27.2 相似三角形 方法技巧讲练讲义 2025-2026学年人教版九年级数学下册

本初中数学讲义聚焦相似三角形中“成比例线段的证明”核心知识点，构建“三点定形法→等线段代换法→等比代换法→等积代换法”的递进式学习支架，系统梳理从直接找相似到替换线段、中间比、中间积的证明路径。 资料通过分类例题与详细证明过程，培养学生推理意识与模型观念，如三点定形法直接关联相似三角形判定，等比代换法引导寻找中间比。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型例题巩固方法，查漏补缺。

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 方法技巧1 成比例线段的证明(一)三点定形法 方法技巧：要证明的比例式的四条线段恰好是两个三角形的对应边时，可直接用“三点定形法”左右定形或上下定形找相似三角形. 1.如图，在▱ 中,E 是AB 延长线上的一点,DE 交BC 于点F,求证: 2.如图，在 中,点 D,E 分别在AB,AC 上, ,AG平分 ，分别交线段DE,BC 于点F,G.求证: 3.如图, 和 都是等边三角形,点 D 在 BC 上,DE 交AC 于点 F.求证: AF·AC. 4.如图，在 中， M为BC 的中点, 交CA 的延长线于点 D，交AB于点E.求证： 方法技巧2 成比例线段的证明(二)等线段代换法 方法技巧：从要证的结论中难以找到相似三角形时，往往可用相等的线段去替换结论中的某些线段，再用“三点定形法”找相似三角形. 类型一 替换一条线段 1.如图,在四边形 ABCD 中,E 是 BC 的中点,且. 求证： BE·AE. 2.如图,在菱形ABCD 中, ,E 是射线CB 上一点,F 是边CD 上一点,且 求证： 类型二 替换两条线段 3.如图，在 中,点 D,E 在BC上,且 是等边三角形， 求证： BD·CE. 方法技巧3 成比例线段的证明(三)等比代换法(找中间比) 方法技巧：要证明的比例式无法直接通过平行或相似得到时，往往要找中间比进行代换. 类型一 两次运用平行线找中间比 1.如图,AC 是▱ABCD的对角线,G是AD 延长线上的一点,BG交AC 于点F,交CD 于点E.求证： 2.如图,AD∥BC,AB交CD 于点 E,F是AD上的一点,连接FE 并延长交BC 于点 G.求证: 类型二 两次运用相似找中间比 3.如图,在四边形ABCD 中, ，O 是对角线AC 的中点，连接BO并延长交边CD 于点E. (1)求证:△DAC∽△OBC; (2)求证: 4.如图,在Rt△ABC 中, 于点D,E 为AC 的中点,过 D,E 两点作直线交AB 的延长线于点 F. (1)求证:△CBA∽△ABD; (2)求证: 方法技巧4 成比例线段的证明(四)等积代换法(找中间积) 方法技巧：常借助于射影定理的基本图形和结论及两次相似找中间积. 1.如图,在△ABC中,AD⊥BC 于点D,DE⊥AB 于点E,DF⊥AC 于点 F.求证:AE·AB=AF·AC. 2.如图,CE 是Rt△ABC 的斜边AB上的高,在EC 的延长线上任取一点 P,连接AP,BG⊥AP于点G,交CE 于点 D. (1)求证:△AEP∽△DEB; (2)求证: 3.如图,在△ABC中,点D,E 分别在BC 和AC上,G是BE 上一点,且∠BAD=∠BGD=∠C,连接AG. (1)求证:△BDG∽△BEC; (2)求证: 4.如图,在矩形ABCD 中,AE⊥BD 于点E,P 是边AD 上一点,PE⊥EC. (1)求证:△AEP∽△DEC; (2)求证:DE·AP=AD·BE. 方法技巧1 成比例线段的 证明(一)三点定形法 1.证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AE∥DC,∠A=∠C, ∴∠CDF=∠E, ∴△DAE∽△FCD, 2.证明:∵∠AED=∠B, ∠DAE=∠CAB, ∴△ADE∽△ACB, ∴∠ADE=∠ACB, ∵AG平分∠BAC, ∴∠DAF=∠CAG, ∴△ADF∽△ACG, 3.证明:∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形， ∴∠ADF=∠ACD=60°, ∵∠DAF=∠CAD, ∴△ADF∽△ACD, 4.证明:∵∠BAC=90°,M为BC 的中点, ∴AM=BM=CM, ∴∠B=∠BAM, ∵∠B+∠C=90°, ∴∠BAM+∠C=90°, ∵∠C+∠D=90°, ∴∠BAM=∠D, ∵∠AME=∠DMA, ∴△AME∽△DMA, 方法技巧2 成比例线段的 证明(二)等线段代换法 1.证明:∵∠CEA=∠DEA+∠CED,∠CEA=∠B+∠BAE, ∵∠AED=∠B, ∴∠CED=∠BAE, ∵∠B=∠C, ∴△ABE∽△ECD, ∴AB·ED=EC·EA, ∵E是BC的中点, ∴BE=EC, ∴AB·DE=BE·AE. (注:本题实质是用 EC 替换BE.) 2.证明:连接AC,则△ABC 为等边三角形， ∵∠EAF=120°,∠BAC=60°, ∴∠EAB+∠CAF=60°, 又∠AEC+∠EAB=∠ABC=60°, ∴∠FAC=∠AEC, 又∠ACE=∠ACD=60°, ∴△AEC∽△FAC, 又∵AB=AC, (注：本题实质是用AC 替换AB.) 3.证明:∵△ADE 是等边三角形, ∴∠ADE=∠AED=60°, ∴∠B+∠BAD=60°, ∵∠BAC=120°, ∴∠B+∠C=60°, ∴∠BAD=∠C, 又∵∠ADB=∠CEA=120°, ∴△ADB∽△CEA, ∴AD·AE=BD·CE, ∵DE=AD=AE, (注：本题实质是用 DE² 替换AD和AE 两条线段之积.) 方法技巧3 成比例线段的证明(三)等比代换法 (找中间比) 1.证明:∵AB∥CD,AD∥BC, ∴△ABF∽△CEF,△AGF∽△CBF, (注：本题的中间比是 2.证明:∵AD∥BC, ∴△AFE∽△BGE, ∵AD∥BC, ∴△DFE∽△CGE, 即 (注：本题的中间比是 3.证明:(1)∵AD=CD, ∴∠DAC=∠DCA, ∵AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB. ∵BO 是Rt△ABC斜边 AC 上的中线, ∴OB=OC, ∴∠OBC=∠OCB, ∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=∠OBC, ∴△DAC∽△OBC; (2)由(1)得△DAC∽△OBC, ∠OBC, 又∵∠BEC=∠OEC, ∴△EOC∽△ECB, (注：本题的中间比是 4.证明:(1)∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠BAC=∠ADB=90°, 又∵∠ABC=∠ABD, ∴△CBA∽△ABD; (2)∵△CBA∽△ABD, 又∵E 为AC 的中点,AD⊥BC, ∴∠C=∠EDC, 又∵∠EDC=∠FDB, ∴∠FAD=∠FDB, ∵∠F=∠F, ∴△DBF∽△ADF, (注：本题的中间比是 ) 方法技巧4 成比例线段的证明(四)等积代换法 (找中间积) 1.证明:∵ ∠ADE,∠ADB=∠AED=90°, ∴△ABD∽△ADE, 同理△ACD∽△ADF,可得 AF·AC, ∴AE·AB=AF·AC. (注：本题的中间积是AD².) 2.证明:(1)∵BG⊥AP,CE⊥AB, ∴∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°. ∵∠GDP=∠EDB, ∴∠P=∠DBE. ∴△AEP∽△DEB; (2)∵△AEP∽△DEB, ∴PE·DE=AE·BE. ∵∠ACB=90°,CE⊥AB, ∴∠ACE+∠BCE=90°,∠ACE+∠CAE=90°. ∴∠CAE=∠BCE. ∴Rt△ACE∽Rt△CBE. (注:本题的中间积是AE·BE.) 3.证明:(1)∵∠BGD=∠C, ∠GBD=∠CBE, ∴△BDG∽△BEC; (2)由(1)得 ∴BD·BC=BG·BE, ∵∠BAD=∠C,∠ABD=∠CBA, ∴△DBA∽△ABC, (注:本题的中间积是 BD·BC.) 4.证明:(1)∵AE⊥BD,PE⊥EC, ∴∠AEP+∠PED=90°, ∠CED+∠PED=90°, ∴∠AEP=∠CED, 又∵∠PAE+∠ADE=90°, ∠CDE+∠ADE=90°, ∴∠PAE=∠CDE, ∴△AEP∽△DEC; (2)∵△AEP∽△DEC, ∴AE·CD=DE·AP, 又∵CD=AB, ∴AE·AB=DE·AP, 证△AEB∽△DAB, ∴AE·AB=AD·BE, ∴DE·AP=AD·BE. (注:本题的中间积是AE·AB.) 学科网（北京）股份有限公司 $