寒假预习衔接：长方体和正方体应用题(专项训练)-2025-2026学年五年级下册数学苏教版

寒假预习衔接:长方体和正方体应用题 1.一个长方体油桶,从里面量长25dm,宽12dm,高8dm,如果每升汽油重0.71kg,这个油桶可装多少千克汽油? 2.有一个长方体玻璃容器,长10cm,宽8cm,高12cm,向容器内倒水,当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时,水的体积是多少立方厘米? 3.小明向一个底面边长4分米的无盖鱼缸中注入了80升水,这时鱼缸中的水深多少分米? 4.一个长方体果汁盒,从里面量,长2.4分米,宽0.6分米,高2分米。里面装满果汁,倒入容积为400毫升的杯中,最多能倒满几杯? 5.一个长方体的食品盒,长9cm,宽5cm,高4cm,如果围它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少需要多少cm2? 6.一个长方体水箱,内部底面积是20平方分米,已知水箱最多容纳80立方分米的水。这个水箱内部的高是多少分米? 7.一个新建的游泳池宽是25米,长是宽的2倍,深2.8米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖,至少需要贴多少平方米的瓷砖? 8.家具厂订购500根方木,每根方木横截面的面积是2.4dm2,长是3m,这些方木一共是多少立方米? 9.有一根长为96cm的铁丝,用它焊接成一个正方体框架,这个正方体框架的棱长是多少厘米?如果为它的各个面糊上彩纸,至少需要多大面积的彩纸? 10.一根铁丝恰好焊接成一个长10dm,宽8dm,高6dm的长方体框架。若用这根铁丝焊接成一个最大的正方体框架,这个正方体框架的棱长是多少分米? 11.学校运来8.4m3的沙子,铺在一个长5m、宽42dm的沙坑里,可以铺多厚? 12.一个长方体木块,沿着它的高截去3分米后变为一个正方体(如图),表面积减少了48平方分米,原来长方体的表面积是多少平方分米? 13.如图,一根长方体木料,长3米,如果把它锯成4段,表面积就比原来增加了60平方分米,原来这根木料的体积是多少立方分米? 14.从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体,剩下的长方体的表面积是多少平方厘米? 15.用一根长为80cm的铁丝围一个长方体,这个长方体的长是3cm,宽是4cm,那么这个长方体的高是多少厘米? 16.(1)如图所示是一个长方体的前面和右面,这个长方体的所有棱长的和是多少? (2)制作这样一个长方体盒子需要多少纸板? 17.有两个长方体水槽,甲水槽长80厘米,宽60厘米,水深30厘米,乙水槽空着,它长60厘米,宽和高都是40厘米。现在要从甲水槽中倒一部分水给乙水槽,使两个水槽水面同样高。求甲乙两槽中水面的高。 18.一辆货车,车厢从里面量长4米,宽2.5米,高1.5米.货物堆放的高度是1.2米,已知每立方米货物重1.6吨,那么这辆货车装的货物重多少吨? 19.把一个棱长是4dm的正方体钢坯熔铸成一个长5dm、宽25cm的长方体钢块,这个长方体钢块的厚度是多少分米? 20.某会议大厅里有4根同样的长方体柱子,每根柱子高5m,底面为边长6dm的正方形(如图),要给这4根柱子涂上漆(只涂侧面)。 (1)涂漆部分的面积是多少平方米? (2)如果每平方米需要7.5元的油漆,买油漆一共需要多少钱? 21.一个已盛水长方体容器(容器壁的厚度不计),长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中,这时,容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后,此时容器中水面下降多少分米? 22.一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是8cm、4cm、3cm,正方体的棱长是多少厘米?正方体的表面积是多少平方厘米? 23.一个表面积是150平方厘米的正方体,把它截成5个完全相同的长方体后,表面积比原来增加了多少平方厘米? 24.如图是妙想绘制的一个长方体平面展开图,将这个展开图折成长方体,这个长方体的体积是多少?(单位:厘米) 25.一个长8m、宽5m、深2m的长方体水池里立着两根长3m、宽2m、高4m的石柱子,并且水池中注满了水。现在,将两根石柱子从水池中取出来后,这时水池中的水深多少? 26.抽烟会使密闭的室内PM2.5值急剧升高,有人在一间长9米、宽6米、高3米的密闭房间内抽烟,导致室内每立方米的空间内含有10微克(一种质量单位)的可吸入颗粒。请问这个房间内的可吸入颗粒共有多少微克? 27.一个长方体的鱼缸长40厘米,宽30厘米。把一只乌龟放入水中,水面上升了0.8厘米。乌龟的体积是多少? 28.手工课上,一名学生将一个棱长6cm的正方体橡皮泥捏成长9cm、宽4cm的长方体,捏成的长方体的高是多少厘米? 29.商店营业员用一根彩带为顾客捆扎两个食品盒,每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米,如图所示那样捆扎一道并留下20厘米长为手提环,这样一共需要多少厘米长的彩带? 30.一个长方体形状游泳池,长25m,宽15m,深2.2m,如果向这个游泳池注入675m3的水,游泳池注满水了吗?说说你的理由。 31.妈妈要给客厅的立式空调缝一个布罩(四周和顶部都要罩住),空调的样式是一个长方体,如图所示,做这个布罩至少需要多少平方米布? 32.李师傅用铁丝焊一个长10厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体框架,至少需要铁丝多少厘米? 33.李叔叔要做一个长方体宫灯,他先用铁丝做了一个框架,这个框架长米,宽米,高米,做这个框架要用铁丝多少米? 34.明明做实验,他准备了一个长方体玻璃容器,从里面量长是65厘米,宽是30厘米,现在向玻璃容器里面倒入部分水后,容器内水深为20厘米,再把一铁块完全浸没在水里,现在水深为25厘米,那么铁块的体积是多少? 35.一个无水观赏鱼缸中放有一块高为2.5分米,体积为5立方分米的假石山,如果水管以每分7立方分米的流量向鱼缸注水,那么至少需要多长时间才能使假石山完全淹没? 36.一个长方体的饼干盒,长10cm,宽6cm,高12cm,如果围着它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少有多少平方米? 37.小明将一个棱长为8cm正方体橡皮泥捏成一个底面为正方形,且边长是4cm的长方体,这个长方体的高是多少厘米? 38.一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体盒子,最多能放多少个棱长是2分米的正方体木块? 39.一个长方体的汽油桶,底面积是30平方分米,高是6分米。如果1升汽油重0.71千克,这个油桶可以装多少千克汽油? 40.一个长方体铁皮油箱,长10dm,宽8dm,高是6dm,做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮?如果每升汽油重0.75kg,这个油箱最多可装汽油多少千克? 41.售货员用绳子将长10cm,宽6cm,高4cm的礼品盒包扎起来,接头打结用20cm,如图所示,包扎一个礼品盒至少要多长的绳子? 42.东东在自主学习时,用一根铁丝刚好围成一个长4dm、宽3dm、高2dm的长方体框架,之后他又用这根铁丝围成一个最大的正方体框架(且没有剩余)。这个正方体框架的棱长是多少分米? 43.一个长方体的饼干盒,长10dm,宽6dm,高8dm.如果围着它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少有多少平方分米? 44.一个长方体蓄水池,从里面量,长10米,宽6米,深2.5米。这个蓄水池最多能蓄水多少立方米? 45.金山村要挖一个深5m,占地面积为4800m2的长方体形状的鱼塘,如果每天挖土600m3,这个村多少天可以挖完? 46.如图,一块长150厘米、宽120厘米的铁皮,从四个角各切掉一个边长为25厘米的正方形,然后焊接做成一个装鱼的水槽。这个水槽最多能注入多少升水? 47.李阿姨用一根彩带为顾客捆扎一个食品盒,这个食品盒的长、宽、高分别为20厘米、10厘米、5厘米,如图那样捆扎并留下20厘米长作为手提环。这样一共需要多少分米长的彩带? 48.将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时,水面比原来上升了2厘米(水池中的水没有溢出)。求长方体铁块的高。 49.给一个长5m、宽2.8m的长方体沙坑填入黄沙,如果黄沙的厚度不少于5dm,那么7.7m3的黄沙够用吗? 50.孔明灯是一种古老的手工艺品,相传由三国时期的诸葛亮发明而得名,在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝,做了一个正方体灯笼框架,除了底面外,其他面都要糊上安全阻燃纸,至少需要多少平方米的安全阻燃纸? 51.某水池是个长方体,从里面量,尺寸如下图。水池内放入一高24cm的小假山,体积是3000cm3。现在往水池里面注水,水管以每分钟2.5dm3的流量注水,至少需要多长时间能将假山淹没? 52.一间长9米、宽6米、高4米的教室,门窗面积是24平方米,现要粉刷它的屋顶和墙壁,如果每平方米需用刷墙粉200克,那么一共需要刷墙粉多少千克? 53.王阿姨用彩带捆扎一盒月饼(如图),月饼盒长42厘米,宽30厘米,高7厘米,打结处需要用20厘米彩带。捆扎这盒月饼共需彩带多少厘米? 54.如图,如果把这个长方体完全沉没于盛满水的水槽中,会有多少水溢出来?如果要包装这个盒子,至少需要多少平方厘米的包装纸?(单位:厘米) 55.一个长方体的玻璃缸,长8dm,宽4dm,高7dm,水深3.2dm,如果放入一块形状不规则的铁块,这时缸里水面离缸口距离2.3dm,那铁块的体积是多少? 56.一个长方体的底面积为9平方分米的正方形,它的侧面展开图正好也是一个正方形,这个长方体的表面积是多少平方分米? 寒假预习衔接:长方体和正方体应用题 参考答案与试题解析 1.一个长方体油桶,从里面量长25dm,宽12dm,高8dm,如果每升汽油重0.71kg,这个油桶可装多少千克汽油? 【答案】1728千克。 【分析】根据长方体的体积(容积)公式:V=abh,把数据代入公式求出能装汽油的体积,然后用汽油的体积乘每升汽油的质量即可。 【解答】解:25 12 8=2400(立方分米) 2400立方分米=2400升 2400 0.72=1728(千克) 答:这个油桶可装汽油1728千克。 【点评】此题主要考查长方体的体积(容积)公式的灵活运用,关键是熟记公式。 2.有一个长方体玻璃容器,长10cm,宽8cm,高12cm,向容器内倒水,当容器中的水所形成的长方体第一次出现相对的两个面是正方形时,水的体积是多少立方厘米? 【答案】见试题解答内容 【分析】已知长方体玻璃容器,长10cm,宽8cm,高12cm,当向这个容器中注水的高为8cm时,第一次出现相对的正方形面;根据长方体的容积公式:V=abh,把数据代入公式解答即可. 【解答】解:10 8 8=640(立方厘米) 答:水的体积是640立方厘米. 【点评】此题主要考查长方体的体积(容积)的计算,关键是理解向这个容器中注水的高是几cm的时候,才会第一次出现相对的面是正方形;再根据长方体的体积公式解答即可. 3.小明向一个底面边长4分米的无盖鱼缸中注入了80升水,这时鱼缸中的水深多少分米? 【答案】5分米。 【分析】先根据“1升=1立方分米”,将升换算为立方分米,即80升=80立方分米;已知无盖鱼缸的底面是边长为4分米的正方形,根据“正方形面积=边长 边长”求出鱼缸的底面积;最后根据“长方体体积=底面积 高”,用水的体积除以底面积即可求出水的深度。据此解答。 【解答】解:80升=80立方分米 80 (4 4) =80 16 =5(分米) 答:这时鱼缸中的水深5分米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 4.一个长方体果汁盒,从里面量,长2.4分米,宽0.6分米,高2分米。里面装满果汁,倒入容积为400毫升的杯中,最多能倒满几杯? 【答案】7杯。 【分析】长方体的体积=长 宽 高,根据1立方分米=1升,1升=1000毫升,单位换算后,用总的果汁量除以一杯的容量,取整可求得最多能倒满几杯。 【解答】解:根据分析可以列式为: 2.4 0.6 2 =1.44 2 =2.88(立方分米) 2.88立方分米=2880毫升 2880 400=7.2(杯)≈7(杯) 答:最多能倒满7杯。 【点评】本题考查的是长方体体积计算公式的运用,熟记公式是解答本题的关键。 5.一个长方体的食品盒,长9cm,宽5cm,高4cm,如果围它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少需要多少cm2? 【答案】112cm2。 【分析】上下面不贴,就是在左右面和前后面四个面贴上商标纸,求出这四个面的面积和即可。 【解答】解:(9 4+5 4) 2 =(36+20) 2 =56 2 =112(cm2) 答:这张商标纸的面积至少需要112cm2。 【点评】此题考查长方体表面积的实际应用,在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积,缺少的是哪些面的面积,从而列式解答即可。 6.一个长方体水箱,内部底面积是20平方分米,已知水箱最多容纳80立方分米的水。这个水箱内部的高是多少分米? 【答案】4分米。 【分析】根据长方体体积=底面积 高,高=体积 底面积,代入数据,即可解答。 【解答】解:用水的体积除以容器的内部底面积就是内部的高。 80 20=4(分米) 答:这个水箱内部的高是4分米。 【点评】此题主要考查长方体的体积(容积)公式的灵活运用,关键是熟记公式。 7.一个新建的游泳池宽是25米,长是宽的2倍,深2.8米。现在要在游泳池的四周和底面贴上瓷砖,至少需要贴多少平方米的瓷砖? 【答案】1670平方米。 【分析】把这个游泳池看成一个长方体,需要贴瓷砖的是其5个面,缺少上面,根据长方体表面积的求法求出这5个面的面积即可。 【解答】解:25 2=50(米) 50 25+50 2.8 2+25 2.8 2 =1250+280+140 =1670(平方米) 答:一共需要贴1670平方米的瓷砖。 【点评】此题是长方体表面积的实际应用,在计算时要分清需要计算几个长方形面的面积,缺少的是哪一个面的面积。 8.家具厂订购500根方木,每根方木横截面的面积是2.4dm2,长是3m,这些方木一共是多少立方米? 【答案】见试题解答内容 【分析】把每根方木看成一个长方体,横截面是它的底面积,长是它的高,由此求出每根方木的体积,再乘500就是全部的体积。 【解答】解:2.4平方分米=0.024平方米 0.024 3 500 =0.072 500 =36(立方米) 答:这些木料一共是36立方米。 【点评】本题先搞清楚是让求什么(是体积还是表面积),再根据公式找出需要的数据求解。 9.有一根长为96cm的铁丝,用它焊接成一个正方体框架,这个正方体框架的棱长是多少厘米?如果为它的各个面糊上彩纸,至少需要多大面积的彩纸? 【答案】8厘米;384平方厘米。 【分析】根据正方体的棱长总和=棱长 12,那么棱长=棱长总和 12,据此求出棱长,再根据正方体的表面积公式:S=6a2,把数据代入公式解答。 【解答】解:96 12=8(厘米) 8 8 6 =64 6 =384(平方厘米) 答:这个正方体框架的棱长是8厘米,至少需要384平方厘米彩纸。 【点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 10.一根铁丝恰好焊接成一个长10dm,宽8dm,高6dm的长方体框架。若用这根铁丝焊接成一个最大的正方体框架,这个正方体框架的棱长是多少分米? 【答案】8分米。 【分析】根据长方体的特征,12条棱分为互相平行的(相对的)3组,每组4条棱的长度相等,长方体的棱长总和=(长+宽+高) 4求出棱长总和,也就是正方体的棱长总和,正方体12条棱全部相等,利用棱长总和除以12即可。 【解答】解:(10+8+6) 4 =24 4 =96(分米) 96 12=8(分米) 答:正方体的棱长是8分米。 【点评】本题考查了长方体和正方体的棱长总和的计算方法。 11.学校运来8.4m3的沙子,铺在一个长5m、宽42dm的沙坑里,可以铺多厚? 【答案】0.4m。 【分析】要求这些沙子可以铺多厚,即相当于求长方体的高,用沙子的体积除以沙坑的底面积,依条件列式解答即可。 【解答】解:42分米=4.2米 8.4 (5 4.2) =8.4 21 =0.4(m) 答:可以铺0.4m厚。 【点评】此题属于长方体体积的实际应用,根据长方体的高=体积 底面积,代入公式计算即可。 12.一个长方体木块,沿着它的高截去3分米后变为一个正方体(如图),表面积减少了48平方分米,原来长方体的表面积是多少平方分米? 【答案】144平方分米。 【分析】根据题意,高截去3分米,表面积减少了48平方分米,表面积减少的只是4个侧面的面积,又知剩下部分成为一个正方体,说明原来长方体的长和宽相等,由此可知,减少的4个侧面是完全相同的长方形,用减少的面积除以4求出一个面的面积,再用一个面的面积除以3分米,即可求出原来长方体的长和宽,用正方体的表面积加上减少的48平方分米就是原长方体的表面积。 【解答】解:原来长方体的长和宽是: 48 4 3 =12 3 =4(分米) 4 4 6+48 =96+48 =144(平方分米) 答:原来长方体的表面积是144平方分米。 【点评】解答此题的关键是首先分析出表面积减少的只是4个侧面的面积,进而求出长方体的长、宽是多少。 13.如图,一根长方体木料,长3米,如果把它锯成4段,表面积就比原来增加了60平方分米,原来这根木料的体积是多少立方分米? 【答案】300立方分米。 【分析】根据题意可知,锯的段数比锯的次数多1,锯成4段需要锯3次,每锯1次就增加两个截面,那么锯3次增加6个截面;已知据表面积比原来增加60平方分米,由此用60 6=10(平方分米),可以求出长方体木料的底面积,再根据长方体的体积公式v=sh,代入数据计算即可。 【解答】解:3米=30分米 60 6 30 =10 30 =300(立方分米) 答:原来这根木料的体积是300立方分米。 【点评】此题解答关键是理解锯木问题锯的次数比锯的段数少1,先求出底面积,再根据长方体的体积公式v=sh,列式解答即可,注意单位换算。 14.从一个长15厘米、宽和高都是4厘米的长方体木料上截下一个最大的正方体,剩下的长方体的表面积是多少平方厘米? 【答案】208平方厘米。 【分析】长方体内最大的正方体的棱长是长方体的最短边长,所以这个正方体的棱长是4厘米,根据切割特点可知,剩下长方体的长为(15﹣4)厘米、宽4厘米、高为4厘米,由此利用长方形的面积公式:S=(ab+ah+bh) 2,即可解答 【解答】解:[4 4+4 (15﹣4)+4 (15﹣4)] 2 =[16+44+44] 2 =104 2 =208(平方厘米) 答:剩下长方体的表面积是208平方厘米。 【点评】根据长方体内最大正方体的特点即可得出正方体的棱长,求出剩下长方形的长、宽、高是解题的关键。 15.用一根长为80cm的铁丝围一个长方体,这个长方体的长是3cm,宽是4cm,那么这个长方体的高是多少厘米? 【答案】13厘米。 【分析】因为长方体有4个长、4个宽和4个高,所以80厘米是4个长、4个宽和4个高的总长度,用80厘米除以4即可求出一个长加上一个宽再加上一个高的和,减去长、宽,即可求出高是多少厘米。 【解答】解:80 4=20(cm) 20﹣3﹣4=13(cm) 答:这个长方体的高是13厘米。 【点评】本题主要考查了学生对长方体特征的掌握。 16.(1)如图所示是一个长方体的前面和右面,这个长方体的所有棱长的和是多少? (2)制作这样一个长方体盒子需要多少纸板? 【答案】(1)44厘米; (2)72平方厘米。 【分析】(1)观察图中信息可知,长方体的长为6cm、宽为3cm、高为2cm,根据长方体棱长总和=(长+宽+高) 4,代入数值即可解答; (2)求制作这样一个长方体盒子需要多少纸板,用(长 宽+长 高+宽 高) 2,据此解答。 【解答】解:(1)(6+2+3) 4 =11 4 =44(厘米) 答:这个长方体的所有棱长的和是44厘米。 (2)(6 2+6 3+2 3) 2 =(12+18+6) 2 =36 2 =72(平方厘米) 答:制作这样一个长方体盒子需要72平方厘米纸板。 【点评】此题考查了长方体的表面积与棱长总和的知识,要求学生掌握。 17.有两个长方体水槽,甲水槽长80厘米,宽60厘米,水深30厘米,乙水槽空着,它长60厘米,宽和高都是40厘米。现在要从甲水槽中倒一部分水给乙水槽,使两个水槽水面同样高。求甲乙两槽中水面的高。 【答案】20厘米。 【分析】根据长方体的容积(体积)公式:V=abh,先求出甲水槽中有水多少立方厘米,要求现在两个水槽中水的高度,用水的体积除以甲、乙两个水槽的底面积之和即可。 【解答】解:80 60 30 (80 60+60 40) =144000 (4800+2400) =144000 7200 =20(厘米) 答:甲乙两槽中水面的高是20厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 18.一辆货车,车厢从里面量长4米,宽2.5米,高1.5米.货物堆放的高度是1.2米,已知每立方米货物重1.6吨,那么这辆货车装的货物重多少吨? 【答案】见试题解答内容 【分析】首先根据长方体的容积(体积)公式:V=abh,把数据代入公式求出货物的体积,然后用货物的体积乘每立方米货物的质量即可. 【解答】解:4 2.5 1.2 1.6 =12 1.6 =19.2(吨) 答:这辆货车装的货物重19.2吨. 【点评】此题主要考查长方体的容积(体积)公式的灵活运用,关键是熟记公式. 19.把一个棱长是4dm的正方体钢坯熔铸成一个长5dm、宽25cm的长方体钢块,这个长方体钢块的厚度是多少分米? 【答案】5.12分米。 【分析】根据正方体的体积=棱长 棱长 棱长,先求出正方体钢坯的体积,即长方体钢坯的体积,再求出长方体钢坯的底面积,根据长方体的体积 底面积=高,据此解答。 【解答】解:25厘米=2.5分米 4 4 4 (5 2.5) =64 12.5 =5.12(分米) 答:这个长方体钢块的厚度是5.12分米。 【点评】本题考查了长方体和正方体的体积,本题中解题的关键是正方体钢坯的体积和长方体钢坯的体积相等,要注意单位的统一。 20.某会议大厅里有4根同样的长方体柱子,每根柱子高5m,底面为边长6dm的正方形(如图),要给这4根柱子涂上漆(只涂侧面)。 (1)涂漆部分的面积是多少平方米? (2)如果每平方米需要7.5元的油漆,买油漆一共需要多少钱? 【答案】(1)48平方米(2)360元。 【分析】(1)根据题意可知:涂漆的部分是长方体的侧面,根据长方形的面积公式:S=ab,把数据代入公式求出一根柱子的4个侧面的面积再乘4求出涂漆的面积; (2)用涂漆的面积乘每平方米用油漆的钱数即可求出买油漆一共需要多少钱。 【解答】解:(1)6分米=0.6米 0.6 5 4 4 =3 4 4 =12 4 =48(平方米) 答:涂漆部分的面积是48平方米。 (2)7.5 48=360(元) 答:买油漆一共需要360元。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 21.一个已盛水长方体容器(容器壁的厚度不计),长8dm、宽5dm、高10dm。小明将一个棱长是4dm的正方体铁块放进容器完全没入水中,这时,容器中的水刚好满。小明再将铁块拿出后,此时容器中水面下降多少分米? 【答案】1.6分米。 【分析】正方体铁块的体积就是将铁块拿出后,水降低部分的长方体的体积。根据正方体的体积=棱长 棱长 棱长,长方体的体积=长 宽 高,代入求出水降低部分的长方体的高即为水面下降的高度。 【解答】解:4 4 4 (8 5) =16 4 40 =64 40 =1.6(分米) 答:此时容器中水面下降1.6分米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 22.一个长方体和一个正方体的棱长总和相等。已知长方体的长、宽、高分别是8cm、4cm、3cm,正方体的棱长是多少厘米?正方体的表面积是多少平方厘米? 【答案】5厘米;150平方厘米。 【分析】用长方体长、宽、高的和乘4,求长方体棱长总和,再除以12,求正方体的棱长;利用正方体表面积公式:S=6a2计算其表面积即可。 【解答】解:(8+4+3) 4 12 =15 4 12 =5(厘米) 5 5 6=150(平方厘米) 答:正方体的棱长是5厘米;正方体的表面积是150平方厘米。 【点评】本题主要考查正方体棱长总和和表面积的计算。 23.一个表面积是150平方厘米的正方体,把它截成5个完全相同的长方体后,表面积比原来增加了多少平方厘米? 【答案】200平方厘米。 【分析】根据正方体的表面积=棱长 棱长 6,已知正方体的表面积可以求出一个面的面积,把这个正方体截成5个完全相同的长方体后,表面积增加了(2 4)个截面的面积,把数据代入公式解答。 【解答】解:150 6 (2 4) =25 8 =200(平方厘米) 答:表面积增加了200平方厘米。 【点评】此题主要考查正方体表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式,重点是明白:把这个正方体截成5个完全相同的长方体,表面积增加(2 4)个截面的面积。 24.如图是妙想绘制的一个长方体平面展开图,将这个展开图折成长方体,这个长方体的体积是多少?(单位:厘米) 【答案】252立方厘米。 【分析】首先要根据长方体展开图确定长方体的长、宽、高。从展开图中可知,长是12厘米,然后通过图中的数据关系求出高和宽。观察展开图,13厘米是宽与两个高的和,已知宽是7厘米,可先算出高,再根据长方体体积公式长宽高计算体积。 【解答】解:(13﹣7) 2=3(厘米) 12 7 3=252(立方厘米) 答:这个长方体的体积是252立方厘米。 【点评】本题考查长方体的展开图与体积计算。 25.一个长8m、宽5m、深2m的长方体水池里立着两根长3m、宽2m、高4m的石柱子,并且水池中注满了水。现在,将两根石柱子从水池中取出来后,这时水池中的水深多少? 【答案】1.4m。 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式求出水和两根石柱子2m高的体积和;因为水池中注满了水,所以把将两根石柱子从水池中取出来后,剩下的就是水的体积,再除以长方体水池的底面积即可求解。 【解答】解:(8 5 2﹣3 2 2 2) (8 5) =(80﹣24) 40 =56 40 =1.4(m) 答:这时水池中的水深1.4m。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 26.抽烟会使密闭的室内PM2.5值急剧升高,有人在一间长9米、宽6米、高3米的密闭房间内抽烟,导致室内每立方米的空间内含有10微克(一种质量单位)的可吸入颗粒。请问这个房间内的可吸入颗粒共有多少微克? 【答案】1620微克。 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式求出这间密闭房间的空间,然后再乘每立方米空间内含有颗粒的质量即可。 【解答】解:9 6 3 10 =54 3 10 =162 10 =1620(微克) 答:这个房间内的可吸入颗粒共有1620微克。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 27.一个长方体的鱼缸长40厘米,宽30厘米。把一只乌龟放入水中,水面上升了0.8厘米。乌龟的体积是多少? 【答案】960立方厘米。 【分析】由题意可知,乌龟的体积就是长40厘米,宽30厘米,高0.8厘米的长方体体积。 【解答】解:40 30 0.8 =1200 0.8 =960(立方厘米) 答:乌龟的体积是960立方厘米。 【点评】本题解题的关键是理解:乌龟的体积就是长40厘米,宽30厘米,高0.8厘米的长方体体积,熟练掌握长方体体积的计算方法。 28.手工课上,一名学生将一个棱长6cm的正方体橡皮泥捏成长9cm、宽4cm的长方体,捏成的长方体的高是多少厘米? 【答案】6厘米。 【分析】据正方体的体积公式:V=a3,长方体的体积公式:V=abh,那么h=V ab,把数据代入公式解答。 【解答】解:6 6 6 (9 4) =216 36 =6(厘米) 答:捏成的长方体的高是6厘米。 【点评】此题主要考查正方体、长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 29.商店营业员用一根彩带为顾客捆扎两个食品盒,每个食品盒的长、宽、高分别是15厘米、11厘米、4厘米,如图所示那样捆扎一道并留下20厘米长为手提环,这样一共需要多少厘米长的彩带? 【答案】140厘米。 【分析】观察图形可知,捆扎两个食品盒,彩带的长度包括4条长、4条宽、4条高,再加上手提环的20厘米。 【解答】解:15 4+11 4+4 4+20 =60+44+16+20 =140(厘米) 答:一共需要140厘米长的彩带。 【点评】本题考查长方体棱长的实际应用。 30.一个长方体形状游泳池,长25m,宽15m,深2.2m,如果向这个游泳池注入675m3的水,游泳池注满水了吗?说说你的理由。 【答案】没有注满;675立方米(水的体积)<825立方米(游泳池容积) 【分析】先求出注满水时水的体积,也就是这个长方体的容积,根据长方体的容积(体积)的计算公式V=abh求出,然后和注入的水的体积比较即可。 【解答】解:25 15 2.2 =375 2.2 =825(立方米) 675立方米<825立方米 答:游泳池没有注满。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 31.妈妈要给客厅的立式空调缝一个布罩(四周和顶部都要罩住),空调的样式是一个长方体,如图所示,做这个布罩至少需要多少平方米布? 【答案】2.12平方米。 【分析】根据生活经验可知,这个空调的布罩只有5个面,缺少下面,根据无底长方体的表面积公式:S=ab+2ah+2bh,把数据代入公式解答。 【解答】解:0.4 0.2+0.4 1.7 2+0.2 1.7 2 =0.08+1.36+0.68 =2.12(平方米) 答:做这个布罩至少需要2.12平方米布。 【点评】此题主要考查无底长方体表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 32.李师傅用铁丝焊一个长10厘米、宽4厘米、高6厘米的长方体框架,至少需要铁丝多少厘米? 【答案】80厘米。 【分析】根据长方体的特征,12条棱分为互相平行(相对)的3组,每组4条棱的长度相等,求做这个长方体框架需要铁丝多少厘米,也就是求它的棱长总和,长方体的棱长总和=(长 宽+高) 4,把数据代入公式计算。 【解答】解:(10+4+6) 4 =20 4 =80(厘米) 答:至少需要铁丝80厘米。 【点评】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的计算方法。 33.李叔叔要做一个长方体宫灯,他先用铁丝做了一个框架,这个框架长米,宽米,高米,做这个框架要用铁丝多少米? 【答案】8米。 【分析】根据长方体的棱长总和=(长+宽+高) 4,把数据分别代入公式解答。 【解答】解:() 4 =2 4 =8(米) 答:做这个框架要用铁丝8米。 【点评】此题考查的目的是理解掌握长方体棱长总和公式。注意计算的准确性。 34.明明做实验,他准备了一个长方体玻璃容器,从里面量长是65厘米,宽是30厘米,现在向玻璃容器里面倒入部分水后,容器内水深为20厘米,再把一铁块完全浸没在水里,现在水深为25厘米,那么铁块的体积是多少? 【答案】9750立方厘米。 【分析】根据不规则物体的体积计算方法(排水法),铁块的体积等于它在容器里排开的水的体积,根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式求出上升部分水的体积也就是这个铁块的体积。 【解答】解:65 30 (25﹣20) =1950 5 =9750(立方厘米) 答:铁块的体积是9750立方厘米。 【点评】此题主要考查不规则物体的体积计算方法,铁块的体积等于它在容器里排开的水的体积,再利用长方体的体积计算方法解答。 35.一个无水观赏鱼缸中放有一块高为2.5分米,体积为5立方分米的假石山,如果水管以每分7立方分米的流量向鱼缸注水,那么至少需要多长时间才能使假石山完全淹没? 【答案】10分钟。 【分析】因为一个无水观赏鱼缸中放有一块高为2.5分米,体积为5立方分米的假石山,且水管以每分钟7立方分米的流量向鱼缸内注水,所以水需要灌满的体积=刚好没过假山的水平水面与底部鱼缸所形成的长方体的体积﹣假山体积,所需时间=水需要灌满的体积 注水速度,据此解答即可。 【解答】解:(10 3 2.5﹣5) 7 =(75﹣5) 7 =70 7 =10(分) 答:至少需要10分钟才能使假石山完全淹没。 【点评】此题考查对长方体体积的计算,熟练掌握长方体体积公式,找到本题正确的等量关系合理运用是解题的关键。 36.一个长方体的饼干盒,长10cm,宽6cm,高12cm,如果围着它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少有多少平方米? 【答案】0.0394平方米。 【分析】根据题意可知:在这个长方体饼干盒的侧面贴一圈商标纸(上、下面不贴),也就是求这个长方体的前后、左右四个面的总面积,根据长方形的面积公式:S=ab,把数据代入公式解答。 【解答】解12 6 2+10 12 2 =144+240 =384(平方厘米) 384平方厘米=0.0384平方米 答:这张商标纸的面积至少有0.0384平方米。 【点评】解答有关长方体计算的实际问题,一定要搞清所求的是什么,再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 37.小明将一个棱长为8cm正方体橡皮泥捏成一个底面为正方形,且边长是4cm的长方体,这个长方体的高是多少厘米? 【答案】32厘米。 【分析】根据长方体和正方体的体积相等计算即可。 【解答】解:8 8 8 (4 4) =512 16 =32(厘米) 答:这个长方体的高是32厘米。 【点评】本题主要考查长方体、正方体体积公式的应用,关键明确把正方体橡皮泥捏成长方体,体积不变。 38.一个长6分米、宽4分米、高5分米的长方体盒子,最多能放多少个棱长是2分米的正方体木块? 【答案】12个。 【分析】先看一行能放几个正方体,即长方体的长中包含几个正方体的棱长;再看能放几行,即长方体的宽中包含几个正方体的棱长;最后看能放几层,即长方体的高中包含几个正方体的棱长。之后将三者相乘,便能得出能放多少个正方体木块。 【解答】解:6 2=3(个) 4 2=2(行) 5 2=2(层)……1(分米) 3 2 2=12(个) 答:最多能放12个棱长是2分米的正方体木块。 【点评】解答本题的关键是要把小正方体的棱长分别与长方体的长、宽、高一一对应,进行分析,需要注意的是:此题不能用长方体容器的体积除以小正方体的体积,因为长方体容器剩余的空间不能放入整个的小正方体。 39.一个长方体的汽油桶,底面积是30平方分米,高是6分米。如果1升汽油重0.71千克,这个油桶可以装多少千克汽油? 【答案】127.8千克。 【分析】首先根据长方体的容积公式:V=Sh,求出油桶的容积,再换算成用升作单位,然后乘每升汽油的质量即可。 【解答】解:30 6=180(立方分米) 180立方分米=180升 0.71 180=127.8(千克) 答:这个油桶可以装127.8千克汽油。 【点评】此题主要考查长方体的容积公式的灵活运用,注意:体积单位与容积单位之间的换算。 40.一个长方体铁皮油箱,长10dm,宽8dm,高是6dm,做这个油箱至少需要多少平方分米的铁皮?如果每升汽油重0.75kg,这个油箱最多可装汽油多少千克? 【答案】376平方分米,360千克。 【分析】求做油箱需要的铁皮面积,实际上是求油箱的表面积,利用长方体的表面积公式即可求解; 每升柴油的重量已知,乘油箱的体积就是这个油箱所能装的油的重量,为此只要利用长方体的体积公式先求出油箱的体积,即可求解。 【解答】解: (10 8+10 6+8 6) 2 =188 2 =376(平方分米) 10 8 6 =80 6 =480(立方分米) 480立方分米=480升 480 0.75=360(千克) 答:做这个油箱至少需要376平方分米铁皮,这个油箱最多可以装油360千克。 【点评】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的实际应用,结合题意解答即可。 41.售货员用绳子将长10cm,宽6cm,高4cm的礼品盒包扎起来,接头打结用20cm,如图所示,包扎一个礼品盒至少要多长的绳子? 【答案】88。 【分析】根据长方体的特征,12条棱分成互相平行(相对)的3组,每组4条棱的长度相等,由图可知,是求这个长方体的2条长棱,4条宽棱,6条高棱的长度和,再加上打结处长20厘米;由此解答。 【解答】解:10 2+6 4+4 6+20 =20+24+24+20 =88(厘米) 答:包扎一个礼品盒至少要88厘米长的绳子。 【点评】此题主要根据长方体棱的特征解决问题,长方体的12条棱分成互相平行(相对)的3组,每组4条棱的长度相等,据此解答;注意按顺序数出。 42.东东在自主学习时,用一根铁丝刚好围成一个长4dm、宽3dm、高2dm的长方体框架,之后他又用这根铁丝围成一个最大的正方体框架(且没有剩余)。这个正方体框架的棱长是多少分米? 【答案】3分米。 【分析】根据长方体的特征,12条棱分为互相平行的(相对的)3组,每组4条棱的长度相等,长方体的棱长总和=(长+宽+高) 4,已知棱长总和,用棱长总和 12即可求出正方体的棱长,由此列式解答。 【解答】解:(4+3+2) 4 =9 4 =36(分米) 36 12=3(分米) 答:这个正方体框架的棱长是3分米。 【点评】此题主要考查长方体的特征及棱长总和的计算方法.根据棱长总和的计算方法解决问题。 43.一个长方体的饼干盒,长10dm,宽6dm,高8dm.如果围着它贴一圈商标纸(上、下面不贴),这张商标纸的面积至少有多少平方分米? 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体表面积的计算方法,求出这个长方体的前、后面、左、右面的总面积即可. 【解答】解:10 8 2+6 8 2 =160+96 =256(平方分米) 答:这张商标纸的面积至少有256平方分米. 【点评】此题属于长方体表面积的应用,关键是弄清求哪几个面的面积,缺少的是哪个面,根据长方体表面积的计算方法解答即可. 44.一个长方体蓄水池,从里面量,长10米,宽6米,深2.5米。这个蓄水池最多能蓄水多少立方米? 【答案】150立方米。 【分析】已知长方体蓄水池的长是10米,宽是6米,高是2.5米,根据长方体的容积公式:V=abh,代入数据即可求出这个蓄水池最多能蓄水多少立方米。 【解答】解:10 6 2.5 =60 2.5 =150(立方米) 答:这个蓄水池最多能蓄水150立方米。 【点评】此题考查长方体体积公式的应用。解题关键是利用长方体的容积公式解决问题。 45.金山村要挖一个深5m,占地面积为4800m2的长方体形状的鱼塘,如果每天挖土600m3,这个村多少天可以挖完? 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图意可知,鱼塘的占地面积就是它的底面积,再乘高可求出挖土的总体积,再除以每天能够挖土的体积,就是完成一共需要的天数. 【解答】解:4800 5 600 =24000 600 =40(天) 答:这个村40天可以挖完. 【点评】本题主要考查长方体的体积公式:长方体的体积=底面积 高的实际应用,理解占地面积就是底面积是解答本题的关键. 46.如图,一块长150厘米、宽120厘米的铁皮,从四个角各切掉一个边长为25厘米的正方形,然后焊接做成一个装鱼的水槽。这个水槽最多能注入多少升水? 【答案】175升。 【分析】由题意可知,做成的这个盒子的长是(150﹣25 2)厘米,宽是(120﹣25 2)厘米,高是25厘米。根据长方体计算公式“V=abh”即可求得它和容积。注意换算单位。 【解答】解:(150﹣25 2) (120﹣25 2) 25 =100 70 25 =175000(立方厘米) 175000立方厘米=175升 答:这个水槽最多能注入175升水。 【点评】此题是考查长方体体积的计算。关键是弄清题意,记住并会灵活运用相关计算公式。 47.李阿姨用一根彩带为顾客捆扎一个食品盒,这个食品盒的长、宽、高分别为20厘米、10厘米、5厘米,如图那样捆扎并留下20厘米长作为手提环。这样一共需要多少分米长的彩带? 【答案】16分米。 【分析】由图可知,这样捆扎,长应该有4条,宽4条,高4条,再加手提环部分,计算完以后还要转换单位为分米。 【解答】解:20 4+10 4+5 4+20 =80+40+20+20 =160(厘米) 160厘米=16分米 答:这样一共需要16分米长的彩带。 【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用,首先分清是如何捆扎的,然后根据棱长总和的计算方法解答。 48.将一块长和宽都是20厘米的长方体铁块浸没在长60厘米、宽40厘米的长方体水池的水中时,水面比原来上升了2厘米(水池中的水没有溢出)。求长方体铁块的高。 【答案】12厘米。 【分析】根据水中浸物(水未溢出),水面上升部分水的体积=放入物体的体积;水面上升部分体积相当于长60厘米、宽40厘米、高2厘米的长方体体积,根据长方体体积=长 宽 高,可算出上升水的体积;再根据高=长方体体积 长 宽,即可求出长方体铁块的高。 【解答】解:先求出上升部分水的体积,再求出长方体铁块的高。 60 40 2 20 20 =2400 2 20 20 =4800 20 20 =240 20 =12(厘米) 答:长方体铁块的高为12厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 49.给一个长5m、宽2.8m的长方体沙坑填入黄沙,如果黄沙的厚度不少于5dm,那么7.7m3的黄沙够用吗? 【答案】够用。 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式求出一共需要黄沙的体积,然后用一共用黄沙的体积与7.7立方米比较即可。 【解答】解:5分米=0.5米 5 2.8 0.5 =14 0.5 =7(立方米) 7.7立方米>7立方米 答:7.7m3的黄沙够用。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 50.孔明灯是一种古老的手工艺品,相传由三国时期的诸葛亮发明而得名,在古代作为军事用途。涛涛和爸爸一起用48分米长的铁丝,做了一个正方体灯笼框架,除了底面外,其他面都要糊上安全阻燃纸,至少需要多少平方米的安全阻燃纸? 【答案】0.8平方米。 【分析】明确问题是计算除底面外糊纸所需的面积,由于是制作正方体灯笼框架,而正方体的特征是有12条长度相等的棱。已知铁丝的总长度,要先确定每条棱的长度;因为铁丝是用来构成正方体框架的,所以将铁丝总长平均分配到12条棱上,就能得出每条棱的长度; 分析需要糊纸的面。正方体原本有6个面,但题目要求除底面外,所以实际上需要糊纸的是5个面;计算每个面的面积。由于每个面都是正方形,其面积取决于边长,而正方体的棱就是面的边长;得出每个面的面积后,将其乘5,就能得到5个面的总面积,也就是所需安全阻燃纸的面积。注意单位的换算。 【解答】解:48 12=4(分米) 4 4=16(平方分米) 16 5=80(平方分米) 80平方分米=0.8平方米 答:至少需要0.8平方米的安全阻燃纸。 【点评】在实际生活中,并不是所有的长方体形状的物体都有6个面,如长方体形状的鱼缸、游泳池等只有5个面,长方体形状的烟囱、通风管等只有4个面。 51.某水池是个长方体,从里面量,尺寸如下图。水池内放入一高24cm的小假山,体积是3000cm3。现在往水池里面注水,水管以每分钟2.5dm3的流量注水,至少需要多长时间能将假山淹没? 【答案】13.2分钟。 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,把数据代入公式求出池内放入假山后,水面高24厘米时水与假山的体积和,减去假山的体积就是需要注入水的体积,然后用需要注入水的体积除以每分钟注入水的体积即可。 【解答】解:50 30 24﹣3000 =36000﹣3000 =33000(立方厘米) 33000立方厘米=33立方分米 33 2.5=13.2(分钟) 答:至少需要13.2分钟能将假山淹没。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用,关键是熟记公式。 52.一间长9米、宽6米、高4米的教室,门窗面积是24平方米,现要粉刷它的屋顶和墙壁,如果每平方米需用刷墙粉200克,那么一共需要刷墙粉多少千克? 【答案】30千克。 【分析】先要求出一间教室需要粉刷的面积,即用教室5个面的面积(不算底面积)减去门窗的面积,求出教室需要粉刷的面积,用需要粉刷的面积乘每平方米需要的涂料的克数,就是一共需要涂料的总克数,最后换算成千克即可。 【解答】解:9 6+9 4 2+6 4 2﹣24 =54+72+48﹣24 =174﹣24 =150(平方米) 150 200=30000(克)=30(千克). 答:一共需要买刷墙粉30千克。 【点评】此题主要考查长方体的表面积在实际生活中的应用,关键是弄清需要粉刷的面积由哪几部分组成。 53.王阿姨用彩带捆扎一盒月饼(如图),月饼盒长42厘米,宽30厘米,高7厘米,打结处需要用20厘米彩带。捆扎这盒月饼共需彩带多少厘米? 【答案】192厘米。 【分析】根据图示,捆扎这盒月饼共需2个42厘米,4个7厘米和2个30厘米,加打结处需要用的20厘米彩带,据此结合题意分析解答即可。 【解答】解:42 2+7 4+30 2+20 =84+28+60+20 =192(厘米) 答:捆扎这盒月饼共需彩带192厘米。 【点评】本题考查了长方体的特征,结合题意分析解答即可。 54.如图,如果把这个长方体完全沉没于盛满水的水槽中,会有多少水溢出来?如果要包装这个盒子,至少需要多少平方厘米的包装纸?(单位:厘米) 【答案】见试题解答内容 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,表面积公式:S=(ab+ah+bh) 2,把数据分别代入公式解答. 【解答】解:13 4 5=260(立方厘米) (13 4+5 4+13 5) 2 =(52+20+65) 2 =137 2 =274(平方厘米) 答:会有260立方厘米的水溢出来.如果要包装这个盒子,至少需要274平方厘米的包装纸. 【点评】此题主要考查长方体的体积公式、表面积公式的灵活运用,关键是熟记公式. 55.一个长方体的玻璃缸,长8dm,宽4dm,高7dm,水深3.2dm,如果放入一块形状不规则的铁块,这时缸里水面离缸口距离2.3dm,那铁块的体积是多少? 【答案】48立方分米。 【分析】根据长方体的体积公式:V=abh,用放入一块形状不规则的铁块,玻璃钢内水和铁块的体积,减去玻璃缸内水的体积解答即可。 【解答】解:7﹣2.3=4.7(分米) (4.7﹣3.2) 8 4 =1.5 32 =48(立方分米) 答:铁块的体积是48立方分米。 【点评】此题主要考查长方体的体积(容积)公式的灵活运用,关键是熟记公式。 56.一个长方体的底面积为9平方分米的正方形,它的侧面展开图正好也是一个正方形,这个长方体的表面积是多少平方分米? 【答案】162平方分米。 【分析】首先,长方体的底面积是正方形,面积为 9 平方分米,所以底面正方形的边长可求。又因为侧面展开图是正方形,说明长方体的高等于底面正方形的周长,然后根据长方体表面积公式(两个底面积加侧面积)来计算。 【解答】解:因为3 3=9,所以底面正方形的边长是3分米。 底面正方形的周长为3 4=12(分米), 长方体的高是12分米。 长方体的表面积为:9 2+12 12=18+144=162(平方分米) 答:这个长方体的表面积是162平方分米。 【点评】本题考查长方体的表面积计算,涉及到长方体底面正方形的边长、周长与高的关系,以及长方体表面积公式(底侧)的应用。 第1页(共1页) 学科网(北京)股份有限公司 $