8.6.2直线与平面垂直的判定教学设计-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

直线与平面垂直的判定教学设计 1、 教材内容分析 本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习直线与平面垂直的判定定理及其应用。线面垂直是空间中线线垂直位置关系的拓展，又是面面垂直的基础，是空间中垂直关系转化的关键。同时，它又是学习直线和平面所成的角、平面与平面的距离等后续知识的基础。因此，这部分内容在教材中起着承上启下的作用。本节课的学习，可以培养学生提出猜想、验证猜想、发现数学的意识，增强“平面化”和“降维”的转化思想，以及发展空间想象能力。 2、 教学目标 知识与技能： 1.理解直线与平面垂直的定义，探索直线与平面垂直的判定定理，能应用判定定理证明直线和平面垂直的简单问题； 2.在探索直线与平面垂直判定定理的过程中发展合情推理能力、感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”，进一步感悟数学中“化繁为简”的转化思想。 思政感悟： 通过吊脚楼的几何特征，提升学生将数学理论应用于现实生活的能力，增进学生对传统建筑文化的理解与兴趣。并能够从这些复杂的建筑中，体会到古代劳动人民刻苦钻研、理论结合实际、发展创新的精神。 3、 教学重点、难点 重点：对直线与平面垂直的定义和判定定理的理解。 难点：概括线面垂直的定义和判定定理时如何将“线线垂直”转化为“线面垂直”。 4、 教学过程设计 环节一 创设情境，引入课题 师生互动：同学们，我们张家界是国际旅游城市，美丽的风景数不胜数。其中土家风情园的吊脚楼是我们土家族文化的典型代表。下面通过几幅图片，在切身感受我们土家建筑的美的同时，探察土家吊脚楼的几何奥秘。尤其注意直线与平面垂直的几何特征。 引入土家吊脚楼的图片。 师生互动： 师：同学们，我们从这些图片中感受到了吊脚楼的美，也感受到了哪些几何特征？ 生：横梁与横梁垂直，横梁与地面垂直。（线线垂直，线面垂直） 师：对的。不仅从线线垂直、线面垂直的结构中，我们感受到建筑的美，它彰显了古代匠人对于完美、和谐、永恒的深刻理解和追求，也见证了文学与理学交织的精彩，更能感受到我们的祖先们的智慧与创新、刻苦钻研、理论结合实际的精神。而这种难能可贵的精神正是我们现在所需要的。接下来，让我们带着这样的精神去学习今天的内容。 结合课本，引入本节主要内容。 问题1：在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识。比如，旗杆与地面的位置关系，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，还有书脊与桌面的垂直关系，都给我们以直线与平面垂直的形象。那么什么叫做直线与平面垂直呢？ 【设计意图】列举生活中的例子，使学生对直线与平面垂直的概念获得一定的感性认识，化抽象为具体。并引导学生自行总结出定义。 问题2：能否把直观的形象数学化？用确切的数学语言刻画直线与平面垂直。 观察 思考：如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面的影子．随着时间的变化，影子的位置在不断变化，旗杆所在直线与其影子所在直线是否保持垂直？ 师：可以发现，随着时间的变化，尽管影子的位置在不断地变化，但是旗杆所在直线始终与影子所在直线垂直。也就是说，旗杆所在直线与地面上任意一条过点的直线垂直。对于地面上不过点的任意一条直线， 总能在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆所在直线与直线也垂直，因此，旗杆所在直线与地面上任意一条直线都垂直。 问题3：如图示，将一本书打开直立在桌面上，观察书脊与桌面的位置关系，以及书脊与每页书和桌面的交线的位置关系，你能发现什么？ 生：书脊与桌面垂直，书脊与每页书和桌面的交线垂直。 【设计意图】这里是对直线垂直于平面定义的形成过程，结合几何直观感知，就能够在问题的引导下获得思路，利用转化的思想归纳出线面垂直的定义，并让学生体会到定义的本质是直线与直线垂直；强调直线要与平面内的任意直线都垂直，不等于无数。并规范表达，感受数学思维的严密。 环节二 观察分析，感知概念 定义：一般地，如果直线与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线与平面互相垂直，记作。直线叫做平面 的垂线，平面叫做直线 的垂面，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点叫做垂足。 平面 的垂线垂直平面内的任意直线。 注：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直。 环节三 抽象概括，形成概念 思考 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？ 师：可以发现，过一点作垂直于已知平面的直线有且只有一条。 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离。 注： 在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离。 【活动预设】教师提出问题，师生共同探讨，直观感知和操作确认“过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条”，进而提出点到平面的距离的概念，为求棱锥体积做铺垫。 【设计意图】类比平面几何有关性质，结合直线与平面垂直的定义，给出空间类似的性质；呼应前面棱锥的高的概念。 师：下面我们来研究直线与平面垂直的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件。 根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直。那么，有没有可行的方法？ 探究 准备一块三角形的纸片，过的顶点翻折纸片，得到折痕，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(与桌面接触)。 观察： (1) 折痕与桌面垂直吗？ (2) 如何翻折才能使折痕与桌面垂直？为什么？ 师：容易发现，所在直线与桌面所在平面垂直的充要条件是折痕是边上的高。这时，由于翻折之后垂直关系不变，所以直线与平面内的两条相交直线都垂直。 师：事实上，由基本事实的推论2，平面可以看成是由两条相交直线，所唯一确定的，所以当直线垂直于这两条相交直线时，就能保证直线与内所有直线都垂直。 一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理。 定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直。 注： 定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直的相互转化”． 追问（1）：为什么一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，这条直线就和这个平面垂直？图4 图4 图4 图4 可能的回答：两条相交直线可以确定一个平面。 追问（2）：两条平行直线也可以确定一个平面，为什么两条平行直线都垂直于一条直线的时候，直线和平面就不垂直呢？ 可能的回答：直线和平面可以相交但不垂直。 【设计意图】通过实践操作，让学生有直观感受，初步判断刚才的猜想是正确的；不断追问，引导学生进一步的思考，两条相交直线可以确定一个平面，但是更主要的是他们可以表示这个平面内的所以直线，这里可以用平面向量基本定理来给出解释，从而进一步对于判定定理的正确性给出说明，让学生体会直线与平面垂直向直线与直线垂直转化，体会感知化无限为为有限，以及归纳猜想、思辨论证这一研究问题的思维过程。 环节四 辨析理解，深化概念 思考 两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”能否改成“两条平行直线”？如果改成“无数条直线”呢？ 生：不能改为“两条平行直线”，“无数条直线”，因为都有可能是斜交。 环节五 概念应用，巩固内化 例 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。 已知：，，求证 分析：要证明直线，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线垂直于平面内的两条相交直线即可。 证明：如图，在平面内取两条相交直线，。 直线，，．，，，又，，，是两条相交直线，。 【设计意图】通过例题，巩固直线和平面垂直的判定定理，并结合例题让学生把握判定定理中“两条相交直线”这一关键。通过引导学生从线面垂直的定义出发进行证明时，提高学生思维的灵活性，让学生认识到证明线面垂直的不同方法，从而感受判定定理证明的优越性。 变式1 如图，⊥平面，底面为矩形，于点，于点。 (1) 求证：平面； (2) 设平面交于点，求证：。 变式2 如图，为⊙O的直径，垂直于⊙O所在的平面，为圆周上任意一点，，为垂足。 (1)求证：平面； (2)若，垂足为，求证：。 【设计意图】：学生自主练习，并让几个学生上台展示自己的解答过程，分析点评书写过程，指出证明的重要条件和易漏的点，提醒学生注意细节，深刻体会判定定理。 师：学生们，通过这两个例题，我们知道，有哪些方法可以帮助证明线面垂直？ 证明线面垂直的方法总结： ⑴ 线面垂直的定义 ⑵ 线面垂直的判定定理 ⑶ 如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(后面学习) ⑷ 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个平面(后面学习)　 【特别提醒】要证明两条直线垂直(无论它们是异面还是共面)，通常是证明其中的一条直线垂直于另一条直线所在的一个平面。 环节六 归纳总结，反思提升 知识总结：1.直线与平面垂直的概念； 2.直线与平面垂直的判定定理。 思政总结：1.土家吊脚楼建筑的稳定性关键； 2.精神启示。 结语：通过本节课的学习，我们体会到了古代匠人们实用主义与浪漫主义的交织，创新精神与刻苦精神的统一，让我们能够感受到这些静谧的比例之美，那些隐逸的数学之韵，不仅引领我们领略吊脚楼之美，更加领略华夏古建筑的无穷魅力。也希望同学们能够从土家吊脚楼风雨不移的坚定中积蓄力量，在书本与实践中向前奔袭，山止川行，风禾尽起。 【设计意图】 通过小结，梳理本节所学的知识点，并回顾在学习的过程中所采用的思想方法，培养学生对学习内容的反思意识和习惯，建立知识系统，可以用于后续知识问题的解决。总结先辈们的智慧，学习祖先们刻苦钻研、敢于创新的精神，把这种无畏的精神发扬到今后的学习中。 环节七 目标检测，作业布置 1、教材P162：习题8.6（实际运用线面垂直的判定定理） 2、画出土家吊脚楼的截面图。（领略所包含的几何奥秘，体会先辈们的劳动智慧与勇于创新的可贵精神） 【设计意图】加深对判定定理的理解，为后面证明面面垂直做铺垫。自己作图，体会实际生活中线线垂直、线面垂直的几何关系，并激发想象力与创作激情。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $