精品解析：贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期数学期末统考试题

2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二年级数学测试卷 （考试时长；120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数，则（ ） A. 13 B. C. D. 5 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 空间两条直线互相平行的一个充分条件是（ ） A. 直线没有交点 B. 直线与同一个平面所成的角相等 C. 直线都平行于同一个平面 D. 直线都垂直于同一个平面 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 6. 与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知都是正数，向量，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若方程有四个实数根且，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若点的坐标是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 准线方程为 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 11. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 四棱锥的外接球体积为 C. 当时，异面直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过两点的直线的一般式方程为___________. 13. 四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________. 14. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.） 15. 已知三个内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 16. 某中学有50名入团积极分子在参加学校团课培训后进行团知识测试，根据测试成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. （1）求成绩在的入团积极分子的人数； （2）若成绩在前25%的学生可获得“优秀学员”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀学员”？ （3）从低于60分的入团积极分子中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩在同一分组的概率. 17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 18. 已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为. （1）若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若平面经过三点，平面的一般式方程为，直线为平面与平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体为中所有点构成的几何体为.求几何体的体积和的表面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末质量监测 高二年级数学测试卷 （考试时长；120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答题前，务必在答题卡上填写姓名和准考证号等相关信息并贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本测试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 已知复数，则（ ） A. 13 B. C. D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模的概念求值即可. 【详解】由题意：. 故选：C 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先可根据对数的相关性质得出，然后根据根式的相关性质得出，最后根据交集的定义求解即可. 【详解】由题，解得，所以， 又，所以. 故选：B. 3. 空间两条直线互相平行的一个充分条件是（ ） A. 直线没有交点 B. 直线与同一个平面所成的角相等 C. 直线都平行于同一个平面 D. 直线都垂直于同一个平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中的点、线、面的位置关系逐项判断即可. 【详解】对于A，若直线没有交点，则可能异面，可能平行，故A错误； 对于B，若与同一个平面所成的角相等，则直线可能相交， 比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误； 对于C，若都平行于同一个平面，则直线可能相交，故C错误； 对于D，若都垂直于同一个平面，则直线平行，符合充分条件，故D正确. 故选：D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式计算可求解. 【详解】由，得，所以， 所以，所以，所以. 故选：C. 5. 直线与圆的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 【答案】A 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式求得的范围，进而可得结论. 【详解】由圆，得圆心，半径为， 所以圆心到的距离为， 又因为，所以， 所以直线与圆相交. 故选：A. 6. 与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定椭圆焦点的位置即坐标，设双曲线方程为，根据条件确定的值可得双曲线的方程. 【详解】椭圆的焦点坐标为. 可设双曲线方程为：，， 则， 所以所求双曲线方程为. 故选：A 7. 已知都是正数，向量，若，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，利用1的代换可求的最小值. 【详解】因为且，所以，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号. 故的最小值是. 故选：B. 8. 已知函数若方程有四个实数根且，则的值是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，探索和的值，即可得到问题答案. 【详解】根据题意，作出函数的草图如下： 由图可知，当时，方程有四个实数根， 且，关于直线对称，所以； 又，所以，，且， 所以. 所以. 故选：A 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若点的坐标是，则下列选项正确的有（ ） A. B. C. D. 准线方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由条件可得，从而可判断ABD选项，再由焦点弦公式可判断C选项正确. 【详解】由点的坐标是，再由抛物线的定义，，得，故B正确，A错误； 因为，所以准线方程为，故D错误； 由，得抛物线的方程为，将代入方程得，即， 当时，，直线的方程为， 代入，得，即，解得或， 所以.如图： 当时，，直线的方程为， 代入，得，即，解得或， 所以.如图： 所以C正确； 故选：BC. 10. 如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（ ） A. 小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为 B. 当时小球达到最高点 C. 小球往复运动一次经过的时间为秒 D. 当时，小球向下运动 【答案】ACD 【解析】 【分析】分析函数的性质，可判断各选项的正确性. 【详解】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确； 对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误； 对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确； 对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，则下列说法正确的是（ ） A. 三棱锥的四个面都是直角三角形 B. 四棱锥的外接球体积为 C. 当时，异面直线与所成角为 D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用面面垂直的性质判断A选项；利用补形法把四棱锥补成长方体，长方体的体对角线就是四棱锥的外接球直径，再利用球的体积计算公式计算求值判断B选项；建立空间坐标系，利用异面直线夹角的余弦公式计算求值判断C选项；利用直线与平面的夹角公式计算求值判断D选项. 【详解】，是直角三角形， 底面是边长为的正方形，所以是直角三角形， 又是平面与平面的交线，，则平面， 平面，可得：，故是直角三角形， 又是正方形，，，平面， 故平面，又平面，故平面平面， 为平面与平面的交线，平面， 平面，可得：，是直角三角形， 三棱锥的四个面都是直角三角形，A选项正确； 把四棱锥补成长方体，如下图所示 则四棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线， 又，， 则该长方体体对角线长度， 即四棱锥的外接球的半径， 外接球的体积，故B选项正确； 以为原点，方向为轴，过作垂线垂直平面，垂足为， 以方向为轴，建立空间坐标系， ，，， 当时，，则，， 由三角形面积，解得， 则，故， ，， ，C选项错误； 设直线与平面所成角为， 设点到平面的距离为，即点的坐标的绝对值为， 又，在中，， 又，由基本不等式， 当且仅当时成立，即，故最大值为， 即，此时， ， ，D选项正确. 故选：ABD 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 经过两点的直线的一般式方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线的两点式方程即可求解． 【详解】因为直线经过两点， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 故答案为：. 13. 四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断形成的几何体的形状，结合旋转体的表面积公式求解. 【详解】如图： 形成的几何体是下方为圆柱，上方为圆锥的组合体. 因为，，所以圆柱的底面半径为1，高为1，圆锥的底面半径为1，母线长为. 所以，，， 所以该几何体的表面积为. 故答案为： 14. 设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据双曲线渐近线斜率的取值范围确定的取值范围，再用表示出，然后分析的取值范围. 【详解】因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以. 又，， 设，则， 则， 因为， 所以， 即. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.） 15. 已知三个内角的对边分别为，且. （1）求； （2）若，的面积为，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理进行边化角，再结合三角形的内角和、诱导公式、两角和的三角函数可求角. （2）利用余弦定理结合三角形的面积公式列式可求的值. 【小问1详解】 由正弦定理，， 因为，所以， 所以, 所以， 因为，所以，所以. 又，所以. 【小问2详解】 由余弦定理：，所以； 又. 所以. 所以. 16. 某中学有50名入团积极分子在参加学校团课培训后进行团知识测试，根据测试成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，. （1）求成绩在的入团积极分子的人数； （2）若成绩在前25%的学生可获得“优秀学员”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀学员”？ （3）从低于60分的入团积极分子中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩在同一分组的概率. 【答案】（1）8 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据频率和为1求的值，再根据频率和频数的关系求频数. （2）问题转化为根据频率分布直方图估计数据的上四分位数求解. （3）根据古典概型概率的求法求解. 【小问1详解】 因为， 可得. 所以成绩在的入团积极分子的人数约为人. 【小问2详解】 问题可转化为根据频率分布直方图估计数据的上四分位数. 因为，， 所以成绩的上四分位数在区间内，且等于. 即成绩至少要达到分才可以被评为“优秀学员”. 【小问3详解】 成绩在入团积极分子的人数为人，记为； 成绩在入团积极分子的人数为人，记为. 从这5人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，共10个. 其中这2名学生成绩在同一分组对应的基本事件有：，，，，共4个. 设事件：这2名学生成绩在同一分组，则. 17. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点. （1）求证：平面平面； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再根据线面垂直判定面面垂直. （2）设二面角，利用可得二面角的余弦，再根据同角三角函数的基本关系求. 【小问1详解】 因为为等边三角形，为中点，所以. 又三棱柱为正三棱柱，所以平面， 又平面，所以. 因为平面，，所以平面. 又平面，所以平面平面. 【小问2详解】 过作，垂足为，连接.如图： 因为，所以，所以， . 所以，， 设二面角，则， 所以， 所以. 18. 已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点. （1）求椭圆的标准方程； （2）当的面积最大时，求直线的方程； （3）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求的值，可得椭圆的标准方程. （2）根据过的直线与直线平行，且与椭圆相切，求出点坐标，再利用两点式求直线的方程. （3）设直线：，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示出，再结合，用表示的面积，再求其最大值. 【小问1详解】 由题意：， 所以椭圆的标准方程为：. 【小问2详解】 因为，，所以. 如图： 设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值. 将代入，得， 整理得：， 由， 又，所以. 此时点坐标为：. 所以直线方程为：，整理得：. 【小问3详解】 因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：， 代入，整理得：. 设，， 则，， 所以， 所以. 由. 设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5. 所以. 所以面积的最大值为：. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为. （1）若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值； （2）若平面经过三点，平面的一般式方程为，直线为平面与平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体为中所有点构成的几何体为.求几何体的体积和的表面积. 【答案】（1） （2）平面的一般式方程为；直线的一个单位方向向量为或 （3）的体积；的表面积为 【解析】 【分析】（1）由题可得平面的一个法向量，再利用空间向量法即可求线面角的正弦值； （2）根据题意可求平面的一个法向量，再根据平面的点法式方程化简即可求面的一般式方程，根据交线l与两平面的法向量垂直即可求交线l的一个方向向量，再转化为单位向量即可； （3）由题知集合是边长为2的正方体，利用平面的一般式方程分析集合由8个相同的三棱锥组成，根据相关长度即可求的体积，再分析两个几何图形截面相交的图形即可求的表面积. 【小问1详解】 平面的一般式方程为， 则平面的一个法向量，设直线l与平面所成角为， 所以， 即直线l与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 因为，所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以平面的一个法向量为， 又平面经过，所以平面的点法式方程为， 即； 因为平面的一般式方程为，则平面的一个法向量， 设直线的一个方向向量， 又直线为平面和平面的交线， 则，令，则， 所以直线的一个方向向量为， 所以直线的一个单位方向向量为或； 【小问3详解】 集合，所以集合是以原点为中心，边长为2的正方体， ，当时，即， 根据题意知是平面的一般方程，且过， 则，形成的是一个三棱锥，如图所示， 由对称性，所以形成的立体几何图形由8个相同的三棱锥组成， 体积， 当时，的一部分如图所示， 则由对称性，表面由8个边长为的正三角形6个边长为的正方形组成， 的表面积为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $