安徽省阜阳市第三中学2025-2026学年高二上学期数学7.29周测

2025年7月29日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是两条不同的直线，是一个平面，则“与所成的角相等”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．化简计算的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（   ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥但不对立 7．在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 10．如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．异面直线和所成的角为 C．四棱锥的体积为 D．二面角的平面角的余弦值为 11．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则 三、填空题 12． ． 13．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 14．在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 四、解答题 15．已知定义在上的偶函数满足：当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 16．如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 17．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 18．2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 19．如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026届高二（上)数学周练试卷 姓名： 班级： 条码粘贴处 (正面朝上贴在此虚线框内) 准考证号 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚。 考生禁止填涂 2、1 请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][×] 选择题（请用2B铅笔填涂） 1、[A][B][C][D] 6、[A][B][C][D] 11、[A][B][C][D] 2、[A][B][C][D] 7、[A][B][C][D] 3、[A][B][C][D] 8、[A][B][C][D] 4、[A][B][C][D] 9、[A][B][C][D] 5、[A][B][C]ID] 10、[A][B][C][D] 非选择题（请在各试题的答题区内作答） 12题、 13题、 14题、 15题、 16题、 17题、 18题、 19题、 2025年7月29日高中数学作业 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知是两条不同的直线，是一个平面，则“与所成的角相等”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2．化简计算的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 4．已知函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在△ABC中，已知，，，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠MPN的余弦值为（   ）    A． B． C． D． 6．抛掷一枚质地均匀的硬币3次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上”为事件，“三次试验恰有1次正面向上”为事件，“三次试验恰有2次正面向上”为事件，“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”为事件，则下列说法错误的是（   ） A．与不互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D．与互斥但不对立 7．在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱锥的底面与侧面均是边长为2的正三角形，且平面平面，则该三棱锥外接球的表面积是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的图象是轴对称图形 B．在上单调递增 C．的值域为 D．恰有两个零点 10．如图，已知正方体的棱长为1，则下列命题中正确的是（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．异面直线和所成的角为 C．四棱锥的体积为 D．二面角的平面角的余弦值为 11．已知函数 的最小正周期为 ，且 ，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． 的图象关于点 对称 D．若 ，则 三、填空题 12． ． 13．某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为4.2小时，方差为1.96；高一女生锻炼时长平均为3.7小时，方差为1.91，高一年级男生女生人数之比为，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为 ．提示：． 14．在正方体 中，E、F分别是棱的中点.若正方体的棱长为1，则过A、E、F的平面截正方体所得截面的周长为 四、解答题 15．已知定义在上的偶函数满足：当时，. (1)求的解析式； (2)求不等式的解集. 16．如图，四点在同一个圆上，，，为钝角，且. (1)求； (2)记为α，求的值. 17．已知函数． (1)若对任意实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)若关于x的方程有实根，求实数m的取值范围． 18．2025年5月22日16时49分，经过约8小时的出舱活动，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同，在地面科研人员配合支持下，航天员从核心舱节点舱出舱，航天员陈冬时隔两年再度漫步太空．某地区为了激发人们对天文学的兴趣，开展了天文知识比赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，这人按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人． (1)求及的值； (2)根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 19．如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，、分别为、的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面平面； (3)若，二面角的大小为，求． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年7月29日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B B D C C C ABD ABD 题号 11 答案 ABD 1．C 【分析】根据线面角定义和充分条件和必要条件定义判断即可. 【详解】若与所成的角相等，则，此命题不正确，两异面的直线也可与同一平面成相等的线面角， 故“直线与平面所成角相等”不是“”的充分条件. 因为与平行，则与平面所成的角相等， 故“直线与平面所成角相等”是“”的必要条件. 综上，“直线与平面所成角相等”是“”的必要不充分条件. 故选：C. 2．B 【分析】由三角恒等变换求解即可. 【详解】 . 故选：B. 3．B 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 4．B 【分析】借助分段函数性质，分与进行讨论，结合对数函数单调性及其值域可得在上必有一零点，则可得有两个不同非正根，结合根的判别式与韦达定理计算即可得解. 【详解】当时，在上单调递增，且值域为， 所以必有唯一解； 所以当时，有两个不同的根， 即有两个不同非正根，并设其两根为， 即，解得， 由，则，解得， 综上所述：的取值范围为，故B项正确. 故选：B. 5．D 【分析】法1以A为原点，建立平面直角坐标系，求坐标，利用夹角公式即可求解； 法2以为基底，利用平面向量基本定理将向量用表示，利用数量积的夹角公式即可求解. 【详解】法1：以A为原点，建立平面直角坐标系如图：    依题意可知：，，， 则：， ∴ ，， ∴． 故选：D. 法2：∵M，N分别是BC，AC的中点， ∴，． ∵与的夹角等于∠MPN，∴． ∵ ， ， ， ∴． 故选：D. 6．C 【分析】先分析出事件包含的基本事件，再根据互斥事件，对立事件，独立事件的定义对四个选项一一进行判断，得到答案. 【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，共有（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反反正），（反正反），（反反反），共8种结果， 事件“第一次硬币正面向上”包含（正正正），（正正反），（正反反），（正反反），共4种结果， 事件“三次试验恰有1次正面向上”包含（正反反），（反反正），（反正反），共3种结果， 事件“三次试验恰有2次正面向上”包含（正正反），（正反正），（反正正），共3种结果， 事件“三次试验全部正面向上或者全部反面向上”包含（正正正），（反反反），共2种结果， 对于A选项，事件与事件可能同时发生，即（正反反），不是互斥事件，故A正确； 对于B选项，，，， 则与相互独立，故B正确； 对于C选项，，，则与不独立，故C错误； 对于D选项，和互斥但并事件不是全体事件，故它们不对立，故D正确. 故选：C. 7．C 【分析】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【详解】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8．C 【分析】作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，找到球心的位置，设，连接，利用半径相等得到方程，求出，进而求出外接球半径和表面积. 【详解】取的中点，连接，， 因为底面与侧面均是边长为2的正三角形， 所以⊥，⊥， 因为平面平面，交线为，且平面， 所以⊥平面， 在上取点，使得，故为等边三角形的中心， 该三棱锥外接球的球心在平面上的投影为， 其中，，， 设，连接，过点作⊥于点， 则，，， 设，则， 即，解得， 所以，该三棱锥外接球的表面积是. 故选：C 9．ABD 【分析】先算出函数定义域，然后对函数解析式进行化简，再利用复合函数“同增异减”及二次函数、 对数函数性质分析即可得到答案. 【详解】函数的定义域为，故的图象关于直线对称，A正确； 当在上单调递增，且在其定义域内单调递增，B正确； 当时，，故的值域为，C错误； 令，则，易得有两个解，这两个解均在上，D正确． 故选：ABD. 10．ABD 【分析】在正方体中，易得就是直线与平面所成角为可确定A；就是异面直线和所成角或其补角，易得即可确定B；由平面，可得即可判断C；连接，可证就是二面角的平面角，接着求余弦值即可. 【详解】对于A，连接交于， 在正方体中，，即， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 则就是直线与平面所成角，，故A正确； ，就是异面直线和所成角或其补角， 又，所以，故B正确； 平面，，故C错误； 对于D，连接，又，所以， 又，所以就是二面角的平面角， ，，     故选：ABD. 11．ABD 【分析】利用辅助角公式可得，由最小正周期可求得，再由 ，可列出方程组，即可求得，即可求出的解析式，即可对A、B判断求解，利用整体代换法可求得对称中心，即可对C判断求解；利用整体代换法可得，再结合对称轴即可对D判断求解. 【详解】A、B： ，， 由 的最小正周期为 ，得 ， 因为 ， 所以 ，解得 ，故A、B正确. C： ，当 时，，故C错误. D：当 时， ， 因为 ，所以 ，即 ，故D正确. 故选：ABD. 12．1 【分析】把题目分解为多个部分分别计算，利用对数和指数的性质化简，最后合并结果. 【详解】计算： 根据对数的性质，，所以.代入指数表达式，. 计算： 利用对数的换底公式和幂的性质： ， 所以. 计算： 利用对数的减法法则和幂的性质： ， . 计算： . 把各部分结果代入原式： 故答案为：1. 13．2 【分析】根据给定条件，求出该校高一学生每周平均锻炼时长，再利用方差公式计算出方差. 【详解】高一男生、女生锻炼时长平均数为，方差分别为， 则该校高一学生每周锻炼时长的平均数， 所以该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为. 故答案为：2 14． 【分析】采用延长交线法，连接，延迟与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为，再由勾股定理计算可得. 【详解】 采用延长交线法，连接，延长与的延长线交于点，与的延迟线交于点，连接，与分别交于，连接，即截面图形为， 因为E、F分别是棱的中点，由正方形的性质可得， 所以分别为三等分点， 所以， 所以截面的周长为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）设，由时的解析式及奇偶性，求出时的的解析式，即可得到的解析式； （2）利用是偶函数，将转化为，再根据在上单调性，继续转化为，将其两边同时平方后转化为一元二次不等式求解即可. 【详解】（1）设，则， 因为当时，，所以， 因为是定义在上的偶函数，所以， 所以. （2）因为是定义在上的偶函数，且， 所以. 又因为在上单调递增， 在上也单调递增， 所以在上单调递增， 所以，两边同时平方可得， 即，即，解得. 所以不等式的解集为. 16．(1) (2) 【分析】（1）先解，用余弦定理求出，由圆内接四边形性质可得，从而得到，然后在中由余弦定理求； （2）在中由余弦定理，求出，然后由两角和的正弦公式求解. 【详解】（1）为钝角，，则， 在中，由余弦定理，，则， 圆内接四边形对角互补，于是，又，则， 由题知为钝角，则是锐角，于是， 在中，由余弦定理，， 即，解得（负值舍去） （2）由（1）知，，由余弦定理，， 显然，，则， 17．(1)； (2) 【分析】（1）参变分离得到，由基本不等式得到，从而得到不等式，求出； （2）换元，得到有正根，分有两个正根，有一个正根一个负根和有一个正根一个零根三种情况，结合根的判别式和韦达定理得到不等式，求出答案. 【详解】（1）， 又，当且仅当，即时，等号成立， 则，解得； （2）由题，有实根， 令，则有正根， ①有两个正根，； ②有一个正根一个负根，； ③有一个正根一个零根，； 综上，. 18．(1)0.04；200 (2)32.25；37.5 (3) 【分析】（1）依次计算出频率分布直方图中每一组的频率，利用频率之和为1，解方程即可得到的值，利用第一组的人数和第一组的频率，即可得到的值； （2）直接根据频率分布直方图求解平均年龄和第80百分位数； （3）根据分层抽样确定第四组抽取人数与编号，第五组抽取人数与编号，列举样本空间中所有样本点及事件“甲、乙两人至少有一人被选上”的所有符合的样本点，结合古典概型公式计算即可得所求概率. 【详解】（1）根据频率分布直方图可得： 第一组的频率为， 第二组的频率为， 第三组的频率为， 第四组的频率为， 第五组的频率为， 因为频率之和为1，所以，， 解得； 因为第一组的频率为，且第一组有10人， 所以， 解得. （2）设平均年龄为， 则， 设第80百分位数为， 根据每一组频率得：，， 因此第80百分位数出现在第四组， 可列出方程：，，， 解得， 综上，平均年龄为32.25，第80百分位数为37.5. （3）根据题意，进行分层抽样，则第四组抽了人，记为，，，甲， 第五组抽了人，记为，乙， 从第四组和第五组被抽到的使者中，随机抽取2名作为组长，对应的样本空间为： ，，，，，，，，，，，，，，，共15个样本点， 甲、乙两人至少有一人被选上，对应的样本空间为：，，，，，，，，，共9个样本点， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率. 19．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）证明出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可得出结论； （3）由二面角的定义可知为二面角的平面角，则，利用余弦定理求出的长，结合勾股定理可知，分析出为的中点，即可得出的长. 【详解】（1）因为、分别为、的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面．- （2）因为，为的中点，所以， 因为，，所以， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面． （3）因为，，所以为二面角的平面角，则， 由题意知，，， 在中，由余弦定理得， 所以，可得， 在直角中，， 又因为，，，所以，所以， 即，因为为的中点，所以． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $