证明：(2) 证明：(1) 证明：(2) 证明线面垂直的方法总结： ① 线面垂直的定义 ② 线面垂直的判定定理 ③ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(后面学习) ④ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面(后面学习)　 【特别提醒】要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面。 课堂总结 知识总结： 1.直线与平面垂直的概念； 2.直线与平面垂直的判定定理。 思政总结： 1.土家吊脚楼建筑的稳定性关键； 2.精神启示。 课堂总结 1、教材P162：习题8.6（实际运用线面垂直的判定定理） 2、画出土家吊脚楼的截面图。（领略所包含的几何奥秘，体会先辈们的劳动智慧） 谢谢，敬请批评指正 变式1 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F。 (1) 求证：PC⊥平面AEF； (2) 设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD。 变式1 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F。 (1) 求证：PC⊥平面AEF； (2) 设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD。 变式2如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足。 (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB。 变式2如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足。 (1)求证：AN⊥平面PBM； (2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB。 $