四川省巴中市南江中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题

高二数学试题 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在掷骰子试验中，记事件：朝上面的点数为3点，则该事件为（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 以上答案都不对 2. 若直线与垂直，则（ ） A. 4 B. 1 C. 4 D. 1 3. 若椭圆上一点与焦点的距离为1，则点与另一个焦点的距离是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 已知双曲线，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在三棱柱中，是的中点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 从数字中先后不放回地取出两个不相同的数，第一个数记为x，第二个数记为y，则 为整数的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 椭圆的右焦点为，，在椭圆上存在点满足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是（   ） A. B. C. D. 8. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，是棱上的一个动点，则下列说法错误的是（ ） A. 平面 B. 点到平面的距离为定值 C. 直线与平面所成角的正弦值的取值范围为 D. 若点四点在同一平面，则点到直线的距离为 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分． 9. 有两组数据，数据A：1，3，5，7，9和数据B：1，2，4，8，16，则（ ） A. 数据A的平均数小于数据B的平均数 B. 数据A的方差小于数据B的方差 C. 数据A的极差小于数据B的极差 D. 数据A的中位数小于数据B的中位数 10. 已知圆：，直线：，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线被圆截得的最短弦长为 C. 圆与圆有四条公切线 D. 当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 11. 几何中有很多对称美，如图所示的图形可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），形状如花瓣，为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A. 开口向上的抛物线的方程为 B. C. 直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D. 阴影区域的面积大于4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 12. 若圆与圆相切，则____． 13. 甲、乙两人独立破译某个密码，甲译出密码的概率为，乙译出密码的概率为，则该密码被破译的概率为_______． 14. 已知单位向量两两的夹角均为（，且），若空间向量满足，，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，有下列命题： ①已知，，则； ②已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值； ③已知，，则； ④已知，，，则三棱锥的表面积. 其中真命题为________（写出所有真命题的序号）． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 15. 某研究机构为了解高二学生课外阅读的情况，随机统计了某校高二年级名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图，现知道课外阅读时间在内的有人． （1）求和的值； （2）估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）． 16. 已知直线，圆． （1）直线，且，求两平行线间的距离； （2）已知为直线上一动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 17. 在学校举行的秋季运动会中，甲、乙两名同学进入乒乓球决赛．决赛规则约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时结束，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立． （1）求打完两局比赛结束的概率． （2）求比赛4局以内（含4局）结束的概率． （3）若比赛结束时，分数较多的一方获胜，求甲获胜的概率． 18. 如图，在四棱锥中,底面是直角梯形,在锐角中,. （1）求证：平面⊥平面; （2）在棱上是否存在一点,使平面?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 19. 已知双曲线，点为坐标原点，过的右焦点的直线交的右支于两点，当轴时，． （1）求的方程； （2）过点作直线的垂线，垂足为． ①证明：直线过定点； ②求面积的最小值． 高二数学试题 本卷满分：150分考试时间：120分钟 一、单项选择题：每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】B 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、多项选择题：每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部份选对得部份分，有选错得0分． 【9题答案】 【答案】ABC 【10题答案】 【答案】AB 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．请将答案填写在答题卡相应位置上． 【12题答案】 【答案】9或49 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】②③ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案填写在答题卡相应的位置上． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，底面为直角梯形， 且，所以，由已知， 又，故平面，又平面，所以平面⊥平面； （2）存在， （3）． 【19题答案】 【答案】（1） （2） ①设，则，由（1）知， 由斜率不为0，可设， 联立双曲线并整理得， 则，， 所以， 由，直线， 根据双曲线的对称性，直线所过定点必在轴上， 令，则，解得， 因为，所以， 而，所以，则， 所以过定点； ② 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $