精品解析：河北省唐山市第三中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题

唐山市第三中学2025－2026学年高三上学期12月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集的概念可得. 【详解】由交集的概念得，. 故选：B 2. 已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ） A. 2π， B. ， C. 2π， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】由周期公式和初相概念即可求解. 【详解】由解析式可知， 由周期公式可得最小正周期为，初相为. 故选：B 3. 已知单位向量和满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律，将已知条件转化为，即可求与的夹角. 【详解】由题设，，则， ∴，又和为单位向量， ∴，又， ∴. 故选：B 4. 石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一棵银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（ ）米． A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】令杏树的高度为，借助仰角的定义，以及直角三角形的性质，用表示相应边长，然后利用勾股定理即可求出高度. 【详解】 如图，令杏树的高度为，根据题意, 所以，在中，，在中，， 所以，在中，, 即，解得， 故选：A. 5. 正项等比数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据可导函数在极值点处的导数值为0，得出，再由等比数列的性质可得. 【详解】依题意是函数的极值点， 也是的两个根 ∴ 又是正项等比数列，所以 ∴. 故选：B 6. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将化简变形，得， 然后 根据三角函数图象变换规律求出，再由其为奇函数可得，从而可求出a的最小值 【详解】，则图象上所有点向左平移个单位长度， 得， 因为是奇函数，所以， 所以， 因为，所以的最小值为， 故选：D 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 设事件为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件为两枚骰子点数之和为8， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：C. 8. 已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，将向量坐标化，再根据向量的模长公式求解最小值即可. 【详解】因为，所以以为原点， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则，得到， 所以， 当且仅当，即时，， 所以. 故选：. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 【答案】AD 【解析】 【分析】利用抛物线方程可求出点坐标，进而可判断ABC；利用通径为焦点弦长的最小值可判断D. 【详解】对于选项A：由抛物线方程可得，即，且焦点在x轴正半轴上， 所以C的准线方程为，故A正确； 对于选项B：令，得，所以， 由抛物线定义得：，故B错误； 对于选项C：由选项B知，所以直线OA的斜率为，故C错误； 对于选项D：若B，D，F三点共线，则的最小值为通径，令得， 所以，所以的最小值为8，故D正确. 故选：AD． 10. 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在点处的切线方程为 B. 当时，有三个零点 C. 若有两个极值点，则 D. 若，则正实数的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A由题可得点处的切线方程的斜率和，即可得切线方程；B，由题可得，，即可判断选项正误；C，有两个极值点等价于有两个整根，即可得取值范围；D，可化为，后由及单调性可得的取值范围. 【详解】对于A，设切线方程为：.当时，， 则，，即切线方程为，故A正确； 对于B，当时，，；或. 则在上递增，在上递减，得， ，又注意到当趋近于负无穷大时，趋近于正无穷大， 趋近于正无穷大时，趋近于负无穷大，则分别在上有一个零点，故B正确； 对于C，，，令， 因有两个极值点，则有两个不等正根，，故 C错误； 对于D，，即，可化为， 令，因，则在上单调递增， 即，令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 则，则，即，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】关键点点睛：对于三次函数零点个数问题，常利用函数极大值与函数极小值存在性及符号可判断零点个数； 极值点相关问题，常转化为导函数零点问题解决；指对函数含参问题，常利用指对互化以产生相同结构，从而简化问题. 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 四面体的外接球表面积为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】将四面体放入长方体中，根据四面体的棱长求解长方体的长宽高，进而建立空间直角坐标系，结合选项利用向量法逐项求解. 【详解】将四面体放入长方体中，（如图），设长方体的长宽高分别为， 则， 解得， 建立空间直角坐标系，则， 对于A，，， 因此直线与所成的角为，A错误； 对于B，外接球直径为，外接球表面积为，B正确； 对于C，点为直线上的动点，当位于的中点时，此时到距离最小， 且最小值为长方体的高，即为，C正确， 对于D，取中点，连接，由于，， 则，为二面角的平面角，， ， ，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知求出满足条件的关系式，然后根据古典概型概率公式，得出答案. 【详解】先后抛掷两次正方体骰子，用数组表示可能的结果，m是第一次抛掷的点数，n是第二次抛掷的点数， 则试验的样本空间为，其中共有36个样本点， 由得，∴，满足题意的样本点共3个：， 所以的概率. 故答案为：. 14. 已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用已知条件求出的值，进一步求出数列的通项公式， 再利用因式分解的方法求出结果. 【详解】当时，.又， 所以，解得.所以， 所以．所以，即， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，所以， 另时，也满足上式， 所以数列的通项公式为. 又，所以， 所以 又，所以，解得.又， 所以满足条件的n的取值集合为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案． 【小问1详解】 由题意得， 由于， 则 ， 因为，所以． 【小问2详解】 ， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值． 16. 在正项数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）记，设数列的前n项和为，证明：． 【答案】（1） 由，得， 因为数列为正项数列，所以，即， 又因为，所以数列是以为首项，2为公差的等差数列． （2） 由（1）可知，，即， 则， ∴， ∵，，∴． 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的定义进行运算证明即可； （2）利用裂项相消法进行运算证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 【答案】（1） 0 1 2 ，数学期望： （2） 0 1 2 ，数学期望： （3） 因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小， 即，第（1）不中奖的概率比第问小，即， 回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽. 回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的运算公式，结合二项分布的性质进行求解即可； （2）根据古典概型的运算公式，结合数学期望公式进行求解即可； （3）根据数学期望的性质，结合商场老板希望进行判断即可. 【小问1详解】 若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为， 因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数服从二项分布，即， 所以的所有可能取值为，则 ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问2详解】 若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数的所有可能取值为， 则， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 所以的数学期望为. 【小问3详解】 略 18. 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 【答案】（1）； （2）选①②，答案均为； （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换得到，又，所以； （2）若选①，利用三角形面积公式和得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； 若选②：由题设，平方得到，由余弦定理得到，联立求出，求出三角形面积； （3）由正弦定理和三角恒等变换得到，为锐角三角形，求出，从而得到，设边上的高为，由三角形面积公式求出. 【小问1详解】 在中，， 结合正弦定理可得：． 由得， ， ∴， ∴， ， 又，，又，所以； 【小问2详解】 若选①：由平分得：， ，即． 在中，由余弦定理得，则， 联立，得，解得， ； 若选②：由题设， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得，则， 联立，得， ． 【小问3详解】 由正弦定理得，故， 故 ， 由于为锐角三角形，故，故， 因此，， 因此， 设边上的高为，， 所以. 19. 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数： （1）设，求证：： （2）①证明不等式：： ②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值． 【答案】（1）证明：令，则， ，得在，上单调递减， 又（1），故当时，， 因此，当时，； （2）①证明：要证，，，只要证， 只要证，即证， 令，由（1）有，即得， 因此，； ②2 【解析】 【分析】（1）构造函数，利用导数判断出在，上单调递减，由（1），即可证明； （2）①用分析法证明：转化为证明，令，由（1）有，即可证明；②先把题意转化为恒成立.令，求出导函数，对k分类讨论：，不符合题意；当时，在，上单调递减，恒有（1），符合题意．即可求出正实数的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （2）①略 ②由，，，恒成立， 得恒成立，即得恒成立， 令，有恒成立， 得恒成立，恒成立， 令，有， 又（1）， 当（1），即时， 方程有一根大于1，一根小于1， 可得在，上单调递增，故有（1），不符合； 当时，有， ，从而在，上单调递减， 故当时，恒有（1），符合． 综上所述，正实数的取值范围为， 因此，正实数的最大值为2． 【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 唐山市第三中学2025－2026学年高三上学期12月月考 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，则它的最小正周期、初相分别是（ ） A. 2π， B. ， C. 2π， D. ， 3. 已知单位向量和满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 4. 石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一棵银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（ ）米． A. B. C. D. 13 5. 正项等比数列中的，是函数的极值点，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 将函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若是奇函数，则a的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为8，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知直角△ABC中，，，为边的中点，是边上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知为坐标原点，是抛物线：的焦点，是上的三个点，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的准线方程为 B. C. 直线的斜率为 D. 若三点共线，则的最小值为8 10. 设函数，，则下列结论正确的是（ ） A. 当时，在点处的切线方程为 B. 当时，有三个零点 C. 若有两个极值点，则 D. 若，则正实数的取值范围为 11. 已知四面体满足，，则（ ） A. 直线与所成的角为 B. 四面体的外接球表面积为 C. 点为直线上的动点，到距离的最小值为 D. 二面角平面角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的图像不经过第二象限，求实数的取值范围为___________． 13. 将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6），先后抛掷两次，将得到的点数分别记为m，n，若向量，，则的概率是________． 14. 已知数列的前项和为，，且（为常数）．若数列满足，且，则满足条件的的取值集合为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，，且． （1）求及； （2）记，求函数的最小值． 16. 在正项数列中，，． （1）证明：数列是等差数列； （2）记，设数列的前n项和为，证明：． 17. 某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数的分布列和数学期望. （3）如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由. 18. 在中，角的对边分别是，且，且． （1）求角的大小； （2）D为AC过上的一点，，且_____，求的面积； （从下面①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答）． ①BD是角B的平分线； ②D为线段AC的中点． （3）若为锐角三角形，求AC边上的高取值范围． 19. 对于正实数有基本不等式：，其中，为的算术平均数，，为的几何平均数．现定义的对数平均数： （1）设，求证：： （2）①证明不等式：： ②若不等式对于任意的正实数恒成立，求正实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $