安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学12.19周测试题

2025年12月19日数学作业 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列部分和的性质有为等差数列，结合等差中项的性质列方程求值即可. 【详解】由题意为等差数列，则， 所以，则. 故选：C 2．若，，成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等比中项性质得，再代入计算即可得答案. 【详解】因为，，成等比数列， 所以，即，整理得， 由于，所以， 此时，，， 故公比为 所以公比为. 故选：C 3．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线方程可确定直线过定点；求出有公共点的临界状态时的斜率，即和；根据位置关系可确定的范围. 【详解】直线经过定点，又点，， 所以，， 又因为直线的斜率为，所以结合图形可得的取值范围为. 故选：A.    4．已知圆M：上恰有两个点到直线l：的距离为1，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的几何性质，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】已知圆M：，化简为一般式， 可得圆心，半径，设圆心到直线的距离为， 要想圆上恰有两个点到直线的距离为1，只需满足， 即， 整理得：，已知是正数，可得， 解得，综合可得：. 故选：B 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，可得，根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】因为，所以， 又因为，所以数列为首项，公差为3的等差数列， 所以，所以. 故选：D 6．如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的加法运算可得，两边平方并化简可得，从而可得异面直线与所成角的大小. 【详解】由空间向量得，两边平方得， 整理得，所以，则，故异面直线与所成角为． 故选：C. 7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，推理证明得，把问题转化为求点到定点，距离和的最小值作答. 【详解】如图，点在圆上，取点， 连接、，有， 当点、、不共线时，， 又，故，则有； 当点、、共线时，有； 故恒成立， 则， 当且仅当点是线段与圆的交点时取等号， 所以的最小值为. 故选：C. 8．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点之间的距离公式，将转化为点，，，之间的距离的长度的和，作图分析线段和最小值情况即可得结论. 【详解】因为表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 表示点到点的距离， 设，，，， 则表示的长度的和， 如图所示：      当四点共线时，和最小为， 故的最小值是. 故选：D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若非零向量满足，，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 【答案】BC 【分析】通过反例可说明A错误；根据空间向量共面定理可知B正确；根据投影向量的求法可知C正确；根据可确定直线与平面位置关系，知D错误. 【详解】对于A，若，，，则， 满足，，此时与不平行，A错误； 对于B，且，四点共面，B正确； 对于C，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，与不垂直，与不平行且不在内，D错误. 故选：BC. 10．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．当时，的最大值为或 C． D．当时， 【答案】ABD 【分析】由及前n项和公式可得，对于A，由即可判断；对于B，当时，数列单调递减，又，可知在或时取得最大值，即可判断，对于C，由即可判断，对于D，由，可得． 【详解】根据题意可得， 即． 对于A， ； 对于B，， ，，等差数列单调递减， 当时，的最大值为或，故B正确； 对于C，，且公差不为0， ，故C不正确； 对于D，， ，故D正确． 故选：ABD． 11．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（   ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BCD 【分析】由双曲线和椭圆共焦点，得到的关系，判断A，根据切线长性质和双曲线的定义得到，再由，进行判断B，根据双曲线和椭圆的定义得到和的关系式，再利用和离心率公式进行求解，判断C，利用勾股定理得，进而求出椭圆方程，判断D. 【详解】A.由双曲线，，所以，故A错误； B. 设的内切圆的圆心为，且圆心与边相切于， 可得，，， 又因为， 所以， 又，解得：，， 可得的横坐标为1，即的横坐标为1，故B正确； C.在椭圆中，，， 则， 由，得，得， 则的离心率，故C正确； D.因为，， 则，， 若，则， 又，，解得，， 则椭圆方程为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 12．已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 【答案】 【分析】根据与不共线，且数量积小于0列式求解. 【详解】若，则； 由. 所以与夹角是钝角，可得. 故答案为： 13．已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 【答案】 【分析】圆心，当垂直于直线时，切线长最短，从而可求解. 【详解】由题可得圆的圆心，半径， 设切点为，则， 所以当垂直直线时取到最小值， 此时. 故答案为：. 14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】法一：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，将点代入双曲线得到的齐次方程，从而得解； 法二：同法一求出点坐标后，利用两点间距离公式求出关于的表达式，再利用双曲线的定义得到与的关系，从而得解. 法三：设出，再利用线段长度关系、垂直关系得到，再利用双曲线的定义得到，再利用等面积法、勾股定理得到，从而得解. 【详解】 法一：由题意可知，，，设，， 则，，因为， 故，即，即． ，，因为， 所以，即，解得． 因为点在双曲线上，故有， 又，所以，即， 化简得，则，故. 法二：由前面法一得，， 所以， ， 由双曲线的定义可得，即，即， 所以双曲线的离心率． 法三：由可得三点共线，且在线段上，因此不妨令点在第一象限，则点在轴负半轴上，易得． 设，则，所以，， 由可得，所以， 所以，即． 过作，垂足为，则，即， 所以，则，故， 则，即，所以． 故答案为：. 四、解答题 15．已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将直线方程变形为，从而可得直线过定点的坐标； （2）方法一：先讨论和两种特殊情况，再由直线不经过第四象限的条件，解不等式可得结果；方法二：先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在时，数形结合分析得到斜率的取值范围，解不等式可得结果. 【详解】（1）原式化为， 令，解得，所以直线过定点. （2）方法一：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，得直线：，不符合题意； 当且时，，令，解得或， 故k的取值范围为. 方法二：当时，即，得直线：，符合题意； 当时，方程可化为， ，由数形结合可知，解得或， 故k的取值范围. 16．如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得到，再由即可求解； （2）由，结合空间向量数量积的运算性质即可求解. 【详解】（1）因为点为的中点， 所以， 因为，所以， 所以 （2）由题意得， 故 ． 17．已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 【答案】(1) (2)直线CD经过定点 【分析】（1） 弦AB恰好被点平分，则，即可求得斜率，根据点斜式即可得弦AB所在直线的方程； （2）设出点坐标,根据题意可知O，C，Q，D四点共圆，且CD为直径，求出新圆圆心和半径，进而求得新圆的方程，进而求得直线CD的方程，即可得过的定点. 【详解】（1）由圆，得圆心，半径， 又，所以，所以，所以， 即：弦AB所在直线的方程为. （2）直线l与圆O相离，令，线段OQ中点， 因为O，C，Q，D四点位于圆上，又圆， 所以CD是圆O与圆K的相交弦，故． 即，由且，得直线CD经过定点． 18．四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)答案见解析； (2)； (3). 【分析】（1）由平面平面得到平面从而得到， 在上取点，使得，得到四边形为矩形，求出的长度， 在中，利用勾股定理的逆定理得到，从而得到平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解； （3）假设在侧棱上存在点，使得平面，设，，利用空间向量法求解. 【详解】（1），是中点，， 平面平面，平面平面，平面， 平面，平面，， ，是中点，， ，，， ，， ，， 在上取点，使得，且， 四边形为矩形，，， ，，， 在中，，，， ，， ，，平面，平面， 平面； （2）取中点，连接，则， 以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，， 则，，，，，， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，则， ，，设平面的法向量为， ，，取，解得，， ，，，， ，， 设二面角的平面角为，则，， ，，，， （3）假设在侧棱上存在点，使得平面， 设，，， 设，，， ，， ， ，， 平面的法向量为， ，，， 存在点，使得平面， . 19．已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为. (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于、两点（异于点）.设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据斜率之和求出，再将点坐标代入方程中求出； （2）直线，，联立方程组根据韦达定理得出，再利用其求出点的坐标，进而化简直线的斜率. 【详解】（1）双曲线的两顶点为，所以＋＝＝4，即， 将代入的方程可得，，得，故的方程为； （2）依题意，可设直线，， 联立，得， 所以，得， ，则(*)， 又， 令，则 ， 所以， 则点的纵坐标为 将(*)代入得，点的纵坐标为，即， 所以＝， 将(*)式代入上式，得 故直线的斜率为定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 2025年12月19日数学作业 一、单选题 1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．若，，成等比数列，则公比为（    ） A． B． C． D． 3．已知点，，若直线与线段（包括端点）总有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知圆M：上恰有两个点到直线l：的距离为1，则正数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在空间四面体中，已知，，则异面直线与所成角是（    ） A． B． C． D． 7．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点A，B的距离之比为λ（，），则点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．如动点M与两定点，的距离之比为时的阿波罗尼斯圆为．我们来研究与此相关的一个问题：已知圆O：上的动点M和定点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．已知，则的最小值是（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若非零向量满足，，则 B．若对空间中任意一点，有，则四点共面 C．若空间向量，，则在上的投影向量为 D．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 10．已知公差不为0的等差数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（   ） A． B．当时，的最大值为或 C． D．当时， 11．如图，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是在第一象限的公共点，设方程为，则有（   ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 三、填空题 12．已知，，若与夹角是钝角，则取值范围是 . 13．已知为直线上一点，过引圆的切线，则切线长的最小值为 14．已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，，则的离心率为 ． 四、解答题 15．已知直线：（）. (1)求直线过定点的坐标； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围. 16．如图，在空间四边形中，为的中点，点满足，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，求的值． 17．已知圆，直线． (1)若圆O的弦AB恰好被点平分，求弦AB所在直线的方程； (2)点Q是直线l上的动点，过Q作圆O的两条切线，切点分别为C，D，求直线CD经过的定点. 18．四棱锥中，平面平面，，，，，是中点． (1)求证：平面； (2)若二面角的平面角的正弦值为，求出的值； (3)在侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 19．已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为. (1)求的方程； (2)过点的直线与双曲线交于、两点（异于点）.设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $