精品解析：上海财经大学附属北郊高级中学2025-2026学年高二上学期期末考试数学试卷

北郊高级中学2025~2026学年高二上学期期末考试 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分） 1. 抛物线的焦点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为， 所以该抛物线的焦点坐标为，即焦点的坐标为. 2. 若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据球的体积公式计算求解即可. 【详解】设这个球的半径为，球的体积是，则这个球的半径. 故答案为：1. 3. 已知向量，，若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据空间向量平行的坐标运算列式求得，由此求得. 【详解】由于，所以，解得，所以. 故答案为： 4. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】将已知点代入抛物线方程求得，结合抛物线定义求解即可. 【详解】由题意，解得，所以抛物线的准线为， 故所求为. 故答案为：. 5. 将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】边长为1的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体为圆柱，计算圆柱侧面积即可. 【详解】边长为1的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周得到的几何体为底面为半径为的圆、高为1的圆柱， 其侧面展开图为长为，宽为1，所以所得几何体的侧面积为. 故答案为：. 6. 已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由正四面体的棱长为3，可求出其底面正三角形的高和底面正三角形的外接圆的半径，即可求出正四面体的高. 【详解】一个正四面体的棱长为3， ∴正四面体的底面正三角形的高为：， ∴底面正三角形的外接圆的半径为：， 所以正四面体的高：. 故答案为：. 7. 在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】连接则，即为异面直线与所成的角，.在中，即可求解. 【详解】如图：连接则，即为异面直线与所成的角或其补角. 设正方体的棱长为，在中，，，， 异面直线与所成的角的大小为. 故答案为：. 8. 如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48，则直线与底面所成角的大小为_____.（用反三角函数表示） 【答案】 【解析】 【分析】先求出四棱柱的高，再在中求解直线与底面所成角的大小. 【详解】因为正四棱柱， 所以底面相等，, 所以， 因为正四棱柱的体积为48，根据棱柱体积公式得 得， 在中，，，， 所以, 所以直线与底面所成角的大小为. 故答案为： 9. 在直三棱柱中，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明平面，再利用等体积法求解 【详解】因为，所以，又三棱柱为直棱柱，所以平面，又平面， 所以平面平面，又平面平面 平面，所以平面， 易得, 在△中由余弦定理：得，故， 于是， 由棱柱性质得，平面，平面，所以平面，点到平面的距离即点到平面的距离，设为d 因为，所以,解得 故答案为： 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面的性质及线线平行的关系可直接作出截面，再计算各边可得周长. 【详解】如图：取棱的中点，连接，则多边形为截面图形. 因为且，所以四边形为平行四边形，所以. 又因为分别是的中点，由中位线定理得，再由， 所以，即四点共面，而平面是过的截面，且三点不共线， 所以四边形为截面图形，且截面为等腰梯形，由棱长为2， 所以，所以截面的周长为. 故答案为：. 11. “阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 【答案】 【解析】 【分析】将四棱锥的外接球转化为长方体的外接球，然后求其外接球表面积即可. 【详解】如图所示，这个四棱锥的外接球和长方体的外接球相同 而该长方体的体对角线即长方体的外接球的直径，依题，的长分别为7，5，8， 则这个四棱锥的外接球的半径为， 故其外接球的表面积为. 故答案为：. 12. 在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，得出的坐标，设，根据已知列出方程，化简得出点的轨迹为球.进而结合图象即可得出点到平面的最大距离，结合体积公式即可得出答案. 【详解】 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系， 则有. 又， 所以. 设，则. 因为， 代入可得， 整理可得， 即在以点为球心，为半径的球上. 又的面积为， 平面到平面的距离为4， 所以到平面的最大距离为. 体积最大值为. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13～14题每题3分，第15～16题每题4分） 13. 用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不同角度截得几何体的形状判断得出答案. 【详解】解： 对于选项A：当截面与轴截面垂直时，得到的截面形状是圆； 对于选项B：当截面与轴截面平行时，得到的截面形状是长方形； 对于选项C：当截面与轴截面斜交时，得到的截面形状是椭圆； 对于选项D：截面的形状不可能是等腰梯形； 故选：D 14. 如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点运动到线段端点、中点位置可判断ABD，根据异面直线的判定可判断C. 【详解】当运动到点时，与直线相交，故A错误； 当运动到点时，与直线相交，故B错误； 因为与在同一平面上，,平面， 所以由异面直线判定定理知，直线与直线始终异面，故C正确； 当运动到点中点时，，此时与直线共面，故D错误； 故选：C 15. 下列命题正确的是（ ） A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】根据正四棱柱的定义及举反例判断即可. 【详解】对于A、B：上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱叫做正四棱柱． 如图四棱柱， 满足平面平面，平面平面，底面是正方形，且四边形、为矩形， 但是平面不垂直平面，故A、B错误； 对于C：底面是菱形（不是正方形）的直四棱柱，满足每个侧面都是全等矩形，但是不是正四棱柱，故C错误； 对于D：底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直能保证上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面，故是正四棱柱，故D正确． 故选：D. 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】D 【解析】 【分析】①找到一个的充要条件，并确定一个面与垂直，判断这种面的个数；②利用正三角形的性质，将问题化为判断是否存在，再设参并列方程求参判断是否满足范围. 【详解】点在平面上的射影的轨迹为线段， 所以平面，平面，所以， 则的一个充要条件， 当射影位于线段上的任意位置时，过作垂线，垂足为，则， 由且都在面上，则面，而面， 所以，于是这样的直线不唯一，①为假； 由，，由上知， 又，要使为正三角形，只需即可， 若，则，，且， 所以， 令，则， 可得（负值舍）， 而，只需比较，大小， 将它们平方有，， 进而比较，大小， 将它们平方有，， 显然，即， 则， 所以， 即， 综上，，即所求，满足要求， 故存在点M、N，使为等边三角形，②为真； 故选：D 【点睛】关键点点睛：①点在平面上的射影，关键是构造一个平面与垂直，进而判断这样的平面个数；②将正三角形的三边关系转化为，再设且，并用表示，利用等量关系求参数并判断是否在给定范围内即可. 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 【答案】（1） 由于分别为棱的中点，故， 又平面，且不在平面上， 所以平面； （2） 由于平面，且平面，故， 又，且为棱的中点，故， 因为，平面，故平面， 又平面，故平面平面. 【解析】 【分析】（1）根据已知得，再由线面平行的判定定理即可证结论； （2）由线面垂直的性质、等腰三角形的性质得、，再由线面垂直的判定有平面，最后根据面面垂直的判定即可证结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）设，求线段中点到轴的距离； （2）若直线的倾斜角为，求面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由求出即可求解； （2）设，直线的方程：与抛物线方程联立，求出、，再由弦长公式求得，由点到直线的距离公式求得三角形的高，再由三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为过焦点的直线交抛物线于A，B两点，且， 设，则由抛物线的性质可得， 又由题，所以， 所以线段中点的横坐标即为线段中点到轴的距离为. 【小问2详解】 由直线的倾斜角为，则直线斜率为1，焦点为，所以直线的方程：， 将直线与抛物线联立，整理可得， 设，所以，， 所以， 原点到直线的距离， 所以. 19. 如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.求 （1）该圆锥的体积和表面积； （2）二面角的大小； （3）点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 【答案】（1）, （2） （3）点为中点. 【解析】 【分析】（1）根据圆锥的体积、表面积公式计算即可； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可； （3）由异面直线的向量夹角公式代入即可求解. 【小问1详解】 依题意可知圆锥的底面半径，高， 所以圆锥的体积为. 表面积为 【小问2详解】 依题意如图，建立直角坐标系 ，，， 则平面的一个法向量为 ，，设平面的法向量， 可得：，令，可得， 所以， 设二面角为， 则， 所以二面角的大小为. 【小问3详解】 设，，，， 由题意可得：，， 两方程联立解得：， 即点为中点. 20. 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，. （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算求解即可； （2）由等体积法可得，由平行六面体的体积减去该三棱锥的体积，即可得答案； （3）由题意可得，令，根据二次函数的性质求解即可. 【小问1详解】 易知为与的中点， 因为 ; 【小问2详解】 设平行六面体的底面积为，高为， 则， 则三棱锥的高也为， 则， 所以剩余几何体的体积； 【小问3详解】 因为， 所以， 又因为，， ， 令， 则其开口向上，对称轴为， 所以当时，取最小值， 为， 所以时，取最小值，为9， 即的最小值为9， 所以的最小值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北郊高级中学2025~2026学年高二上学期期末考试 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1～6题每题3分，第7～12题每题4分） 1. 抛物线的焦点的坐标为______． 2. 若一个球的体积是，则这个球的半径为______. 3. 已知向量，，若，则______． 4. 抛物线过点，则点到抛物线准线的距离为______． 5. 将边长为1的正方形绕一条边旋转一周后，所得几何体的侧面积为______. 6. 已知正四面体的棱长为3，则它的高为______． 7. 在如图所示的正方体中，设分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小为___________．（用反三角函数表示） 8. 如图，在正四棱柱中，，该正四棱柱的体积为48，则直线与底面所成角的大小为_____.（用反三角函数表示） 9. 在直三棱柱中，，则点到平面的距离为__________. 10. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，过作正方体的截面，则截面图形的周长为__________． 11. “阳马”是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥.《九章算术》总结了先秦时期的数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响.书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？”其意思为“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为_______平方尺. 12. 在棱长为4的正方体中，，若一动点满足，则三棱锥体积的最大值为____________. 二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13～14题每题3分，第15～16题每题4分） 13. 用一个平面截如图所示圆柱体，截面的形状不可能是（ ） A. B. C. D. 14. 如图所示，正方体中，是线段上的动点（包含端点），则下列哪条棱所在直线与直线始终异面（ ） A. B. C. D. 15. 下列命题正确的是（ ） A. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 B. 底面是正方形，有两个侧面垂直于底面的棱柱是正四棱柱 C. 每个侧面都是全等矩形的四棱柱是正四棱柱 D. 底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直的棱柱是正四棱柱 16. 如图，在棱长为2的正方体中，点M、N分别在线段和上，给出下列命题：①有且仅有一条直线与垂直；②存在点M、N，使为等边三角形，则（ ） A. ①、②均为真命题 B. ①、②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 三、解答题（本大题共有4题，满分44分） 17. 如图，在三棱锥中，，，分别为棱，的中点，平面. （1）求证：平面； （2）求证：平面平面. 18. 如图，已知抛物线，顶点为，过焦点的直线交抛物线于两点． （1）设，求线段中点到轴的距离； （2）若直线的倾斜角为，求面积． 19. 如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，是圆锥的高，点是底面直径所对弧的中点，点是母线的中点.求 （1）该圆锥的体积和表面积； （2）二面角的大小； （3）点在上，满足异面直线与所成角的余弦值为，试确定点的位置. 20. 如图，在平行六面体中，设为与的交点，若，，. （1）用向量表示向量； （2）若该平行六面体的体积为4，现将其截去三棱锥，求剩余几何体的体积； （3）若该平行六面体的底面是边长为1的菱形，且. 已知为空间一点，满足，，对于任意实数，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $