精品解析：上海市晋元高级中学2025-2026学年高一上学期期末考试数学试题

上海市晋元高级中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科试卷 日期：2026.1 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：吕文、邵付松、张殷兵 审核人：张殷兵 一、填空题（本大题共有12题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得3分、后6题得4分，否则一律得零分. 1. 已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______. 【答案】25 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式及面积公式即可求得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为，面积为， 则，所以该扇形的面积为. 故答案为：. 2. 已知集合，，则______． 【答案】; 【解析】 【分析】先判断两集合分别表示各自直线上的点，再解方程组求直线的交点坐标即可. 【详解】联立，解得， 所以. 故答案为：. 3. 不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由题意可知， 解之得. 故答案为： 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据切化弦结合诱导公式化简，再结合三角函数定义计算求解. 【详解】. 故答案为： 5. 已知，，用，表示代数式________． 【答案】 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可求解. 【详解】. 故答案为： 6. 通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用绝对值的三角不等式列式求解. 【详解】依题意，，当且仅当时取等号， 由，解得， 所以等号成立的条件为. 故答案为： 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由函数解析式求，结合奇函数的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 而是奇函数， 所以. 故答案为： 8. 若锐角满足，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由两角和的正切公式即可求解. 【详解】锐角满足，则， 所以，又， 所以， 由均为锐角，则. 故答案为： 9. 已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为________ 【答案】5 【解析】 【分析】根据图象得到函数的值域，然后借助对勾函数的单调性求最小值即可. 【详解】函数的图象如下： 所以， 函数在上单调递减，上单调递增， 所以在时取得最小值，最小值为5. 故答案为：5. 10. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由于的值域为R，当时，， 所以，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 11. 已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】由函数图象得到函数零点的关系，然后得到的取值范围.由等量关系化简，利用双勾函数的单调性求出的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】函数大致图象如下， 若，且，则 所以 ∵，当且仅当，即时取等号， 当时，，当时，， 由双勾函数的单调性可知， 即， ∴. 故答案为：. 12. 设集合有__________个真子集. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的性质、积化和差、二倍角公式及真子集的相关概念计算即可. 【详解】易知，由题意可知： ， 所以， 易知以2026为周期，且对称轴为， 则的取值结果可以在中研究， 当时，， 当时，， 当取时， 的取值关于一一对称，即有1012个取值结果， 所以的取值结果共1014个，即A中含有1014个元素，其真子集个数为个. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据充分性和必要性的定义判断即可． 【详解】若，则，故充分性成立， 若，则，解得或，故必要性不成立. 所以“”是“”的充分非必要条件. 故选：A 14. 若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（ ） A. 1.25 B. 1.375 C. 1.41 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】由零点存在性定理结合二分法的定义即可得出答案. 【详解】由表格可得，， 函数的零点在之间， 结合选项可知，方程的一个近似根(精确度为0.01)可以是1.41. 故选：C. 15. 已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得出函数在和上单调递减，然后根据函数单调性和奇偶性以及解不等式即可. 【详解】由题意可知，在上单调递减，又因为为奇函数， 所以在上单调递减，且， 当时，，，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，不等式即可为，不符合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不符合题意. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 16. 已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 D. 结论①、②都不成立 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可. 【详解】对于结论①， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立； 对于结论②， 方法一： ∵ 又∵ ∴ 化简得， ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 方法二：（特值法） 当时，， ∴，∴. ∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立. 故选：B. 【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设全集为，，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）借助补集与并集定义计算即可得； （2）由题意可得，再分与讨论即可得. 【小问1详解】 根据题意可得：，则 【小问2详解】 若，有，解得； 若，，解得 综上所述：的取值范围为 18. 在中，角A、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求的面积； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理可得，根据余弦定理可得角A，代入面积公式即可得答案. （2）根据余弦定理及均值不等式，可得a的范围，根据两边之和大于第三边，即可得答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，，故， 由余弦定理得， 因为，所以， 所以的面积； 【小问2详解】 由题意及均值不等式得 ， 当且仅当时等号成立，故， 又，所以， 所以的取值范围是. 19. 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 （1）请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. （2）某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 【答案】（1）选③，函数解析式为. （2）20分钟到40分钟 【解析】 【分析】（1）根据数据的规律结合单调性及相邻数据差不为同一常数排除①②,代入数据③中求参数得函数解析式； （2）由题意建立方程，化为对数式，根据对数运算求解. 【小问1详解】 模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意； 模型②:假设；时， 当时，不是，故②不符合题意； 模型③:假设；时符合， 当时，得， 当时，，故③符合题意； 最符合上述规律的是模型③，. 【小问2详解】 由题意，所以分钟， 因为单调递增，故，当且仅当. 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，又 所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟. 20. 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. （1）判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 【答案】（1）令， 则， 故在上是“舒缓函数”； 令， 则，取， 则， 故在上不是“舒缓函数”； （2） （3）设，不妨设. 若，因在上是“舒缓函数”， 则； 若，则 . 综上， 【解析】 【分析】（1）由题干中所给“舒缓函数”定义可完成判断； （2）不妨设，，则，进而结合恒成立问题求解即可； （3）设，并不妨设，当时，由题意易得结论成立，当时，利用及可完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因函数在上是“舒缓函数”， 则对， 不妨设，则有， ，则， 则，时， ， 即. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题关键为能理解“舒缓函数”概念.第一问，通过举反例可判断不是“舒缓函数”；第二问关键为得到；第三问改编自1983年高中数学联赛第2部分第2题，关键为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市晋元高级中学2025学年第一学期期末考试 高一年级数学学科试卷 日期：2026.1 考试时间：90分钟 满分：100分 命题人：吕文、邵付松、张殷兵 审核人：张殷兵 一、填空题（本大题共有12题，满分42分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对前6题得3分、后6题得4分，否则一律得零分. 1. 已知一扇形的圆心角为2弧度，半径为，则此扇形的面积为_______. 2. 已知集合，，则______． 3. 不等式的解集为___________. 4. 已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点，则______． 5. 已知，，用，表示代数式________． 6. 通过三角不等式可知，则等号成立的条件为_____. 7. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则_______． 8. 若锐角满足，，则_________． 9. 已知函数，记函数值域为，若，则的最小值为________ 10. 已知函数的值域为R，则m的取值范围是__________． 11. 已知函数，若函数有三个零点，且，则的取值范围是________. 12. 设集合有__________个真子集. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13-14题每题3分，第15-16题每题4分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，否则一律得零分. 13. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 14. 若函数一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下： 那么方程的一个近似根（精确度为0.01）可以是（ ） A. 1.25 B. 1.375 C. 1.41 D. 1.5 15. 已知函数为定义在上的奇函数，对于任意的，有，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 16. 已知，，，，满足，，，有以下个结论： ①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数； ②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数. 下列说法正确的是（ ） A. 结论①、②都成立 B. 结论①不成立、②成立 C. 结论①成立、②不成立 D. 结论①、②都不成立 三、解答题（本大题共有4题，满分44分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 设全集为，，集合． （1）若，求； （2）若，求的取值范围． 18. 在中，角A、、的对边分别为、、，已知． （1）若，，求的面积； （2）若，求的取值范围． 19. 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了专项调研.调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况.研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快；但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓.若设运动时长为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）. 以下是调研收集到的部分数据： 0 10 30 1 1.5 1.7 （1）请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式（参数精确到0.1）：①；②；③. （2）某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率，所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果（即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？（结果精确到1分钟） 20. 对于定义在上的函数，设区间是的一个子集，对于区间上任意给定的两个自变量的值、，如果总有，则称函数在区间上是“舒缓函数”. （1）判断函数、在上是否是“舒缓函数”，并说明理由； （2）若函数在上是“舒缓函数”，求实数的取值范围； （3）已知函数，的最大值是、最小值是，在上是“舒缓函数”，且，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $