福建省厦门第六中学2025-2026学年八年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年福建省厦门六中八年级（上）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图所示的4个图案中是轴对称图形的是(    ) A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线 C. 赵爽弦图 D. 太极图 2.要使分式有意义，则x的取值应满足(    ) A. B. C. D. 3.下列计算正确的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，≌，，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 5.下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是(    ) A. B. C. D. 6.大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点.如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴镜面厚度忽略不计建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是，此时对应的虚像的坐标是，则x的值为(    ) A. 3 B. C. 2 D. 7.如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是(    ) A. B. C. D. 8.科学活动小组同学去距离学校12千米的科技馆参观.一部分同学骑自行车先出发，过了30分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达.已知大巴车的行驶速度是自行车速度的2倍，求自行车的速度.若设自行车的速度为x千米/时，则所列方程为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P使最短，则点P应选在(    ) A. A点 B. B点 C. C点 D. D点 10.在平面直角坐标系xOy中，点，，，，若OB平分，且，则的值为(    ) A. 9或12 B. 9或11 C. 10或11 D. 10或12 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.要使式子有意义，则x的取值范围是      . 12.“墙角数枝梅，凌寒独自开.遥知不是雪，为有暗香来.”出自宋代诗人王安石的《梅花》.诗人以梅花的坚强和高洁品格喻示那些处于艰难环境中依然能坚持操守、主张正义的人.梅花的花粉直径约为，将数据用科学记数法表示为      . 13.因式分解        . 14.整体代换是数学中重要的解题思想，其本质是将题中某些未知量的关系式当作整体，而不具体求解未知量.若，则        . 15.如图，在中，，点D是AB的垂直平分线与BC的交点，将沿着AD翻折得到，则的度数是      . 16.如图，和中，，，，点A在DE上，若AE：：2，则和重叠部分的面积为        . 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 17.解分式方程： 四、解答题：本题共8小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 18.本小题10分 计算： ； 19.本小题8分 如图所示，小阳同学为电力公司设计了一个安全用电的标识，点A、D、C、F在同一条直线上，且，，求证： 20.本小题8分 先化简，再求值：，其中 21.本小题8分 如图，在中， 尺规作图，在边BC找一点D使得； 在的条件下，若，求证： 22.本小题10分 如图，在中，，DC平分，交AB于点C，且，过C作交DB于点E，连接  求证：是等边三角形.  求证： 23.本小题10分 如图，某小区有一块长为米、宽为米的长方形地块.该长方形地块正中间是一个长为米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将如图阴影部分进行绿化，对四个角的四个正方形采用A绿化方案，对正中间的长方形采用B绿化方案. 绿化方案的每个正方形边长是多少米？B绿化方案的长方形另一边长是多少米？用含a的代数式表示； 、B两种绿化方案的面积有没有可能相等？若有可能，求出a值；若没有可能，说明理由； 若采用A、B两种绿化方案的总造价相同，均为2700元，请你判断哪种方案单位面积造价高？并说明理由. 24.本小题12分 在平面直角坐标系xOy中，点A与点B关于x轴对称.对于点A和点B，如果存在点P，使且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”. 如图，点，在，，，中，点A关于点B的“x轴垂半点”是______； 如果点是点E关于点F的“x轴垂半点”，那么点E的坐标是______； 已知点，，点A是线段MN上任意一点，如果点G是点A关于点B的“x轴垂半点”，那么点G的横坐标t的取值范围是______. 25.本小题14分 如图，点，点分别为y轴正半轴、x轴负半轴上的点，以点B为直角顶点在第二象限作等腰 如图1，若a、b满足，则点C的坐标是______； 如图2，点M在AC上，点N在CA的延长线上，，且，求的度数； 如图3，延长CB交y轴负半轴于点E，若，求的值用含a、b的式子表示 答案和解析 1.【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】 解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选 2.【答案】D  【解析】解：依题意得：， ， 故选： 根据分式的分母不为0即可求解． 此题主要考查分式的有意义的条件，解题的关键是熟知分式有意义时分母不为零． 3.【答案】A  【解析】解：， 正确，符合题意； ， 不正确，不符合题意； ， 不正确，不符合题意； ， 不正确，不符合题意； 故选： 根据同底数幂的运算法则计算判断即可； 根据同底数幂的除法运算法则计算判断即可； 根据幂的乘方运算法则计算判断即可； 根据积的乘方运算法则计算判断即可． 本题考查同底数幂的乘法、除法及幂的乘方与积的乘方等，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键． 4.【答案】C  【解析】解：，，， ， ≌， ， 故选： 根据全等三角形的性质求解即可． 此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，熟记全等三角形的性质是解题的关键． 5.【答案】A  【解析】解：把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项符合题意； B.，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意； C.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； D.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故此选项不符合题意； 故选： 根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，可得答案． 本题考查了因式分解的意义．解题的关键是掌握因式分解的意义，因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，注意因式分解与整式乘法的区别． 6.【答案】B  【解析】解：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 由图和题意，得：， 故选： 根据平面镜成像原理，点S与关于y轴对称，根据对称的性质可得x的值． 本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 7.【答案】B  【解析】解：根据尺规作图的痕迹可得， 可以理解成是平角的角平分线， ，AD是的平分线， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 不是AB的垂直平分线，故不能证明， 综上所述：A，C，D不符合题意，B符合题意， 故选： 由尺规作图的痕迹可得，，AD是的平分线，根据同角的余角相等可判断A，根据角平分线的性质可判断C，证得可判定D，由于DE不是AB的垂直平分线，不能证明 本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，直角三角形的性质，解题的关键是根据尺规作图的痕迹可判断出，AD是的平分线． 8.【答案】A  【解析】解：设自行车的速度为x千米/时，则大巴车的行驶速度为2x千米/时， 由题意得：， 故选： 设自行车的速度为x千米/时，则大巴车的行驶速度为2x千米/时，根据一部分同学骑自行车先出发，过了30分钟后，其余同学乘坐大巴车出发，结果他们同时到达，列出防水层即可． 本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 9.【答案】C  【解析】解：如图，点是点M关于直线l的对称点，连接，则与直线l的交点，即为点P，此时最短， 与直线l交于点C， 点P应选C点． 故选： 首先求得点M关于直线l的对称点，连接，即可求得答案． 此题考查了轴对称-最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点． 10.【答案】B  【解析】解：点，，，， 点A在y轴正半轴上，点B在第一象限，点C在x轴上． 平分， ， ， ， ， 或5， 若OB平分，且，则的值为9或 故选： OB平分，则点B的横坐标与纵坐标相等．与的距离的平方为： 本题考查有关角平分线的定义、两点之间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识灵活运用． 11.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次根式有意义的条件有关知识，根据进行解答. 【解答】 解：由题意可得：， 解得： 故答案为 12.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13.【答案】  【解析】解：原式 ， 故答案为： 直接利用完全平方公式因式分解即可． 本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：当时，原式 故答案为： 根据已知条件将要求代数式变形，然后整体代入求值即可． 本题考查代数式求值，按照代数式规定的运算，计算的结果就是代数式的值． 15.【答案】  【解析】解：点D是AB的垂直平分线与BC的交点， ， ， ，， 将沿着AD翻折得到， ， 故答案为： 由线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到，由三角形外角的性质和三角形内角和定理求得，，根据翻折的性质求得，进而求得的度数． 此题考查翻折的性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理和外角的性质，解题的关键是掌握翻折的性质和线段垂直平分线的性质． 16.【答案】3  【解析】解：设AB与CD相交于点O，连接BD，作于点M，于点N，如图所示： ，， 在和中， ， ≌， ，， ， 平分 又，， ， ：：2， ：：2 在中，， ， ， ， 故答案为： 设AB与CD相交于点O，连接BD，作于点M，于点N，先证明，根据条件算出4BC的面积，再求出OA与OB的比值即可解决问题． 此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直三角形的性质、平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法确定线段之间的关系． 17.【答案】解：去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验是分式方程的解．  【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 18.【答案】    【解析】解：原式 ； 原式 利用二次根式及绝对值的性质，负整数指数幂计算后再算加减即可； 利用完全平方公式，平方差公式计算后再算加减即可． 本题考查整式的混合运算，实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 19.【答案】证明：， ， ， ，即， 在和中， ≌，   【解析】结合平行线的性质求出，利用SAS证明≌，根据全等三角形的性质即可得证． 此题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 20.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将m的值代入即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 21.【答案】解：如图，点D即为所求； 证明：如图， ， ， ， ， ， ， ，   【解析】作线段AC的垂直平分线交BC于点D； 证明，推出可得结论． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 22.【答案】证明：平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  是等边三角形；  ，  ，  ，  是等边三角形，  ，  ，，  ，  ，  是BD的中点，  是边BD的中线，  是等边三角形，    【解析】直接根据等边三角形的判定定理可得结论；  由平行线的性质可得，根据等边三角形的判定与性质可得，再由直角三角形的性质可得AE是边BD的中线，最后再由等边三角形的性质可得答案． 此题考查的是等边三角形的判定与性质、平行线的性质、直角三角形的性质等知识，掌握其性质定理是解决此题的关键． 23.【答案】A绿化方案的四个正方形边长米；B绿化方案的长方形的另一边长米；   没有可能．理由如下： 设A绿化方案面积为，B绿化方案面积为，根据题意得： ，， 假设，则， ， ， ， ，显然不成立， 、B两种绿化方案的面积没有可能相等；   A绿化方案单位面积造价高，理由： 由  可得，A绿化方案单价为：， B绿化方案单价为：， ， ， ， 即， 绿化方案单位面积造价高  【解析】绿化方案的四个正方形边长： 米； B绿化方案的长方形的另一边长： 米； 没有可能．理由如下： 设A绿化方案面积为，B绿化方案面积为，根据题意得： ，， 假设，则， ， ， ， ，显然不成立， 、B两种绿化方案的面积没有可能相等； 绿化方案单位面积造价高，理由： 由可得，A绿化方案单价为：， B绿化方案单价为：， ， ， ， 即， 绿化方案单位面积造价高． 根据题意表示出A、B绿化方案的边长或另一边长即可； 分别表示出A、B型的面积，利用作差法判断大小即可； 分别表示出A、B方案的面积，进而表示出两种方案的单价，比较大小即可． 本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24.【答案】，  或  或  【解析】解：如图： ， 关于x轴的对称点， ， 且，那么称点P为点A关于点B的“x轴垂半点”， 点A关于点B的“x轴垂半点”坐标是和，即和； 故答案为：，； 如图： ， 根据点E关于点F的“x轴垂半点”定义可得，， 当EF在Q右侧时，F坐标为，即， ，F关于x轴对称， ； 当EF在Q左侧时，同理可得； 故答案为：或； 如图： 当A与M重合时，A关于x轴对称点B坐标为， ， 由G是点A关于点B的“x轴垂半点”定义可得，，即，， 当A与N重合时，同理可得，， 当A在线段MN上移动时，若G在AB右侧时，则G在上运动，此时G的横坐标t的取值范围是； 若G在AB左侧时，则G在上运动，此时G的横坐标t的取值范围是； 故答案为：或 根据定义可得点A关于点B的“x轴垂半点”坐标是和，即和； 由可得，，当EF在Q右侧时，F坐标为，故；当EF在Q左侧时，同理可得； 当A与M重合时，A关于x轴对称点B坐标为，由G是点A关于点B的“x轴垂半点”定义可得，，即，，当A与N重合时，同理可得，，画出图形可得答案． 本题考查几何变换综合应用，解题的关键是读懂题意，理解点A关于点B的“x轴垂半点”的定义． 25.【答案】    ，作点E关于x轴的对称点，连接，设， ：，， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ，，， ， ， ，   【解析】解：， ，， ，， ，， 过点C作轴于 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ，，， ≌， ，， ， 点C的坐标为：， 故答案为：； 过点B作，使，连接PM、PC， ， ， 在和中， ，， ≌， ， ， ， 在和中， ，，， ≌， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ， ， ， 即； ，作点E关于x轴的对称点，连接，设， ：，， ， ， ， ，， 为等边三角形， ， ， ，，， ， ， ， 过点C作轴于求出，，证明≌，则，，求出即可得到答案； 过点B作，使，连接PM、PC，再证明≌，可得，证明≌进而可得是等腰直角三角形，可得，再根据，即可求出，即可解答； 作点E关于x轴的对称点，连接，设，结合已知条件可得一x，则有为等边三角形，可得一x，即则有，，再根据等积面积法可求得，即可解答． 本题考查了全等三角形的判定和性质，非负数的性质，以及等腰三角形的判定和性质，利用等积面积法求线段长，解题关键是正确作出辅助线，熟练掌握全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的判定和性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $