安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学12.5周测

2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 2024级阜阳三中高二数学12月5日周末作业 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，则下列各数中，不是数列中的项的是（    ） A．0 B．8 C．16 D．24 2．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 8．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 11．在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得平面 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．对于任意的，四棱锥的体积为定值 D．当时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 12．已知数列的前项和为，满足，则 . 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 . 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 四、解答题 15．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 16．已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 17．如图为长方体中，为AD中点，为上的一个动点，连接EF，CF，BE，CE，若，当二面角的正切值为时 (1)点到平面ECF的距离 (2)若点为AK与HD的交点，求异面直线CG与EF的夹角的正弦值. 18．已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 19．若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆：的共轭双曲线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线l（不过点A）与相交于M，N两点，且，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级阜阳三中高二数学12月5日周末作业 一、单选题 1．已知数列的通项公式为，则下列各数中，不是数列中的项的是（    ） A．0 B．8 C．16 D．24 2．已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．已知，，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．若直线与以为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆与双曲线的离心率分别为，，若，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线与圆交于不同的两点，若存在最小值且最小值不大于，则的取值范围为（  ） A． B． C． D． 8．若双曲线不存在以点为中点的弦，则该双曲线离心率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列有关数列的说法正确的是（   ） A．数列，0，4与数列4，0，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列1，，，2，，....，第8个数是 D．数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为 10．已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线C是椭圆 B．当或时，曲线C是双曲线 C．若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则 D．若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则 11．在直三棱柱中，，，，为的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列结论正确的是（    ） A．存在，使得平面 B．直三棱柱外接球的表面积为 C．对于任意的，四棱锥的体积为定值 D．当时，平面与平面夹角的余弦值为 三、填空题 12．已知数列的前项和为，满足，则 . 13．已知双曲线的左､右焦点分别为，点在双曲线上，且，则双曲线的离心率 . 14．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：若动点M与两个定点A，B的距离之比为常数（，），则点M的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知，M是平面内一动点，且，则点M的轨迹方程为 .若点Р在圆上，则的最小值是 . 四、解答题 15．已知为坐标原点，过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点（点在第一象限）． (1)若，，求的值； (2)设点为抛物线准线与轴交点，求． 16．已知点，直线，圆：. (1)过点作圆的切线l，求直线l的方程； (2)若在圆上至少存在三个点到直线的距离为，求的取值范围. 17．如图为长方体中，为AD中点，为上的一个动点，连接EF，CF，BE，CE，若，当二面角的正切值为时 (1)点到平面ECF的距离 (2)若点为AK与HD的交点，求异面直线CG与EF的夹角的正弦值. 18．已知椭圆，的左、右焦点分别为、，过点的直线与椭圆交于，两点，是的中点. (1)若，求直线的斜率； (2)求面积的最大值. 19．若椭圆的长轴长，短轴长分别等于双曲线的实轴长，虚轴长，且椭圆和双曲线的焦点在同一坐标轴上，则称椭圆是双曲线的共轭椭圆，双曲线是椭圆的共轭双曲线.已知椭圆：的共轭双曲线为. (1)求双曲线的标准方程； (2)已知点，直线l（不过点A）与相交于M，N两点，且，求证：直线l恒过定点，并求出该定点坐标. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2024级阜阳三中高二数学12月5日周末作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A B A A D C C BC BC 题号 11 答案 AC 1．C 【分析】利用通项公式逐一代入检验即可判断 【详解】对于A，，故是数列中的项 对于B，，故是数列中的项 对于C，若是数列中的项，则 解之得或，均不为正整数 故不是数列中的项 对于D，，故是数列中的项 故选：C. 2．A 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解，，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 3．B 【分析】先求出圆心，再应用两点间距离公式得出直径，最后应用圆的标准方程求解. 【详解】圆心的坐标为，又由， 可得以线段为直径的圆的方程为. 故选：B. 4．A 【分析】由空间线面位置关系即可判断. 【详解】若，，则或． 当时，则，所以，充分性成立； 当时，即时，和可能平行，可能相交，也可能线在面内，必要性不成立． 故“”是“”的充分不必要条件． 故选：A 5．A 【分析】先求出直线恒过的定点，分别求出直线的斜率，由直线与线段相交，得到直线的斜率和直线的斜率的不等关系，从而得到直线的倾斜角的取值范围. 【详解】直线，即，则直线恒过定点，且斜率为， ，， 直线与以为端点的线段相交，   或，或， 直线的倾斜角取值范围为. 故选：A. 6．D 【分析】根据椭圆与双曲线计算出离心率，结合条件求得，再求出渐近线方程即得 【详解】对于椭圆，离心率为， 对于双曲线，离心率为， 因为，所以， 化简得，解得. 对于双曲线的渐近线为. 故选：D. 7．C 【分析】先根据存在最小值分析出，再根据最小值不大于列出关于的不等式即可求解. 【详解】将直线变形为， 则可知直线恒过定点，且， 若，则直线可和圆相切，如图所示，此时重合，若直线与圆交于不同的两点， 则可不断趋于0，不存在最小值，与题意不符，故， 即在圆内，直线与圆一定交于两点，此时对于任意给定的半径， 根据圆的性质，当时，弦最短，最小，此时弦长， 在中，当时，此时， 由题意，已知最小值不大于，则最小值对应的弦满足， 即，解得， 综上，的取值范围为. 故选：C. 8．C 【分析】先判断点在双曲线外部或在双曲线上，得，再结合过该中点的直线斜率可得另一不等式，最后求解出的范围，结合离心率等式即可求解． 【详解】由题意得点在双曲线外部或在双曲线上，则，得， 假设存在以为中点的弦，设弦与双曲线交于点，， 则，， 由点，在双曲线上，得， 两式作差得， 所以， 因为不存在该中点弦，所以直线AB与双曲线至多一个交点， 则，也即， 所以，则． 故选：C． 9．BC 【分析】A选项，根据数列的定义作出判断；B选项，，B正确；C选项，观察得到第8个数是；D选项，，故D错误. 【详解】A选项，数列，0，4中，， 数列4，0，中，，不是同一个数列，A错误； B选项，，则110是该数列的第11项，B正确； C选项，在数列，，，，，....，第8个数是，C正确； D选项，，故通项公式不为，D错误. 故选：BC 10．BC 【分析】根据椭圆和双曲线的标准方程形式依次判断选项即可. 【详解】当曲线C是椭圆时，，解得或，故A错误； 当曲线C是双曲线时，，解得或，故B正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 若曲线C是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故D错误. 故选：BC 11．AC 【分析】对于A，利用空间向量判断线面关系即可；对于B，先确定外接圆的圆心，从而确定直三棱柱外接球的球心，然后利用球的表面积公式求解即可；对于C，判断四棱锥的高和底面积是否为定值即可；对于D，利用空间向量求平面和平面所成角即可. 【详解】在直三棱柱中， 平面， 且，故两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由，，，， 得， 设平面PQR的法向量为，则， 令，得， 对于A， ， 故，且平面， 故平面，故A正确； 对于B，，故外接圆的圆心为的中点， 因为外接圆是平面与三棱柱外接球的截面圆， 故直三棱柱外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上， 又因为直三棱柱上下底面平行且全等， 故直三棱柱外接球的球心到上下底面的距离相等， 且侧棱，侧棱垂直底面， 所以直三棱柱外接球的球心为， 故直三棱柱外接球的半径 故外接球的表面积：，故B错误； 对于C，直三棱柱知，侧面为矩形， ， 因为，故当时，四边形为直角梯形， 且梯形的面积：， 当时，四边形为矩形， 且矩形的面积：， 故四边形的面积为定值，且点为的中点是一个定点， 平面是一个固定平面， 故点到平面的距离为定值， 因为，分别在棱，上， 所以平面和平面是同一平面， 故到平面的距离为定值，故四棱锥的高和底面积均为定值， 所以四棱锥的体积为定值，故C正确； 对于D，平面的法向量， 当时，， 显然平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 于是， 所以平面与平面所成角的余弦值为，故D错误； 故选：AC 12． 【分析】取得到，时，根据计算得到答案. 【详解】当时，； 当时，， 所以， 代入得； . 故答案为： 13． 【分析】设，由双曲线定义求出，求出，由余弦定理求出，得到离心率. 【详解】设，由双曲线定义可得， 即，所以， 又，， 在中，由余弦定理得， 即，解得，故离心率. 故答案为： 14． 【分析】根据两点距离公式计算即可得第一空，设点P坐标及点，根据圆的方程与两点距离公式化简得出，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】设，则， 整理得（或）. 设，则， 故 . 令，则=. 故答案为：； . 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意设点，直线，联立解出，再利用抛物线的定义，即可求解. （2）根据题意设点，直线，表示出后，利用韦达定理进行化简，即可求解. 【详解】（1）因为点在第一象限，，则， 焦点，准线，， 所以设点，直线， 联立，得，解得，， 由，得. （2）因为点在第一象限，则，焦点，点， 设点，直线， 联立，得， 所以，， 则 ， 综上，的值为0. 16．(1) (2) 【分析】（1）判断点在圆上，利用，得到切线的斜率，进而可得到切线的方程； （2）转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】（1）由圆，可得，圆心，半径. ∴在圆C上， 又，∴切线的斜率， ∴过点P的圆C的切线方程是， 即. （2）由题可知圆心到直线的距离， ∴， ∴. 17．(1) (2) 【分析】（1）先找出二面角的平面角，再由题意求出的长，进而利用等体积公式求解点到平面的距离； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线形成的角的余弦值，进而求正弦值. 【详解】（1）由题可知四边形为长方形，且， 为的中点，，， ，∴为等边三角形， 取的中点，连接，则，且． 在上，，，又，， ，， ∴二面角的平面角为， 依题意，， ，， 设点B到平面的距离为， 则， ， ， . （2）以为原点、所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ，为和的中点，， ， 设异面直线与所成角为， 则， . 18．(1) (2) 【分析】（1）设的方程为，与椭圆方程联立，然后利用向量垂直的坐标运算求得，即可得解. （2）求出点的纵坐标，进而可得的面积，然后利用基本不等式求解最值即可. 【详解】（1）由题意可得直线的斜率不为0，设的方程为. 由，消得，， 设，，则，， 则， ， ，， 因为，所以， 即，所以， 即，整理得到，解得. 所以直线的斜率为. （2）由（1）得，所以的中点的纵坐标为， 所以的面积，当且仅当时，等号成立， 所以的面积最大值为. 19．(1) (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据题中定义可得出双曲线的标准方程； （2）对直线的斜率是否存在进行分类讨论，设出直线的方程，将该直线方程与双曲线方程联立，由题意可得出，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于直线方程中参数的值或参数之间的关系，求出直线所过定点的坐标. 【详解】（1）设双曲线的标准方程为（，）. 因为椭圆：的共轭双曲线为，所以，， 所以双曲线的标准方程为； （2）当直线l的斜率存在时， 设直线l的方程为，，， 联立，消去y并整理得， 此时且， 解得且， 由韦达定理得，， ， 易知，， 因为， 所以 ， 解得或， 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为， 此时直线l恒过点， 当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为， 此时，， 因为，所以， 解得或，直线l不经过点A， 所以，则直线l恒过点. 综上直线l恒过点.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $