安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学周测（10.17）

2025年10月17日高中数学作业答案 一、单选题 1．若直线的倾斜角的大小为，则实数（    ） A． B． C． D． 2．在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．如图，二面角等于，是棱上两点，分别在半平面内，，，且，则的长等于（    ）    A． B． C．4 D．2 4．设不同直线：，：，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．在直三棱柱中，，，，分别是，的中点，则直线与直线所成角的余弦值（    ） A． B． C． D． 6．当点到直线的距离取得最大值时，（    ） A． B． C． D． 7．如图，正方体的棱长为6，点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 8．正四面体的棱长为4，空间中的动点P满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．对于直线.以下说法正确的有（    ） A．的充要条件是 B．当时， C．直线一定经过点 D．点到直线的距离的最大值为5 10．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（    ） A． B． C．的长为 D． 11．已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标满足关系式，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 12．已知向量，满足，，且.则在上的投影向量的坐标为 . 13．已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为 ． 14．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是 ． ①直线平面 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线AP与所成角的取值范围是 ④直线与平面所成角的正弦值的最大值为 四、解答题 15．已知直线，直线． (1)若，求，之间的距离； (2)若，求，及轴围成的三角形的面积． 16．如图所示，在三棱柱中，，是的中点. (1)用表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 17．在中，，边BC的中点在轴上，点在轴上，且． (1)求AD的长； (2)求角的平分线与直线的交点坐标． 18．如图，在正四棱柱中，．点分别在棱,上，．    (1)证明：； (2)点在棱上，当二面角为时，求． 19．如图，已知直线过点，且与直线垂直，与轴、轴的正半轴分别交于两点，点为线段上一动点，且，交于点． (1)求线段的垂直平分线方程； (2)若的面积与四边形的面积满足，请你确定点在上的位置，并求出线段的长； (3)判断在轴上是否存在点，使为等腰直角三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年10月17日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A C C B C B D BD BD 题号 11 答案 AD 1．D 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 2．A 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 3．C 【分析】根据题意，可得，再由空间向量的模长计算公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由二面角的平面角的定义知， ∴， 由，得，又， ∴ ， 所以，即. 故选：C. 4．C 【详解】当m＝2时，代入两直线方程中，易知两直线平行，即充分性成立．当l1∥l2时，显然m≠0，从而有＝m－1，解得m＝2或m＝－1，但当m＝－1时，两直线重合，不合要求，故必要性成立，故选C. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法． 1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件． 2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法． 3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件． 5．B 【分析】建立空间直角坐标系，设，利用异面直线所成角的向量法求解即可. 【详解】因为直三棱柱，所以底面， 又底面，所以，， 又因为，所以两两垂直， 以为轴建立如图所示坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设直线与直线所成角为， 则， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 故选：B 6．C 【分析】化简直线为，得到直线经过定点，结合直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值，列出方程，即可求解. 【详解】将直线转化为， 联立方程组，解得，所以直线经过定点， 当直线与该直线垂直时，点到该直线的距离取得最大值， 此时，解得. 故选：C. 7．B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段即可得结果. 【详解】分别以，，为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设，， 则，， 由得，即， 由于，所以，， 所以点的轨迹为面上的直线：，，即图中的线段， 由图知：， 故选：B. 8．D 【分析】分别取BC，AD的中点E，F，由题意可得点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，又，再求出的最值即可求解 【详解】分别取BC，AD的中点E，F，则， 所以， 故点的轨迹是以为球心，以为半径的球面，， 又， 所以，， 所以的取值范围为． 故选：D． 9．BD 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10．BD 【分析】AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算. 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A选项，，A错误， 对于B选项，，B正确： 对于C选项，，则， 则，C错误： 对于，则，D正确. 故选：BD. 11．AD 【分析】化简得到，然后利用点到直线的距离公式对进行分类讨论即可求解. 【详解】由已知得，整理得， 问题可看成有且仅有三条直线满足和到直线(不过原点)的距离t相等， 又， ①当，此时易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及与直线平行的且距离为2.5的两条直线，符合题意，故A正确；    ②当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等， 注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去． 设点A到l的距离为d， （i）作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，符合，即D正确；    （ii）作为增根被舍去的直线l，过原点且与平行，其方程为，此时，不符合，即C错误； ③当，只有两条直线使得点和到它们的距离相等， 不符合题意； 综上，AD正确. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：本题关键是化简得到，将问题转化为有且仅有三条直线满足和到直线 (不过原点)的距离t相等，然后分类讨论即得. 12． 【分析】对两边平方后得到，代入投影向量的公式进行求解即可. 【详解】两边平方化简得：，① 因为，所以， 又，代入①得：，解得：， 所以在上的投影向量坐标为 . 故答案为： 13． 【分析】先求出关于的对称点为，进而得到的最小值为 【详解】设关于的对称点为， 则解得，即． 因为， 所以的最小值为． 故答案为： 14．①②④ 【分析】对于①，利用线面垂直的判定定理及线面垂直的性质定理，即可进行判断；对于②，利用线面平行的判定定理，得出∥平面，再根据三棱锥的体积的计算方法，即可进行判断；对于③，利用异面直线所成角的计算方法，即可进行判断；对于④，通过建立空间直角坐标系，利用坐标法求出直线与平面所成角的正弦值，然后借助二次函数，即可进行判断. 【详解】 对于①，连接， ，，，平面，平面， 平面，平面， ，同理，， ，平面，平面， 直线平面，故①正确； 对于②，∥，平面，平面，∥平面， 点在线段上运动，点到平面的距离为定值， 又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角， 当点位于点时，与所成的角为， 当点位于的中点时，，，此时，与所成的角为， 异面直线与所成角的取值范围是，故③错误； 对于④，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，，， 设平面的法向量，则，即， 令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为： ， 当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故④正确. 故答案为：①②④ 15．(1) (2)． 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． （2）因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 16．(1)； (2)存在，时，. 【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得； （2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可. 【详解】（1） （2）假设存在点，使，设， 显然. 因为，所以， 即 . 设，又， 即， 解得， 所以当时，. 17．(1) (2)． 【分析】（1）设，由边BC的中点在轴上，点在轴上，可得D坐标，据此可得答案； （2）设角的平分线与直线的交点为，由到直线AB，BC的距离相等，验证后可得答案. 【详解】（1）设，因为边BC的中点在轴上，所以，解得． 因为点在轴上，且，所以，解得． 所以，所以．则． （2）设角的平分线与直线的交点为，则易知． 直线BC的方程为，即． 直线AB的方程为，即． 由到直线AB，BC的距离相等，可得，即． 即，解得或． 则交点可能为或， 将坐标代入，，可得， 将坐标代入，，可得， 则在BC，AB 之间满足题意，在BC，AB 同侧，不满足题意. 所以角的平分线与直线的交点坐标为． 18．(1)证明见解析； (2)1 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量坐标相等证明； （2）设，利用向量法求二面角，建立方程求出即可得解. 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，    则， ， ， 又不在同一条直线上， . （2）设， 则， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， 设平面的法向量， 则， 令 ，得， ， ， 化简可得，， 解得或， 或， . 19．(1) (2)点为线段的中点， (3)存在，或或 【分析】1）由题意求出直线的方程，即可求得的坐标，从而得中点坐标，利用点斜式即可得的垂直平分线方程，再化成一般式即可； （2）由，可得，由，得与相似，从而得，即可得答案； （3）假定在轴上存在满足题意的点，分、和分别求解即可. 【详解】（1）因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率， 又直线过点， 所以直线的方程为， 即． 令，得，即； 令，得，即． 则线段的中点坐标为， 又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线方程为， 即； （2）由（1）知直线的方程为，， 因为， 所以， 又， 则与相似， 于是有， 即，得， 此时点为线段的中点， 所以时，点为线段的中点，且； （3）假定在轴上存在点，使为等腰直角三角形， 由（1）知直线的方程为， 如图1，当时，而点在轴上，点在轴的正半轴上，则点必与原点O重合， 设，因为， 所以， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图2，当时， 由，， 知四边形为正方形， 设， 则，， 于是有， 解得，此时满足题意； 如图3，当时， 由，, 得，即， 设， 则，， 显然直线QM斜率为，则直线PM斜率必为1， 即， 解得，此时满足题意． 综上，y轴上存在点或或，使为等腰直角三角形． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年10月17日高中数学作业答案 一、单选题 1.若直线x+心+1=0的倾斜角的大小为名，则实数m=(） A.5 B.3 D.-5 3 3 2.在下列命题中： ①若向量a,b共线，则向量a,b所在的直线平行； ②若向量a,b所在的直线为异面直线，则向量a,五一定不共面； ③若三个向量a,b,c两两共面，则向量a,b,c共面； ④已知空间的三个向量a,,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,2使得 p=xa+yb+zc其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 3.如图，二面角-1-B等于120°，A、B是棱1上两点，BD、AC分别在半平面、B内， AC⊥1，BD⊥I,且AB=AC=BD=2,则CD的长等于() a A A.25 B.2√2 C.4 D.2 4.设不同直线1：2x-my-1=0,Z:(m-1)x-y+1=0,则“m=2”是“1l2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB⊥BC,BB,=V2AB=√2BC,M,N分别是B,C, AB的中点，则直线BM与直线CN所成角的余弦值() A.33 B.2f3 c.v5 D.2V5 13 13 5 15 6.当点M(2,-3)到直线(4m-1x-m-1y+2m+1=0的距离取得最大值时，=() 试卷第1页，共3页 A.2 B. C.-2 D.-4 7.如图，正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为6，点M为CC的中点，点P为底面A,B,CD上 的动点，满足BP⊥AM的点P的轨迹长度为() D P A B M D B A.2√2π B.32 C.65 D.35m 8.正四面体A-BCD的棱长为4，空间中的动点P满足PB+PC=22,则P,PD的取值 范围为() A.[4-2W5,4+25 B.「2,32] C.[4-32,4-2] D.[-14,2] 二、多选题 9.对于直线l:ax+2y+3a=0,l2:3x+(a-1)y+3-a=0.以下说法正确的有() A.4∥Z的充要条件是a=3 B.当a=2时，114 5 C.直线4一定经过点M(3,0 D.点P(1,3)到直线的距离的最大值为5 10.如图，在平行六面体ABCD-A,B,C,D,中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们 彼此的夹角都是60°，M为AC与B,D的交点，若AB=ā，AD=b,AA=c,则下列正确的是 () 试卷第1页，共3页 A B A.--6+ 2 B.AC=a+b+c C.AC的长为5 D.cos(8.. 3 11.已知平面内的点P异于原点，且点P的坐标(x,y)满足关系式 |4x+y+1曰x-3y+1=t√x2+y2，若这样的点P恰有三个，则实数t的值可以是() 52 A. B.23 D.13V29 5 29 三、填空题 12.已知向量a,6满足a=,l,2),=2,且a+=5a-则a+6在a上的投影向 量的坐标为 13.已知点P(1,4),0(6,3,直线1：x+y-3=0,M为直线1上一动点，则|MP|+|MQ1的 最小值为。 14.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P在线段B,C上运动，则下列结论正确的 是 D C B D A B ①直线BD⊥平面AC,D ②三棱锥D-A,C,P的体积为定值 试卷第1页，共3页 ③异面直线AP与A,D所成角的取值范围是 ππ 62 ④直线CP与平面ACD所成角的正弦值的最大值为y6 四、解答题 15.己知直线l:ax-2y+2=0,直线l2:x-(a-1y-2=0. (1)若，1l2,求1，Z之间的距离： (2)若l⊥12，求4，马及x轴围成的三角形的面积. 16.如图所示，在三棱柱ABC-AB,C中， C4=CB=cC,a=a西=6.cC=6a6=ac=5c-受N是4B的点 C B A (1)用ā，b,c表示向量AN; (2)在线段CB,上是否存在点M,使AM⊥A,V？若存在，求出M的位置，若不存在，请说 明理由. 17.在ABC中，A(4,-2),B(6,4),边BC的中点D在x轴上，点M在y轴上，且 aM=2aC. 3 (I)求AD的长： (②)求角B的平分线与直线y=-x的交点坐标. 18.如图，在正四棱柱ABCD-A,B,CD,中，AB=2,AA=4,点A2,B2,C2,D2分别在棱 AA1,BB,CC1,DD上，AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. 试卷第1页，共3页 B A D B D A b (1)证明：B2C2∥4D2; (2)点P在棱BB,上，当二面角P-A,C2-D2为150°时，求B2P. 19.如图，已知直线1过点(3,4)，且与直线3x-4y+2=0垂直，与x轴、y轴的正半轴分别 交于A,B两点，点P为线段AB上一动点，且PQ/10B,P9交OA于点Q. 0⑨八 (1)求线段AB的垂直平分线方程； (②)若△APO的面积S.Pe与四边形OBPO的面积SgPs满足SaPm=,SorB,请你确定点P在 3 AB上的位置，并求出线段PO的长； (3)判断在y轴上是否存在点M,使△MPQ为等腰直角三角形，若存在，求出点M的坐标； 若不存在，请说明理由. 试卷第1页，共3页2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码 粘贴处 准考证号 (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前， 考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只能 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 由监考老师负 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 责用黑色字迹 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 的签字笔填 6、填涂样例正确[回错误【-][[] 选择题（请用2B铅笔填涂) 1、【AJ[B][C]D] 6、【A]IB]IC][D] 11、[A][B]IC][D] 2、[A][B][C]ID] 7、【A]IB]IC]ID] 3、【A][B][C][D] 8、【A]IB]IC][D] 4、IA][B][C]D] 9、IA]IB]IC]ID] 5、【A][B][C][D] 10、【A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、