精品解析：江西九江市2025-2026学年 上学期期末考试九年级数学试题卷 -

九江市2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 如图所示的几何体是一个水平放置的正三棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：该几何体的俯视图为： 故选：C． 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，将方程左边配成完全平方式，关键步骤为移项、配方(加上一次项系数一半的平方)． 【详解】解：对于方程， 首先移项，得； 然后配方，两边同时加上一次项系数一半的平方， 得； 整理得； 故选：B． 3. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. ． B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的性质，需先判断函数图象所在象限，再根据增减性比较横坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小； ∵，即， ∴， 故选：A． 4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，根据折线图，估算出概率，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，概率约为； A、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合题意； B、掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上的概率为，不符合题意； C、一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意； D、从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球的概率为，符合题意； 故选D． 5. 如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足分别为点， 即这样的直线可以作3条． 故选：C． 6. 如图，已知正方形，为对角线的中点，为上一点，且，连接并延长，作垂足为，垂足为，连接，．则下列结论中：；；；，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】由正方形性质可得，，根据同角的余角相等得，证明，根据性质即可判断；连接，证明，则有，，又，，则，证明是等腰直角三角形，所以，则，从而得，即可判断；根据等边对等角得，从而得，即可判断；通过两角相等的三角形相似即可判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故正确； 如图，连接， ∵正方形，为对角线的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故正确； ∵正方形，为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∴，故正确； 综上可得：正确，共个， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，同角的余角相等，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握以上内容是解题关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的解是__． 【答案】x1＝3，x2＝﹣3． 【解析】 【分析】先移项，在两边开方即可得出答案． 【详解】∵ ∴=9， ∴x=±3， 即x1＝3，x2＝﹣3， 故答案为x1＝3，x2＝﹣3． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，熟练掌握该方法是本题解题的关键. 8. 已知，则的值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，通过已知比例关系得到与的关系，再代入所求式子化简． 【详解】解：∵， ∴，且，即； 将代入，得； 故答案为：． 9. 标有数字2，3，4的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是偶数的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查等可能事件概率计算，关键是列出所有可能的三位数，再确定其中的偶数个数，最后根据概率公式计算． 【详解】解：用数字2，3，4摆成的三位数有：，，，，，，共6种等可能的结果； 其中是偶数的有：，，，，共4种； 所以摆出的三位数是偶数的概率为； 故答案为：． 10. 如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，由题意得，解得，又，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 11. 如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质与直角三角形斜边中线定理，关键是利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出对角线的长度，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，为的中点． ∵， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴． ∵， ∴是直角三角形； ∴； 故答案为：． 12. 已知矩形，，为上一点，，点是边上一动点（点不与点重合），当是直角三角形时，的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程，分为如图，当时，如图，当或时两种情况，通过矩形的判定与性质，勾股定理分别求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，当时， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； 如图，当或时，过作于点，则， 同理可得：四边形是矩形， ∴，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：，， ∴或， 同理：或， 综上可得：的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与相交于点，若，，求的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，以及相似三角形的判定和性质． （1）利用因式分解法求解即可； （2）证明，利用相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：（1）， 因式分解得， ∴或， ∴； （2）∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 14. 某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 （1）求波长关于频率的函数关系式； （2）当时，求此电磁波的波长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，求反比例函数的解析式，求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键． （）设波长关于频率的函数关系式为，然后利用待定系数法求解即可； （）把代入（）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长． 【小问1详解】 解：设波长关于频率的函数关系式为， 由表格可知，当时，， ∴，解得， ∴波长关于频率的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由（）得波长关于频率的函数关系式为， ∴当时，， ∴此电磁波的波长． 15. 某校组织七年级学生开展“传承赣鄱文化，建设美丽江西”为主题的朗诵比赛，朗诵作品由抽卡片决定，现有，，三张不透明卡片，卡片正面分别写着：．《滕王阁序》（王勃）；．《石钟山记》（苏轼）；．《琵琶行》（白居易）、卡片除正面不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗牌，小明先从中随机抽取一张卡片，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小明抽到卡片的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片是和的概率． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，概率公式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用概率公式计算； （）列表，找出小明和小亮恰好抽到的卡片是和的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：小明抽到卡片的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意，列表如下， 小明小亮 共有种等可能结果，其中两人抽到的卡片是和有种， ∴两人抽到的卡片是和的概率是． 16. 如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作边上的高； （2）在图2中，作边上的高． 【答案】（1） 解：如图，高即为所求； （2） 解：如图，高即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质： （1）连接交于点K，作线段，并延长交于点F，即可； （2）连接，交于点M，作线段，并延长交于点G，即可． 【小问1详解】 ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴，即是边上的高； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即是边上的高． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数关系等知识． （1）利用一元二次方程根的判别式可得到，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数关系，可得，根据，可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：方程有实数根， ， 即， 解得：． 【小问2详解】 解：方程的两个实数根分别为， ， ∵， ， 解得：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的应用，利用相似三角形对应边成比例求线段长是答题的关键． （1）证明，可得，即可求解； （2）证明四边形为矩形，可得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 即， 解得：， ， 答：为． 【小问2详解】 解： 四边形为矩形， ， 由（1）得， ， ． 19. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 又， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 证明：∵平分， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）由四边形是平行四边形，得，则，根据垂直平分线性质得，证明，所以，从而证明四边形是平行四边形，又，则有四边形是菱形； （）由四边形是菱形，则，所以，则，证明，所以，从而求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． （1）求证：； （2）把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 【答案】（1）证明：在中，， 在中，， ， 即， ． （2） 如图所示，即为所求， 与位似， 位似中心坐标为． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，位似图形的判定，勾股定理： （1）根据勾股定理求出，的长，可得到，即可求证； （2）根据平移的性质可得到，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． （1）假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． （2）工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 【答案】（1）每个月的平均增长率为 （2）销售单价应降低3万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用： （1）设每个月的平均增长率为，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设销售单价降低万元，根据题意，列出方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设每个月的平均增长率为， 依题意得：， 解得：（不合题意，舍去） 答：每个月的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设销售单价降低万元， 根据题意得：， 整理得：， 解得： ∵尽快减少库存， ∴， 答：销售单价应降低3万元． 22. 如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的应用，用待定系数法求反比例函数以及一次函数的表达式，相似三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）作，，垂足分别为，，由，即，得，然后证明，所以，从而求出点，然后代入即可求出； （）由轴，且点在反比例函数的图像上，则，又，且点在反比例函数的图像上，得，然后代入到即可求解． 【小问1详解】 解：把代入中得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，作，，垂足分别为，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，作，垂足为，交于点， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， ∴点横坐标为， ∵点在反比例函数的图像上， ∴， 把代入到中得， 解得：， ∴． 六、（本大题共12分） 23. 在四边形中，点分别是上的点，且，连接，将线段绕点旋转得到，连接． （1）观察猜想 如图1，若四边形是正方形，，猜想：与的数量关系是___________，___________； （2）类比探究 如图2，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，在菱形中，，，点是射线上一点，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交射线于点，直接写出的值． 【答案】（1），45 （2） ，，理由如下： ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 如图，过点A作于点K，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）证明，，即可得，，即可求解； （2）证明，，可得，，从而得到，过点A作于点K，则，根据直角三角形的性质可得 ，再结合勾股定理可得，即可； （3）分两种情况：点E在线段上和点E在线段的延长线上，结合全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，，， ∴，， ∴，； 故答案为：，45； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当点E在线段上时，如图，连接，在边上取点G，使，过点F作交于点P， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， 由（2）得：，， ∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图，连接，在边的延长线上取点M，使，过点F作交于点P，在的延长线上取点N， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 同理（2）得：，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用类比思想和分类讨论思想解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九江市2025-2026学年度上学期期末考试 九年级数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 如图所示的几何体是一个水平放置的正三棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若点均在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. ． B. C. D. 4. 某小组做“用频率估计概率”的试验时，某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（ ） A. 抛一枚硬币，出现正面朝上 B. 掷一个正六面体的骰子，出现5点朝上 C. 一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 D. 从一个装有3个红球2个白球的袋子中任取一球，取到的是白球 5. 如图，在中，，过上一点作直线交的直角边于点，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条 6. 如图，已知正方形，为对角线的中点，为上一点，且，连接并延长，作垂足为，垂足为，连接，．则下列结论中：；；；，正确的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 一元二次方程的解是__． 8. 已知，则的值为___________． 9. 标有数字2，3，4的三张卡片，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是偶数的概率是___________． 10. 如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则______． 11. 如图，在菱形中，，对角线，于点，连接，则___________． 12. 已知矩形，，为上一点，，点是边上一动点（点不与点重合），当是直角三角形时，的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：； （2）如图，与相交于点，若，，求的值． 14. 某同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：）会随着电磁波的频率（单位：）的变化而变化．已知波长与频率是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值： 频率 波长 （1）求波长关于频率的函数关系式； （2）当时，求此电磁波的波长． 15. 某校组织七年级学生开展“传承赣鄱文化，建设美丽江西”为主题的朗诵比赛，朗诵作品由抽卡片决定，现有，，三张不透明卡片，卡片正面分别写着：．《滕王阁序》（王勃）；．《石钟山记》（苏轼）；．《琵琶行》（白居易）、卡片除正面不同外其余均相同，将张卡片正面向下洗牌，小明先从中随机抽取一张卡片，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小明抽到卡片的概率是___________； （2）请用画树状图或列表的方法，求两人抽到的卡片是和的概率． 16. 如图，四边形是菱形，是边上的高，请仅用无刻度的直尺作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中，作边上的高； （2）在图2中，作边上的高． 17. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，若，求的值． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把“矩”的两边放置成如图2的位置，从“矩”的一端点（人眼）望点，使视线通过“矩”的另一端点，记人站立的位置为点，量出长，即可算得物高．已知“矩”的一边长，另一边长，人眼到地面的距离的延长线与垂直，垂足为． （1）若，求． （2）设长为高为，求与的函数关系式． 19. 如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若平分，求证：． 20. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系，与的顶点均为格点，点的坐标为． （1）求证：； （2）把向右平移6个单位长度得到，画出平移后的三角形，并判断与是否位似，如果是，请写出位似中心的坐标，如果不是，请说明理由． 五、（本大题共2小题，每题9分，共18分） 21. 某科技公司今年一月份生产机器人200台，三月份产量为288台，机器人的平均成本为每台10万元，经市场调查发现，销售单价定为20万元时，平均每月能售出100台；而当销售单价每降低1万元，平均每月就能多售出20台． （1）假设该公司今年一月至三月每个月产量的平均增长率相同，求每个月的平均增长率． （2）工厂要想使这种机器人的销售利润平均每个月达到1120万元，且尽快减少库存，销售单价应降低多少万元？ 22. 如图1，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线与反比例函数的图像交于点．连接，． （1）求一次函数的表达式及点的坐标； （2）如图，若，求的值； （3）如图，若，求点的坐标． 六、（本大题共12分） 23. 在四边形中，点分别是上的点，且，连接，将线段绕点旋转得到，连接． （1）观察猜想 如图1，若四边形是正方形，，猜想：与的数量关系是___________，___________； （2）类比探究 如图2，若四边形是菱形，且，猜想与的数量关系及的度数，并说明理由． （3）拓展应用 如图3，在菱形中，，，点是射线上一点，，将线段绕点逆时针旋转得到，连接交射线于点，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $