28.1 锐角三角函数 讲义 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十八章锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数(一)正弦 易错点睛 在 Rt△ABC中,AC=5,BC=12,则 sinB 的值为 . 【点睛】当直角边与斜边不明时，应分类讨论. A基础题夯实 知识点1 正弦的定义 1.把 Rt△ABC 的各边长都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦值() A.不变 B.扩大为原来的3倍 C.缩小为原来的 D.不能确定 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB 于点D,则下列结论错误的是( ) 知识点2 知边长求正弦值 3.如图是人行天桥的示意图，若高BC 长为10米，斜道AC 长为30米，则sinA的值为 . 4.如图,在菱形ABCD 中,AB=5,AC=8,则sin∠BAC的值为 . 5.如图,∠1的顶点为A(1,0),另一边AP 经过点P(-2,4),则 sin∠1的值为 . 知识点3 知正弦值求边长 6.在 Rt△ABC中, 则AB 的长为 . 7.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°.若 求 AC 的长. B中档题运用 8.如图，网格中的小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则 的值为 . 9.如图, 于点E，AB=10,AC=8,则 的值为 . 10.如图，O是等腰 的底边BC 的中点，腰AC 与半圆O 相切于点D，BC 与半圆O 交于E,F 两点,连接OA.若CD=4,CF=2,则sin∠OAC 的值为 . 11.如图,在△ABC 中,∠C=90°. (1)实践操作：用尺规作图法作∠A 的平分线AD交BC 于点D；(不写作法，保留作图痕迹) (2)问题解决:在(1)的条件下,若 BD=2CD,求 sin∠BAC 的值. C综合题探究 12.(1)【问题背景】如图1，锐角三角形ABC 内接于半径为r的⊙O，求证： (2)【问题解决】如图2,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,BC=9,AC=12,经过点 B 的⊙O交AB于点D，交CB 的延长线于点E. ①直接写出 sin∠ABC 的值为 ; ②连接 DE.若⊙O 的半径为5,求 DE 的长. 第2课时 锐角三角函数(二)余弦、正切 易错点睛 如图,点 A 的坐标是(-2,3),则 tanα= ,cosα= . 【点睛】应理解余弦，正切的定义. A基础题夯实 知识点1 余弦的定义 1.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4,AC=1,则cosA 的值为( ) A. 2.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别是a,b,c,则下列表达式正确的是( ) C. c=a·cosA D. c=a·sinA 3.如图,点A 为∠α边上的任意一点,过点 A 作AC⊥BC 于点C,过点C作CD⊥AB 于点 D.下列用线段的比表示cosα的值，错误的是() 知识点2 正切的定义 4.在△ABC中,AB=10,AC=6,BC=8,则tanA 的值为 . 5.在 Rt△ABC中,∠C=90°,AB=3BC,则 tanB 的值为 . 6.如图，在每个小正方形的边长都为1的网格中，△ABC 的顶点均在格点上，则∠A 的正切值为 . 7.如图,在△ABC 中,∠C=90°,若 求 tanA,tanB 的值. 知识点3 锐角三角函数 8.如图,在 Rt△ABC 中, ,分别求 sinB,cosB,tanB 的值. B中档题运用 9.如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则 的余弦值是 . 10.如图, 以点O 为圆心，2为半径画弧，分别交OM，ON 于点A,B,再分别以点 A,B为圆心, 为半径画弧，两弧在 内部相交于点C，作射线OC，连接AC,BC,则 tan∠OCB 的值为 . 11.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章记载了有关弧田的问题.弧田(如图)是由圆弧和其所对的弦所围成，“弦”即圆弧所对的弦长AB，“矢”等于半径长与圆心O到弦的距离之差.在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则cos∠OAB 的值为 . 12.如图,在 Rt△ABC 中, (1)实践操作：用尺规作AB 的垂直平分线，交直线BC 于点D；(不写作法，保留作图痕迹) (2)问题解决:在(1)的条件下,连接AD.求 cos∠ADB 的值. C综合题探究 13.如图,在平面直角坐标系中,已知C(0,4),P(2,0),D(0,3m+1),Q(2,1-m). (1)求 的值； (2)当四边形CDPQ是直角梯形时，求其最小内角的正切值. 第3课时 特殊角的三角函数值 易错点睛 判断:若0°<∠A<90°,则 sin2A=2sinA( ). 【点睛】可取特殊角进行验证，当∠A=30°时， 而2sinA=1. A基础题夯实 知识点1 特殊角的三角函数值 2.在△ABC 中,∠A=105°,∠B=45°,则 cosC 的值为 . 3.如图,正方形ABCD 内接于⊙O,P 是 上的一点(不与点A，D重合)，则 sin∠APB 的值为 . 知识点2 特殊角的三角函数值的计算 4.计算: 知识点3 利用三角函数值求特殊角 5.已知∠A 为锐角，若 则∠A 的度数为 ；若 则 的度数为 . 6.已知α为锐角，若 则 tanα的值为 . 7.已知 且 则α的度数是 . B中档题运用 8.在△ABC 中,∠A,∠B 均为锐角,且满足 则∠C 的度数为 . 9.如图,AB 是⊙O的直径,C 是⊙O 上的一点,过点 C 作⊙O 的切线,交BA 的延长线于点P,连接AC,BC.若 求证:AC=AP. 10.定义一种运算: sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.例如:当 时， 利用此定义，求 的值. 11.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),B(0,- ),点C 在x 轴上(位于点 A 右侧)，连接AB,BC.若 求点 C 的坐标. C综合题探究 12.如图,AB 是⊙O 的直径,半径( ,垂足为 O,P 是 BA 延长线上一点,连接CP,交⊙O 于点D,连接AD,且 (1)求∠C 的度数; (2)过点 P 作⊙O的切线,切点为 E,交 CO 的延长线于点F,求( 的值. 第1课时 锐角三角函数(一)正弦 易错点睛 或 基础题夯实 1. A 2. D 3. 4. 5. 6.15 7.解:在 Rt△ABC中, 中档题运用 8. 9. 10. 11.解:(1)如图所示; (2)过点 D 作DE⊥AB 于点 E,则 DE=CD. 设DE=CD=a,则BD=2a, 90°, ∴∠BAC=∠BDE, 综合题探究 12.解:(1)作直径CA',连接A'B,则∠A'BC=90°,∠A=∠A'.在 Rt△A'BC 中, ②作直径 DF,连接EF,则由(1)知 ∴DE=10sinF. ∵∠ABC +∠DBE =∠DBE +∠F=180°, ∴∠F=∠ABC, 第2课时 锐角三角函数(二) 余弦、正切 易错点睛 基础题夯实 1. A 2. B 3. C 4. 5.2 6. 7.解: ∴设AC=3a,AB=5a, ∴BC=4a, 8.解:设AC=m,则BC=2AC=2m, 中档题运用 10. 11. 12.解:(1)如图所示; (2)由(1)知AD=BD. ∴可设 则AD=BD=x+3, ∴在Rt△ACD中, ∴x=1, ∴CD=1,AD=4, 综合题探究 13.解:(1)∵C(0,4),D(0,3m+1), ∴CD=|3m-3|=3|m-1|. ∵P(2,0),Q(2,1-m), ∴PQ=|1-m|, (2)由题意,知CD∥PQ. ①当∠CDP=∠DPQ=90°时(如图),则D(0,0), Q ∴3m+1=0, DP=2. 过点 Q 作QG⊥CD 于点G,则四边形 PDGQ 是矩形, ∴在 Rt△CQG 中, tan∠DCQ = ②当∠DCQ=∠CQP=90°时,则CQ∥x轴,Q(2,4), ∴1-m=4,∴m=-3, ∴D(0,-8),∴OD=8, ∴在 Rt△OPD 中,tan∠CDP = 综上所述，该直角梯形最小内角的正切值为 或 第3课时 特殊角的三角函数值 易错点睛 × 基础题夯实 1. . 2. 3. 4.解:(1)原式 (2)原式 =2; (3)原式 ×1 (4)原式 5.60°60°6. 7.80° 中档题运用 8.105° 9.解:连接OC. ∵PC与⊙O 相切于点C, ∴∠OCP=90°. ∴∠B=30°, ∴∠COP=2∠B=60°, ∴∠P=30°,△AOC 是等边三角形, ∴∠OCA=60°, ∴AC=AP. 10.解: 11.解:∵A(1,0),B(0,- ),∴OA=1,OB= ∴∠OBA=30°. ∴∠ABC=30°, ∴∠OBC=60°. ∴C(3,0). 综合题探究 12.解:(1)连接OD. ∵OA=OD, ∴∠ODA=∠OAD=75°, ∠OAD)=30°. ∵OC⊥AB, ∵OC=OD, ∴△COD 是等边三角形, ∴∠C=60°; (2)连接OE. ∵PE与⊙O 相切, ∴PF⊥OE. ∵∠POF=90°, ∴∠POE+∠EOF=∠EOF+∠OFP=90°, ∴∠POE=∠OFP, 学科网（北京）股份有限公司 $