动点问题 专题复习（六大类型+详细解析） 2026年北师大版数学中考专题复习

《动点问题》专题复习（六大类型+详细解析）——2026年北师大版数学中考专题复习 第一大类型：在运动中求最值或定值问题 1．如图，在菱形中，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作交边于点E，与交于点N．设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为__________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求t的值； (3)设△PQE的面积为，求S与t的函 数关系式； (4)连接，在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使线段NQ的值最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点E从A出发沿AB向B匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线CA向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE、DF、EF，设运动时间为t秒（0＜t＜2.5）． 请解答以下问题： （1）t为何值时，EF∥AD？ （2）设△DEF的面积为y，求y关于t的函数； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得DF⊥EF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）求在运动过程中线段DF与DE和的最小值是多少？ 3．如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为t s（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？ （2）设△PFQ的面积为S cm2，求S与t之间的关系式； （3）当运动时间为2 s时，求PH的长； （4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由． 第二大类型：在运动中，有折叠、翻折或轴对称问题 4．如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形CQDP的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）当t＝　 　 秒，四边形PQBA是梯形？ （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）当t＝　 　 秒时，PD⊥AB． 6．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足为D．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q同时从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜10），连接PB，PQ．解答下列问题： （1）求AD的长度； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，点B'是点B关于AC的对称点，连接B'P，当t为何值时，∠B'PD+∠DPQ＝180°？ 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题： （1）t为何值时，BE＝BF； （2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 8．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题： （1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？ （2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式； （3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形； （4）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第三大类型：在运动中求两条线段的比值、经过某一个特殊点，或共线问题 9.如图，在▱ABCD中，BD⊥CD，AB＝8cm，AD＝10cm．动点N从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作EF∥CD，分别交AD，BC于点E，F，MN与DF相交于点H．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），请解答下列问题： （1）当四边形CDEF为菱形时，求t的值； （2）设五边形EMNCD的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得FH：HD＝1：3？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 10．已知：如图，菱形ABCD中，AB＝10cm，BD＝12cm，对角线AC与BD相交于点O，直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD，垂足是点P，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q．（0＜t＜6） （1）求线段PQ的长；（用含t的代数式表示） （2）设△MQP的面积为y（单位：cm2），求y与t的函数关系式； （3）是否存在某时刻t，使线段MQ恰好经过点O？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 11. 已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 12．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）． （1）当点E与点C重合时，求t的值； （2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上； （3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动．PF⊥BC，垂足为F，EF与PC相交于点D．如果P，E的运动速度均为2cm/s，设运动的时间为t s（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，PE∥BC？ （2）设△PEF的面积为S cm2，求S与t的关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为3：10？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． （4）当PC经过EF的中点时，求t的值． 14．已知，如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝CD＝6，tanB＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE⊥BC，交折线BA﹣AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，∠F＝90°，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，点F恰好落在CD上？ （2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请求S关于t之间的函数关系式； （3）当F在CD右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形ABCD的面积比为1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过点Q作QM⊥BC，交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若两个等腰直角三角形分别有一条边恰好在一条直线上，请直接写出t的值． 第四大类型：利用动线构造平行四边形（包括矩形、正方形） 15．已知：如图，四边形ABCD是边长为10cm的菱形，∠DAB＝60°．动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，连接并延长EQ，与CB延长线相交于点M，连接DE．设运动的时间为t（s），0＜t＜5． 根据题意解答下列问题： （1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （2）用含t的代数式表示DE； （3）设四边形CDEM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． 16. 已知：如图1，在△ABC中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： （1）连接，当时，求的值； （2）如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，连接与交于点，当时，求值． 17. 如图，在矩形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，作，交于点，以为邻边作矩形．设运动时间为． （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）在动点运动的过程中，的值是否为定值？请说明理由； （3）设矩形的面积为，求与之间的关系式． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒，0＜t＜． （1）求当t为何值时，DQ∥AC？ （2）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式； （3）连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过▱PEQD的对称中心O？若存在，求t的值；不存在，请说明理由． 第五大类型：点在角平分线或中垂线上 19．如图，在菱形ABCD中，AB＝8cm，∠DAB＝60°，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；动点F同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s，过点E作EG⊥AC，交AC于点H，连接EF，FG．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题： （1）当t为何值时，EF∥AC？ （2）设△EFG的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点F在∠GEB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 20. 如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点？ （2）如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； （3）如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 21．如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？ （2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？ （3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值； （4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． 22．如图，已知Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD＝4，BC＝CE＝3，B、C、D共线．动点P从D点出发沿DB向B点运动；动点Q从B点出发沿BA向A点运动；速度均为1cm/s，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为M点，连接PQ，PM，QM（0＜t＜5），解答下列问题： （1）当PQ⊥AB时，求t的值； （2）设△QPM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点Q在PM的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 23．已知矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝3cm，BC＝4cm，点P为边AD上的一个动点，动点P从点A出发沿AD边向点D运动，速度是1cm/s，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿CA边向点A运动，速度是1cm/s，EF是过点Q的直线，分别交BC、CD于点E，F，且运动过程中始终保持EF⊥AC于Q；P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且（0≤t≤），解答下列问题： （1）连接PE，t为何值时，四边形ABEP是平行四边形？ （2）连接EP、PF，设四边形PECF的面积为y cm2，求y关于t的函数关系式； （3）请从选择以下任意一题作答，我选 　 　（若同时作答①和②，按①解答计分）． ①连接BP，是否存在某一时刻t，使点E在∠BPD 平分线上时，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． ②是否存在某一时刻t，使点F在PE垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 第六大类型：某个时刻，两条线夹角为特殊角 24．已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？ （2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值； （3）设△DPQ的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值； （4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 《动点问题》专题复习（六大类型+详细解析）——2026年北师大版数学中考专题复习解析 第一大类型：在运动中求最值或定值问题 1．如图，在菱形中，，．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；动点Q同时从点C出发，沿方向匀速运动，速度为．过点Q作交边于点E，与交于点N．设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为__________（用含t的代数式表示）； (2)当时，求t的值； (3)设△PQE的面积为，求S与t的函 数关系式； (4)连接，在运动的过程中，是否存在某一时刻t，使线段NQ的值最小？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (1) (2) (3) (4)存在，当时，线段的值最小． 【分析】（1）证明得出，即可求解； （2）证明四边形是平行四边形，得出，列方程为，求解即可； （3）证明，得出，从而证得，过点B作于点F，求出、，然后由三角形面积公式求解即可； （4）证明，则当的值最小时，线段的值也最小，当时，的值最小，连接，求得，，则，求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 设交于K，如图， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， 即． 故答案为：． （2）解：由题意得，， ， 四边形是菱形， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ． （3）解：由题意得，， ，， 是等边三角形， ． 四边形是菱形， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 为直角三角形，过点B作于点F， 是等边三角形，， ， 在中，， ，， ， ． （4）解：由（3）可知：△PQE为直角三角形， ， ， ，， ， ，， ， 当的值最小时，线段的值也最小， ，， 当时，的值最小，连接， ，， ， ， ， ， ． 当时，线段的值最小． 【点睛】本题属四边形综合题目，主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形的面积，熟练掌握相菱形的性质，平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识是解题的关键． 2．如图，矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点E从A出发沿AB向B匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线CA向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE、DF、EF，设运动时间为t秒（0＜t＜2.5）． 请解答以下问题： （1）t为何值时，EF∥AD？ （2）设△DEF的面积为y，求y关于t的函数； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得DF⊥EF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）求在运动过程中线段DF与DE和的最小值是多少？ 【分析】（1）由EF∥AD可得△AEF∽△ABC，由AE＝t，CF＝t结合勾股定理，相似的性质计算即可； （2）过点F作MN⊥AB交CD于点M，交AB于点N，∠FCM＝∠ACD由等角的三角函数值相等计算MF，CM，由S△DEF＝S矩形ADMN﹣S△ADE﹣S△DMF﹣S△FEN＝6﹣t﹣，即可得解； （3）由DF⊥EF可得A，D，F，E四点在以DE为直径的圆上，易得∠FDE＝∠FAE即△FDE∽△BAC表示出线段DF，再由勾股定理表示DF，列等式计算即可； （4）作C关于AB的对称点C′，连接AC′，在AC′上取AM＝4，作MQ⊥CD于点P，交AB于点Q，首先证得△DCF≌△MAE（SAS），进而得到DF＝ME，DF+DE＝DM，当D、E、M共线时，DE+DF＝DM有最小值，利用MP∥CC′，得到＝，求得MQ＝2.4厘米，AQ＝DP＝3.2厘米，MP＝2.4+3＝5.4（厘米），然后利用勾股定理DM＝解答即可． 【解答】解：（1）∵EF∥AD， ∴△AEF∽△ABC， ∴＝， 在矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米， ∴AC＝＝5（厘米）， ∵点E从A出发沿AB向B匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线CA向A匀速运动，速度为1厘米/秒， ∴AE＝t厘米，CF＝t厘米， ∴AF＝AC﹣CF＝（5﹣t）厘米， ∴＝， ∴t＝， ∴t＝时，EF∥AD； （2）过点F作MN⊥AB交CD于点M，交AB于点N，如图1： ∵∠FCM＝∠ACD， ∴sin∠FCM＝sin∠ACD， ∴＝， ∵CF＝t厘米，AD＝3厘米，AC＝5厘米， ∴MF＝， 同理可得：CM＝t厘米， ∵AB＝CD＝4厘米，AE＝t，厘米 ∴DM＝AN＝（4﹣t）厘米， ∴EN＝4﹣t﹣t＝（4﹣t）厘米，FN＝（3﹣t）厘米， ∴S△ADE＝AE•AD＝， S△DMF＝DM•MF＝（4﹣t）×t＝t﹣， S△FEN＝FN•EN＝（3﹣t）（4﹣t）＝6﹣t+t2， ∴S矩形ADMN＝AD•DM＝3（4﹣t）＝12﹣t， ∵S△DEF＝S矩形ADMN﹣S△ADE﹣S△DMF﹣S△FEN＝6﹣t﹣， ∴y＝6﹣t﹣（0＜t＜2.5）； （3）存在某一时刻t，使得DF⊥EF；理由如下： ∵DF⊥EF， ∴∠DFE＝∠A＝90°， ∴A，D，F，E四点在以DE为直径的圆上，如图2， ∴∠FDE＝∠FAE， ∴△FDE∽△BAC， ∴＝＝， ∴FD＝DE厘米，EF＝DE厘米， 由（2）可知：DE＝， ∴DF＝厘米， ∵DF＝＝厘米， ∴＝， 整理可得：9t2﹣160t+256＝0， 解得：t＝或t＝16（舍去）； 当t＝时，DF⊥EF． （4）作C关于AB的对称点C′，连接AC′，在AC′上取AM＝4，作MQ⊥CD于点P，交AB于点Q，如图3， 在△DCF和△MAE中， ， ∴△DCF≌△MAE（SAS）， ∴DF＝ME， ∴DF+DE＝DE+EM＝DM， 当D、E、M共线时，DE+DF＝DM有最小值， 此时，AM＝4厘米，AC′＝5厘米， ∵MP∥CC′， ∴＝，即＝， ∴MQ＝2.4厘米，AQ＝DP＝3.2厘米， ∴MP＝2.4+3＝5.4（厘米）， ∴最小值为：DM＝＝＝（厘米）． 3．如图，在正方形ABCD中，，将正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转90°得到正方形CEFM．动点P从点A出发，沿AC方向运动，运动速度为1cm/s．过点P作AC的垂线，交AD于点Q，连接CQ，交PF于点H．设动点P的运动时间为t s（0＜t＜8）．解答下列问题： （1）当t为何值时，S△APQ：S△CDF＝1：4？ （2）设△PFQ的面积为S cm2，求S与t之间的关系式； （3）当运动时间为2 s时，求PH的长； （4）若N是PF的中点，在运动的过程中，点N到∠DFE两边距离的和是否为定值？请说明理由． 【分析】（1）根据正方形的性质得△APQ是等腰直角三角形，△CDF是等腰直角三角形，然后利用三角形的面积公司即可解决问题； （2）过点P作PJ⊥AD于J，得△APJ，△PQJ都是等腰直角三角形，求出FQ＝AF﹣AQ＝（8﹣t）cm，进而可以解决问题； （3）根据题意求出PF＝10cm，由PH：HF＝PQ：CF＝1：4，进而可以解决问题； （4）过点P作AF的平行线交AB，EF于点T，R，过点N作NK⊥EF于点K，NN′⊥AF于点N′，证明NK是△FPR的中位线，NN′是△FPJ的中位线，进而可以解决问题． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠CAQ＝45°， ∵QP⊥AC， ∴△APQ是等腰直角三角形， ∴AP＝PQ＝t cm， ∵四边形CEFM是正方形， ∴△CDF是等腰直角三角形， 在正方形ABCD中，，S△APQ：S△CDF＝1：4， ∴4S△APQ＝S△CDF， ∴4×AP•PQ＝CD•DF， ∴4t2＝（4）2， ∴t＝2（负值舍去）， ∴当t为2时，S△APQ：S△CDF＝1：4； （2）如图，过点P作PJ⊥AD于J， ∴△APJ，△PQJ都是等腰直角三角形， ∴AJ＝PJ＝t cm，AJ＝JQ＝t cm， ∴FQ＝AF﹣AQ＝（8﹣t）cm， ∴△PFQ的面积S＝FQ•PJ＝（8﹣t）•t＝﹣t2+4t（0＜t＜8）， ∴S与t之间的关系式为S＝﹣t2+4t（0＜t＜8）； （3）当运动时间为2 s时，AP＝PQ＝2cm， ∴AQ＝2cm，AJ＝PJ＝cm， ∴FJ＝AF﹣AJ＝8﹣＝7（cm）， ∴PF＝＝＝10（cm）， ∵CF＝CD＝8cm，PQ＝AP＝2cm， ∴PQ：CF＝1：4， ∵QP⊥AC，AC⊥CF， ∴PQ∥CF， ∴△PQH∽△FCH， ∴PH：HF＝PQ：CF＝1：4， ∴PH＝CF＝×10＝2（cm）， ∴PH的长为2cm； （4）点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm，理由如下： 如图，过点P作AF的平行线交AB，EF于点T，R， ∴PT⊥AB， ∵PJ⊥AD，AP平分∠BAD， ∴PT＝PJ， ∴四边形ATPJ是正方形， ∴PT＝AJ， ∵PR∥AF， ∴∠PRF＝∠RFJ＝90°＝∠PJF， ∴四边形PJFR是矩形， ∴PR＝FJ， 过点N作NK⊥EF于点K，NN′⊥AF于点N′， ∴NK∥PR，NN′∥PJ， ∵N是PF的中点， ∴K是FR的中点，N′是FJ的中点， ∴NK是△FPR的中位线，NN′是△FPJ的中位线， ∴NK＝PR，NN′＝PJ， ∴NK+NN′＝PR+PJ＝（PR+PJ）＝（FJ+AJ）＝AF＝8＝4（cm）． ∴点N到∠DFE两边距离的和是定值4cm． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，三角形中位线定理，正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是综合运用相关知识． 第二大类型：在运动中，结合折叠、翻折或轴对称来解决相关问题 4．如图①，中，中，，边与重合，且顶点E与边上的定点N重合，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；同时，动点O从点A出发，沿方向匀速运动，速度为，与交于点P，连接，设运动时间为．解答下列问题： (1)当t为何值时，点A在线段的垂直平分线上？ (2)设四边形的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)如图③，过点O作，交于点Q，与关于直线对称，连接．是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． (1)当时，点A在线段的垂直平分线上 (2) (3)存在使 【分析】（1）先表示出，，再根据线段垂直平分线上的点到相等两端的距离相等得到，据此建立方程求解即可； （2）如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G，先由勾股定理得到，再解直角三角形得到，再证明，然后解直角三角形求出的长，最后根据进行求解即可； （3）过点P作于G，解，得到，，则，进而得到；再解得到，由对称性可得，解得到，由平行线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图①所示，∵ ， ∴， 如图②所示，由题意得，， ∴， ∵点A在线段的垂直平分线上， ∴， ∴， 解得， ∴当时，点A在线段的垂直平分线上； （2）解：如图所示，过点O分别作的垂线，垂足分别为H、G， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵， ∴； 由（1）可知，， ∴，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， ∴ ； （3）解：如图所示，过点P作于G， 由（2）可知， 在中，，， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵与关于直线对称， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， 经检验是原方程的解， ∵， ∴符合题意； 综上所述，存在使． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16，动点P从点A出发沿AC边向点C以每秒3个单位长的速度运动，动点Q从点C出发沿CB边向点B以每秒4个单位长的速度运动．P，Q分别从点A，C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ关于直线PQ对称的图形是△PDQ．设运动时间为t（秒）． （1）设四边形CQDP的面积为y，求y与t的函数关系式； （2）当t＝　 　 秒，四边形PQBA是梯形？ （3）是否存在时刻t，使得PD∥AB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）当t＝　 　 秒时，PD⊥AB． 【分析】（1）由题意知CQ＝4t，PC＝12﹣3t，即可得出答案； （2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB，再利用相似三角形的性质可得答案； （3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD 交BC于点M，证明Rt△QMD∽Rt△ABC，得出，得出QM，证明△PCM∽△ACB，得出，得出方程求解即可； （3）延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在Rt△APH中，利用相似三角的判定与性质分别表示出AH和BR的长，即可列出方程． 【解答】解：（1）由题意知CQ＝4t，PC＝12﹣3t， ∴， ∵△PCQ 与△PDQ 关于直线PQ对称， ∴； （2）当四边形PQBA是梯形时，PQ∥AB， ∴△PCQ∽△ACB，则， 即， 解得：t＝2， 故t为2秒时，四边形PQBA是梯形， 故答案为：2； （3）设某一时刻t，PD∥AB，延长PD 交BC于点M，如图， 若 PD∥AB，则∠QMD＝∠B， 又∵∠QDM＝∠C＝90°， ∴Rt△QMD∽Rt△ABC（HL）， ∴， ∵QD＝CQ＝4t，AC＝12，， ∴， ∵PD∥AB， ∴∠CPM＝∠A，∠PMC＝∠B， ∴△PCM∽△ACB， ∴， 即， 解得． （4）存在时刻t，使得 PD⊥AB， 延长PD交AB于H，过Q作QR⊥AB于R．在Rt△APH中， ∵AP＝3t， ∴，而HR＝DQ＝CQ＝4t， 在Rt△BQR中，∵BQ＝16﹣4t， ∴， ∵AB＝20． ∴， 解得t＝， 故答案为：． 【点评】本题是一道动态几何题，主要考查了轴对称的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝15cm，BC＝20cm．BD⊥AC，垂足为D．点P从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；点Q同时从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为2cm/s．设运动时间为t（s）（0＜t＜10），连接PB，PQ．解答下列问题： （1）求AD的长度； （2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． （4）如图②，点B'是点B关于AC的对称点，连接B'P，当t为何值时，∠B'PD+∠DPQ＝180°？ 【解答】解：（1）∵∠B＝90°， ∴AC＝＝25cm， ∵∠A＝∠A，∠ABC＝∠ADB， ∴△ABC∽△ADB， ∴， 即， ∴AD＝9； （2）存在某一时刻t，使点C在线段PQ的垂直平分线上，理由如下： 由题意得， QC＝2t cm，PC＝（25﹣9﹣t）cm＝（16﹣t）cm， ∵点C在线段PQ的垂直平分线上， ∴PC＝QC， ∴16﹣t＝2t， ∴， ∴当t＝s时，点C在线段PC的垂直平分线上； （3）如图1， 存在某一时刻t，使△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25， 作PM⊥BC于M， ∵∠C＝∠C，∠PMC＝∠ABC， ∴△ABC∽△PMC， ∴， 即， ∴， ∴， ∴，（舍去）， ∴当t＝（13﹣）s时，△PBQ的面积与△ABC的面积之比是2：25； （4）如图2， 过点Q作QN⊥AC于点N， ∵∠C＝∠C，∠QNC＝∠ABC， ∴△CNQ∽△CBA， ∴， 即， ∴ cm， ∴QN＝＝cm， ∴PN＝（16﹣t﹣）cm＝（）cm， ∵点B'是点B关于AC的对称点， ∴∠B′PD＝∠BPD， ∵∠B'PD+∠DPQ＝180°， ∴∠BPD+∠DPQ＝180°， ∵∠BPD+∠BPC＝180°， ∴∠BPC＝∠DPQ， ∴∠BPD＝∠CPQ， ∵∠BDP＝∠QNP＝90°， ∴△BDP∽△QNP， ∴， 即， ∴舍去）， ∴当t＝（）s时，∠B'PD+∠DPQ＝180°． 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm．点E从A出发，沿AB方向向B匀速运动，速度是1cm/s；同时，点F从B出发，沿BC方向向C匀速运动，速度是2cm/s．将△AEF沿AF折叠，E的对称点为G．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请回答下列问题： （1）t为何值时，BE＝BF； （2）设四边形ABFG的面积为S（cm2），求S关于t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）是否存在某一时刻t，使得四边形AEFG为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）利用勾股定理求得BC，利用折叠的性质表示出线段AE，BF，BE，列出关于t的方程即可求得结论； （2）过点F作FH⊥AB于点H，利用相似三角形的判定与性质求得线段FH，利用三角形的面积公式和中点的性质计算即可得出结论； （3）利用折叠的性质和角平分线的性质定理列出关于t的方程即可得出结论； （4）利用反证法解答，假设四边形AEFG为菱形，则AE＝EF＝t，过点E作EM⊥BC于点M，利用相似三角形的判定与性质求得线段FE，FM，EM，在Rt△EFM中，利用勾股定理列出关于t的方程，解方程，Δ＜0，原方程无解，则结论可得． 【解答】解：（1）BC＝＝＝8cm． 由题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， ∴BE＝（10﹣t）cm， ∵BE＝BF， ∴10﹣t＝2t， ∴t＝． ∴t为时，BE＝BF； （2）过点F作FH⊥AB于点H，如图， ∵∠FHB＝∠C＝90°，∠B＝∠B， ∴△BFH∽△BAC， ∴， ∴， ∴FH＝t． 由题意：△AEF≌△AGF， ∴S△AEF＝SAGF． ∵S四边形ABFG＝S△AFB+S△AGF＝S△ABF+S△AEF， ∴S＝AB•FH+•FH＝10×t+t×t＝+6t． ∴S关于t的函数关系式为S＝+6t； （3）存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，理由： 由题意：△AEF≌△AGF， ∵点G落在线段AC上， ∴∠GAF＝∠BAF， ∴， ∴， 解得：t＝． ∴存在某一时刻t，使得点G落在线段AC上，此时t＝． （4）不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形，理由： 若四边形AEFG为菱形， ∴AE＝EF＝t， 过点E作EM⊥BC于点M，如图， ∵EM⊥BC，AC⊥BC， ∴EM∥AC， ∴，， ∴， ∴EM＝（10﹣t），BM＝（10﹣t）， ∴FM＝|BM﹣BF|＝|﹣2t|． ∵EF2＝EM2+FM2， ∴， 整理得：9t2﹣65t+125＝0， ∵Δ＝652﹣4×9×125＝﹣275＜0， ∴此方程无解， ∴不存在时刻t，使得四边形AEFG为菱形． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，利用勾股定理来解决问题. 8．如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AB＝6cm，BC＝8cm．点E从点D出发，沿DA方向匀速运动，速度是2cm/s；点F从点B出发，沿BD方向匀速运动，速度是1cm/s，MN是过点F的直线，分别交AB、BC于点M、N，且在运动过程中始终保持MN⊥BD．连接EM、EN、EF，两点同时出发，设运动时间为t（s）（0＜t＜3.6），请回答下列问题： （1）求当t为何值时，△EFD∽△ABD？ （2）设四边形BMEN的面积为S（cm2），求S关于t之间的函数关系式； （3）求当t为何值时，△EFD为等腰三角形； （4）将△EMN沿直线MN进行翻折，形成的四边形能否是菱形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）当△ABD∽△EFD时，则，代入计算即可； （2）利用△BFM∽△BAD，得，可得BM的长，同理得出BN，根据S＝S梯形ABNE﹣S△AME，可得答案； （3）分ED＝EF，DE＝DF，FE＝FD三种情形，分别画出图形，利用相似相似三角形的判定与性质可得答案； （4）当EM＝EN时，过点E作EK⊥BC于K，利用勾股定理分别表示出EM和EN的长，从而得出方程解决问题． 【解答】解：（1）由题意得：DE＝2t，BF＝t， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，BD＝， ∴DF＝BD﹣BF＝10﹣t， 当△ABD∽△EFD时， 则， 即， 解得t＝， 即当t为时，△EFD∽△ABD； （2）∵MN⊥BD， ∴∠MFB＝90°， ∵∠MBF＝∠MBF， ∴△BFM∽△BAD， ∴， 即， 解得BM＝， 同理BN＝， ∴AM＝AB﹣BM＝6﹣， ∴S＝S梯形ABNE﹣S﹣ ∴S关于t之间的函数关系式为S＝﹣； （3）①当ED＝EF时，过点E作EG⊥BF于G， ∵ED＝EF， ∴△EFD为等腰三角形， 又∴EG⊥DF， ∴DG＝， ∵∠EDG＝∠BDA，∠EGD＝∠BAD＝90°， ∴△EGD∽△BAD， ∴， 即， ∴t＝； ②当EF＝FD时，过点F作FH⊥AD， ∵EF＝FD， ∴△EFD为等腰三角形， 又∴FH⊥ED， ∴HD＝， ∵∠ADB＝∠HDF，∠BAD＝∠FHD， ∴△DHF∽△DAB， 即， ∴t＝（舍去）， ③当DE＝DF时，2t＝10﹣t， ∴t＝， 综上，当t＝或时，△EFD为等腰三角形； （4）假设存在符合题意的t，则EM＝EN， 过点E作EK⊥BC于K， 则四边形EKCD为矩形， ∴ED＝CK＝2t，EK＝CD＝6，NK＝BC﹣BN﹣CK＝8﹣， ∴EN2＝EK2+NK2＝，EM， ∴＝， 解得t1＝t2＝0， ∵t≠0，不合题意， ∴不存在四边形是菱形． 【点评】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理等知识，化动为静，熟练掌握相似三角形的基本模型是解题的关键． 第三大类型：求两条线段的比值、经过某一个特殊点，或共线问题 9.如图，在▱ABCD中，BD⊥CD，AB＝8cm，AD＝10cm．动点N从点C出发，沿CB方向匀速运动，速度为1cm/s；动点M同时从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为1cm/s．过点M作EF∥CD，分别交AD，BC于点E，F，MN与DF相交于点H．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），请解答下列问题： （1）当四边形CDEF为菱形时，求t的值； （2）设五边形EMNCD的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得FH：HD＝1：3？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先根据时间×速度可得DM的长，由勾股定理可得BD的长，最后由三角函数列式即可得t的值； （2）如图1，连接DN，过点N作NP⊥CD于点P，根据三角函数可得EM＝t，PN＝t cm，利用面积和即可解答； （3）如图2，延长MN，DC交于点G，先表示FM的长和CF的长，根据平行线分线段成比例定理先表示CG的长，即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：DM＝t cm， ∵BD⊥CD， ∴∠BDC＝90°， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD＝8cm，AB∥CD， ∴∠ABD＝∠CDB＝90°， 由勾股定理得：BD＝＝6（cm）， ∵EF∥CD，AB∥CD， ∴AB∥EF， ∴∠EMD＝∠ABD＝90°， ∵四边形CDEF为菱形， ∴DE＝CD＝8cm， ∵cos∠EDM＝＝， ∴＝， ∴t＝4.8； （2）如图1，连接DN，过点N作NP⊥CD于点P， 由题意得：DM＝CN＝t cm， ∵EF∥CD，DE∥CF， ∴四边形EDCF是平行四边形， ∴∠C＝∠DEF， ∵tan∠DEF＝＝， ∴＝， ∴EM＝t， ∵sinC＝＝， ∴＝， ∴PN＝t cm， ∴CP＝t cm， ∴PD＝CD﹣CP＝（8﹣t）cm， ∴S＝S△EMD+S△DMN+S△DNC ＝•t•t+•t•（8﹣t）+•8•t ＝+4t﹣﹣t ＝t2+t； （3）在运动过程中，存在某一时刻t，使得FH：HD＝1：3， 如图2，延长MN，DC交于点G， ∵EM＝t cm，EF＝CD＝8cm， ∴FM＝（8﹣t）cm， 在Rt△EMD中，EM＝t cm，DM＝t cm， ∴ED＝t cm， ∵四边形DCFE是平行四边形， ∴CF＝ED＝t cm， ∵CN＝t cm， ∴FN＝t﹣t＝t（cm）， ∵FM∥DG， ∴＝，即＝， ∴CG＝（12﹣2t）cm， ∴DG＝8+12﹣2t＝（20﹣2t）cm， ∵FM∥DG， ∴＝＝， ∴DG＝3FM， ∴20﹣2t＝3（8﹣t）， ∴t＝2． 【点评】此题是四边形综合题，考查了几何动点问题，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，利用参数表示线段的长是解本题的关键，属于考试压轴题． 10．已知：如图，菱形ABCD中，AB＝10cm，BD＝12cm，对角线AC与BD相交于点O，直线MN以1cm/s从点D出发，沿DB方向匀速运动，运动过程中始终保持MN⊥BD，垂足是点P，过点P作PQ⊥BC，交BC于点Q．（0＜t＜6） （1）求线段PQ的长；（用含t的代数式表示） （2）设△MQP的面积为y（单位：cm2），求y与t的函数关系式； （3）是否存在某时刻t，使线段MQ恰好经过点O？若存在求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图1中， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝10，OB＝OD＝6，BD⊥AC， 在Rt△BOC中，OC＝＝＝8， ∴sin∠OBC＝＝， 在Rt△PBQ中，∵PB＝12﹣t， sin∠PBQ＝＝， ∴PQ＝（12﹣t）＝﹣t（0＜t＜6）． （2）如图2中，作QH⊥MN于H． ∵∠QPH+∠BPQ＝90°，∠BPQ+∠CBO＝90°， ∴∠QPH＝∠CBO， ∴QH＝PQ•sin∠QPH＝（﹣t）， 易知PM＝t， ∴y＝•PM•QH＝•t•（﹣t）＝t﹣t2（0＜t＜6）． （3）如图3中，连接QN． 当MQ经过点O时，易证△BOQ≌△DOM， ∴BQ＝DM，OM＝OQ， ∵PM＝PN， ∴OP∥QN，NQ＝2OP， ∴QN⊥MN，QN＝（﹣t）， ∴（﹣t）＝2（6﹣t）， 解得t＝， ∴t＝时，MQ经过点O． 【点评】本题考查四边形综合题、菱形的性质、时间中位线定理、锐角三角函数、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，熟练应用锐角三角函数解决问题，属于中考压轴题． 11. 已知：矩形与等腰如图①摆放（点与点重合），点，，在同一直线上，，，，，点到的距离为．如图②，从图①位置出发，沿方向匀速运动，速度为，交于点；同时，点从出发，沿方向匀速运动，速度为，当停止运动时，也停止运动．连接、，设运动时间为（）．请解答下列问题： （1）当为何值时，？ （2）设四边形的面积为，求与的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使得点关于的对称点恰好落在上？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）在矩形中，，，，勾股定理求出，根据题意可得，，当时，，得出，即，求出即可解答． （2）等腰平移之前，根据，，点到的距离为，求出，等腰平移之后，，连接，过点作，根据，表示出，根据四边形的面积梯形的面积—△DGP的面积，表示出． （3）延长交于点，当点关于的对称点恰好落在上时，根据对称可得，在矩形中，，得出，即可得，等角对等边得出，证明△NDP∽△EBP，得出，即可得，，过点作，根据，，点到的距离为，得出，勾股定理求出，即可得，求出即可解答． 【小问1详解】 解：在矩形中，，，， ∴， 根据题意可得， 当时，， ∴， ∴， 解得：． 即当时，． 【小问2详解】 解：连接，如图； 等腰平移之前， ∵，，点到的距离为， ∴， 等腰平移之后，， 过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 四边形的面积梯形的面积—△DGP的面积， ∴ ． 【小问3详解】 解：延长交于点， 当点关于的对称点恰好落在上时， 根据对称可得， ∵在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴△NDP∽△EBP， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作， ∵，，点到的距离为， ∴， ∴， ∴， 解得：． 12．在矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm．动点P从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s；同时，点Q从A点出发，沿射线DA方向匀速运动，速度为1cm/s．过点P作PE⊥BD，垂足为点P，交射线DC于点E，连接EQ，交AB于点G，交DB于点F．设运动时间为t（s）（0＜t≤5）． （1）当点E与点C重合时，求t的值； （2）当t为何值时，点Q，B，E在一条直线上； （3）是否存在某一时刻t，使得△AQG∽△PEF？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）证明△DPC∽△DCB，得出，则可得出答案； （2）证明△DBC∽△DEP，得出，即，求出DE，CE，证明△ABQ∽△CEB，得出，则可得出答案； （3）由相似三角形的性质可得出答案． 【解答】解：（1）由题意得AQ＝t cm，DP＝2t cm， ∵矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝8cm． ∴∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝∠DCB＝90°，AB＝DC＝6cm，AD＝BC＝8cm，AB∥CD， ∴BD＝＝10（cm）， ∵当点E与点C重合时，PE⊥BD，CD＝DE＝6cm， ∴∠DPE＝∠DCB＝90°， ∵∠PDE＝∠BDC， ∴△DPC∽△DCB， ∴， 即， 解得； （2）如图，若Q，B，E在一条直线上， ∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC， ∴△DBC∽△DEP， ∴， 即， 解得； ∴， ∵∠QAB＝∠BCE＝90°，∠AQB＝∠CBE＝90°﹣∠QBA， ∴△ABQ∽△CEB， ∴， 即， 解得 ，t2＝﹣3 （舍）， ∴t＝时，点Q，B，E在一条直线上； （3）若△AQG∽△PEF，则∠AGQ＝∠PFE，， 由（2）可知． ， ∵AB∥CD， ∴∠AGQ＝∠DEF， ∴∠PFE＝∠DEF， ∴， ∴， ∵∠DPE＝∠DCB＝90°，∠PDE＝∠BDC， ∴△DPE∽△DCB， ∴， 即， 解得PE＝t， ∴， ∵AB∥DC， ∴， ∵， ∴， 解得． 13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°．动点P从点B出发，沿BA方向运动；同时动点E从点A出发，沿AC方向运动．PF⊥BC，垂足为F，EF与PC相交于点D．如果P，E的运动速度均为2cm/s，设运动的时间为t s（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，PE∥BC？ （2）设△PEF的面积为S cm2，求S与t的关系式； （3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为3：10？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由． （4）当PC经过EF的中点时，求t的值． 【分析】（1）根据相似三角形的性质得到∠APE＝∠B证得PE∥BC求得＝解方程得到t＝2.5； （2）过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BC于点M，交PC于点Q．根据三角函数的定义得到BN＝10cos30°＝5，根据等腰三角形的性质得到BC＝2BN＝10，∠ACB＝∠B＝30°，解直角三角形的得到PF＝2tsin30°＝t，BF＝2tcos30°＝t，根据三角形的面积公式得到结论； （3）根据题意得到＝，求得t＝4时，△EFC与△PEF的面积比为3：10； （4）根据平行线的性质得到∠PFD＝∠QED，根据全等三角形的性质得到QE＝PF＝t，求得QM＝5﹣t﹣t＝5﹣2t，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）t＝2.5时，PE∥BC， 理由：∵∠BAC＝∠PAE， ∴当＝时，△APE∽△ABC， ∴∠APE＝∠B， ∴PE∥BC， 由＝得，＝， 解得：t＝2.5， ∴当t＝2.5时，PE∥BC； （2）过点A作AN⊥BC于点N，过点E作EM⊥BC于点M，交PC于点Q． 在Rt△ABN中，cos∠B＝， ∴BN＝10cos30°＝5， ∵AB＝AC， ∴BC＝2BN＝10，∠ACB＝∠B＝30°， 在Rt△BPF中，BP＝2t， ∴PF＝2tsin30°＝t，BF＝2tcos30°＝t， 在Rt△ECM中，CE＝AC﹣AE＝10﹣2t，∠ECM＝30°， ∴EM＝（10﹣2t）sin30°＝5﹣t，CM＝（10﹣2t）cos30°＝5﹣t， ∴FM＝10﹣t﹣（5﹣t）＝5， ∴S＝FM•PF＝×5t＝t； （3）假设存在时刻t，使△EFC与△PEF的面积比为3：10， 即＝， ∴（10﹣t）（5﹣t）＝×t， 解得：t1＝4，t2＝12.5（舍去）， ∴t＝4时，△EFC与△PEF的面积比为3：10； （4）∵PC经过EF的中点， ∴DF＝DE， ∵PF⊥BC，EM⊥BC， ∴PE∥EQ， ∴∠PFD＝∠QED， 在△PFD和△QED中， ， ∴△PFD≌△QED（ASA）， ∴QE＝PF＝t， QM＝5﹣t﹣t＝5﹣2t， ∵QM∥PF， ∴△QMC∽△PFC， ∴＝， ∴＝， 化简得：3t2﹣30t+50＝0， 解得：t1＝，t2＝（舍去） 答：当PC经过EF的中点时，t＝． 【点评】本题考查了三角形的综合题，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 14．已知，如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，AD＝CD＝6，tanB＝3，动点P从B出发，以每秒1个单位长度的速度沿BC方向运动，过点P作PE⊥BC，交折线BA﹣AD于点E，以PE为斜边向右作等腰直角三角形PEF，∠F＝90°，设点P的运动时间为t秒（t＞0）． （1）当t为何值时，点F恰好落在CD上？ （2）若P与C重合时运动结束，在整个运动过程中，设等腰直角三角形PEF与四边形ABCD重叠部分的面积为S，请求S关于t之间的函数关系式； （3）当F在CD右侧时，是否存在某一时刻，使得重叠部分的面积S与四边形ABCD的面积比为1：8？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （4）如图2，在点P开始运动时，BC上另一点Q同时从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，当Q到达B点时停止运动，同时点P也停止运动，过点Q作QM⊥BC，交射线CA于点M，以QM为斜边向左作等腰直角三角形QMN，若两个等腰直角三角形分别有一条边恰好在一条直线上，请直接写出t的值． 【分析】（1）过点A作AG⊥BC于点G，求出AC＝6，AG＝CG＝6，BC＝8，当点F落在CD上时，△DEF、△PCF均为等腰直角三角形，利用几何图形性质求出t的值； （2）点P的运动过程，可分为三种情形： ①当0＜t＜2时，PE＝BP•tanB＝3t，S＝PE2＝t2； ②当2≤t＜5时，PE＝CD＝6，S＝PE2＝9； ③当5≤t＜8时，设EF、PF分别与CD交于点K、J，则△DEK、△PCJ均为等腰直角三角形，DK＝CJ＝PC＝8﹣t，KJ＝CD﹣DK﹣CJ＝2t﹣10，S＝（KJ+PE）•PC＝﹣t2+10t﹣16； （3）根据题意可得若存在，则S＝S梯形ABCD＝，由题意可将S＝代入S＝﹣t2+10t﹣16，求出t，再判断是否符合5≤t≤8即可； （4）点P、Q的运动过程，满足题意条件的有三种情形：①当EF与NQ落在同一直线上时，②当PF与MN落在同一直线上时，③当PE与QM落在同一直线上时，根据等腰三角形的性质即可求解． 【解答】解：（1）过点A作AG⊥BC于点G， ∵AD∥BC，∠BCD＝90°， ∴∠ADC＝90°， ∵AG⊥BC，AD＝CD＝6， ∴四边形ABCD是正方形， ∴AG＝CG＝AD＝CD＝6， ∵AD＝CD＝6，tanB＝＝3， ∴BG＝2， ∴BC＝BG+CG＝8， 当点F落在CD上时，由题意可知△DEF、△PCF均为等腰直角三角形， ∴DE＝DF＝EF，PC＝CF＝PF， ∵△PEF为等腰直角三角形，EF＝PF， ∴PC＝CF＝DF＝CD＝3， ∴BP＝BC﹣PC＝8﹣3＝5， ∴当点F恰好落在CD上时，t＝5； （2）在点P运动过程中： ①当0＜t＜2时，如图所示： PE＝BP•tanB＝3t， S＝PE2＝×（3t）2＝t2； ②当2≤t＜5时，如图所示： PE＝CD＝6， S＝PE2＝×62＝9； ③当5≤t＜8时，如图所示： 设EF、PF分别与CD交于点K、J，则△DEK、△PCJ均为等腰直角三角形， ∴DK＝CJ＝PC＝8﹣t， KJ＝CD﹣DK﹣CJ＝6﹣2（8﹣t）＝2t﹣10， ∴S＝S梯形EKJP＝（KJ+PE）•PC＝（2t﹣10+6）（8﹣t）＝﹣t2+10t﹣16； 综上所述，S与t之间的函数关系式为：S＝； （3）S梯形ABCD＝（Ad+BC）•CD＝×（6+8）×6＝42， 若存在，则S＝S梯形ABCD＝， ∵F在CD右侧， ∴S＝﹣t2+10t﹣16＝， 解得t＝5+或5﹣， ∵5≤t＜8， ∴存在，t的值为5+； （4）在点P、Q的运动过程中： ①当EF与NQ落在同一直线上时，如图所示： 此时，△PEQ为等腰直角三角形，则PQ＝PE， ∵BP＝t，CQ＝2t， ∴PE＝3BP＝3t， ∴BC＝BP+PQ+CQ＝t+3t+2t＝8， ∴t＝； ②当PF与MN落在同一直线上时，如图所示： 此时，△PQM为等腰直角三角形，则PQ＝QM＝CQ＝2t， ∴BC＝BP+PQ+CQ＝t+2t+2t＝8， ∴t＝； ③当PE与QM落在同一直线上时，如图所示： ∴BC＝BP+CQ＝t+2t＝8， ∴t＝； 综上所述，满足条件的t的值为或或． 【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、锐角三角函数、三角形面积与梯形面积的计算、分类讨论等知识；解题关键是根据题意深刻理解图形的运动过程并画出图形、进行分类讨论． 第四大类型：利用动线构造平行四边形（包括矩形、正方形） 15．已知：如图，四边形ABCD是边长为10cm的菱形，∠DAB＝60°．动点P从点D开始沿DA边匀速运动，动点Q从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2cm/s．点P和点Q同时出发，以QA、QP为边作平行四边形AQPE，连接并延长EQ，与CB延长线相交于点M，连接DE．设运动的时间为t（s），0＜t＜5． 根据题意解答下列问题： （1）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使四边形AQPE是矩形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； （2）用含t的代数式表示DE； （3）设四边形CDEM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． 【分析】（1）求出∠APQ＝90°﹣∠DAQ＝30°，由直角三角形的性质可得出答案； （2）过点D作DH⊥EP，交EP的延长线于点H，求出DH＝t cm，EH＝EP+PH＝3t cm，由勾股定理可得出答案； （3）延长DH交AB于点G，过点D作DN⊥CM于点N，设EM，AD交于点O，证明△AOQ∽△BMQ，得出，由三角形面积公式及菱形的面积公式可求出答案． 【解答】解：（1）当四边形AQPE是矩形时，∠PQA＝90°， ∵∠DAQ＝60°， ∴∠APQ＝90°﹣∠DAQ＝30°， 在Rt△AQP中，， ∵AP＝（10﹣2t）cm，AQ＝2t cm， ∴， ∴； （2）如图，过点D作DH⊥EP，交EP的延长线于点H， ∵四边形AQPE是平行四边形， ∴EP∥AQ， ∴∠DPH＝∠DAQ＝60°， ∴∠PDH＝90°﹣∠DPH＝30°， 在Rt△PDH中，∵PD＝2t cm， ∴DH＝PD•sin∠DPH＝t cm， cm， ∵EP＝AQ＝2t cm， ∴EH＝EP+PH＝3t cm， 在Rt△DEH中，， ∴ （负值舍去）， ∴DE＝2t cm； （3）如图，在（2）的基础上延长DH交AB于点G，过点D作DN⊥CM于点N，设EM，AD交于点O， ∵四边形ABCD是边长为10cm的菱形，∠DAB＝60°， ∴∠DCM＝60°， ∵∠DNC＝90°， ∴DN＝CD•sin∠DCM＝5cm， ∵EP∥AB，EP⊥DH， ∴DG⊥AB， ∴DG＝DN＝5cm， ∴（ cm）， ∵AD∥BM， ∴△AOQ∽△BMQ， ∴， ∵AQ＝2t cm， ∴BQ＝AB﹣AQ＝10﹣2t（ cm）， ∴， ∴， ∴＝（cm2）， ∴（cm2）， ∵（cm2），S△AQO＝S△EOP，S菱形ABCD＝AB•DG＝50（cm2）， ∴S四边形CDEM＝S梯形ABCD﹣S△AQO+S△BQM+S△DEP+S△EOP＝S菱形ABCD+S△BQM+S△DEP ∴S四边形CDEM＝50+， ∴． 16. 已知：如图1，在△ABC中，，，，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为2单位／s；同时点从点出发，沿方向匀速运动，速度为1单位／s，过点作，交于点，连接，以和为邻边作平行四边形．设运动时间为． 解答下列问题： （1）连接，当时，求的值； （2）如图2，连接，设四边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）如图3，连接与交于点，当时，求值． 【答案】（1）3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例，建立方程进行解方程，即可作答． （2）过点D作于H，，则，，故，则，分别把数值代入，，得，所以，得，整理得，即可作答． （3）过点作于，整理得，则运用即，，建立方程，进行解方程，即可作答． 本题考查了平行线分线段成比例，解直角三角形的相关运算，方程与动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ． ，， ，， ， ∴， 解得， 【小问2详解】 解：过点D作于H， 在中，， ， ． 在中，， ，， ， 则， ， ， ， 则， ∴ 则， ， 【小问3详解】 解：过点作于， 在中，， ， ． ， ， ， ， 又， ， 即，， ∴． 解得， ， ∴ 17. 如图，在矩形中，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；连接，作，交于点，以为邻边作矩形．设运动时间为． （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？ （2）在动点运动的过程中，的值是否为定值？请说明理由； （3）设矩形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】（1）2 （2）在动点P运动的过程中，的值为定值 （3） 【解析】 【分析】（1）解直角三角形，可求出，根据余弦定义可求出，然后结合D是中点求解即可； （2）过点P作于点M，延长交BC于点N．证明，得出 ，解直角三角形，求出，，则，然后代入计算即可； （3）由（2）中，可求，在中，根据勾股定理可求出，然后代入化简即可． 【小问1详解】 解：过点P作于点G， 点P在线段的垂直平分线上， ， ， ，， 四边形为矩形， ，，， 在中，，， 在中，，， 由题意得：， ， ， ， ， 答：当t的值为2时，点P在线段的垂直平分线上． 【小问2详解】 解：在动点P运动的过程中，的值为定值． 过点P作于点M，延长交于点N． ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知：， 在中，，，， ，， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， ， 答：在动点P运动的过程中，的值为． 【小问3详解】 解：由（2）知： ， 四边形是矩形， ， 在中， ，由勾股定理得， ， 答：y与t之间的关系式为． 18．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝9，点D为边AB的中点．点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，同时点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿CB方向运动，以DP、DQ为邻边构造▱PEQD，设点P运动的时间为t秒，0＜t＜． （1）求当t为何值时，DQ∥AC？ （2）设▱PEQD的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式； （3）连接CD，是否存在某一时刻t，CD经过▱PEQD的对称中心O？若存在，求t的值；不存在，请说明理由． 【分析】（1）由平行线分线段成比例可求CQ的长，即可求解； （2）由面积的和差关系可求解； （3）建立平面直角坐标系，求出直线CD解析式，将点O代入解析式可求解． 【解答】解：（1）∵点D是AB的中点， ∴AD＝DB＝AB， ∵DQ∥AC， ∴＝， ∴BQ＝BC＝， ∴CQ＝， ∴t＝＝， ∴当t＝时，DQ∥AC； （2）如图，取AC的中点H，BC的中点G，连接DH，DG，连接PQ， ∵点H是AC的中点，点G是BC的中点，点D是AB的中点， ∴DH∥BC，DH＝BC＝，DG∥AC，DG＝AC＝6， ∵S＝2S△PQD＝2（S△ABC﹣S△APD﹣S△DBQ﹣S△PCQ）， ∴S＝2×[54﹣×t×﹣×6×（9﹣2t）﹣×2t×（12﹣t）]＝2t2﹣t+54； （3）存在，以点C为原点，BC为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系， ∴点Q（2t，0），点A（0，12），点B（9，0），点P（0，12﹣t）， ∵点D是AB的中点， ∴点D（，6）， ∵点O是▱PEQD的对称中心， ∴点O（t，）， ∵点D（，6），点C（0，0）， ∴直线CD的解析式为y＝x， ∵CD经过点O， ∴＝t， ∴t＝， ∴当t＝时，CD经过▱PEQD的对称中心O． 【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线定理，一次函数的性质，建立平面直角坐标系是解题的关键．试题解析权属 第五大类型：点在角平分线或中垂线上 19．如图，在菱形ABCD中，AB＝8cm，∠DAB＝60°，动点E从点A出发，沿AB方向匀速运动，速度为1cm/s；动点F同时从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s，过点E作EG⊥AC，交AC于点H，连接EF，FG．设运动时间为t（s）（0＜t＜4），请解答下列问题： （1）当t为何值时，EF∥AC？ （2）设△EFG的面积为S（cm2），求S与t之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使点F在∠GEB的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得结论； （2）介绍两种方法： 方法一：如图1，连接BD，过点G作GM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB的延长线于点N，过点D作DQ⊥BC于点Q，根据面积差可得结论； 方法二：直接利用三角形面积公式计算（底边为EG为t，作一个高FR）； （3）介绍两种方法： 方法一：假设存在符合题意的t，使点F在∠GEB 的平分线上，如图2，过点F作FP⊥AC于点P，过点F作FR⊥GE于点R，根据FR＝FN，列方程后可解答； 方法二：证明EF∥AD，可知点F在线段CD上，由此可解答． 【解答】解：（1）由题意得 AE＝t cm，BF＝2t cm， ∵四边形ABCD是菱形，AB＝8cm， ∴BC＝AB＝8cm，BE＝（8﹣t）cm， ∵EF∥AC， ∴，即， ∴； （2）解法一：如图1，连接BD，过点G作GM⊥AB于点M，过点F作FN⊥AB，交AB的延长线于点N，过点D作DQ⊥BC于点Q，设AC与BD交于点O， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC， ∵EG⊥AC， ∴EG∥BD， ∴， ∵AD＝AB， ∴AE＝AG＝t， ∵∠DAB＝60°， ∴△AEG为等边三角形，∠AGM＝30°， ∴AM＝t cm，GM＝＝t cm， 同理可得：FN＝t cm， 在Rt△CDQ中，∵∠DCF＝∠DAB＝60°，CD＝AB＝8cm，∠DQC＝90°， ∴∠CDQ＝30°， ∴CQ＝CQ＝4cm，DQ＝＝4cm， ∴S△EFG＝S梯形ABFG﹣S△AGE﹣S△BEF ＝﹣•t•t﹣•t•（8﹣t） ＝6t﹣﹣4t+t2 ＝； 解法二：如图2， S＝EG•FR＝t（t+4）＝； （3）方法一： 假设存在符合题意的t，使点F在∠GEB 的平分线上， 如图2，过点F作FP⊥AC于点P，过点F作FR⊥GE于点R， ∵EG⊥AC， ∴∠RHP＝∠APF＝∠FRH＝90°， ∴四边形HRFP是矩形， ∴FR＝PH， ∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°， ∴∠CAB＝∠ACB＝30°， 如图1，Rt△AOB中，OB＝AB＝4cm，AO＝＝4cm， ∴cm， 如图2，在Rt△CPF中，cm， 在Rt△AHE中， cm， ∴FR＝PH＝AC﹣AH﹣CP＝8﹣t﹣（8﹣2t）＝（t+4）cm， ∵点F在∠GEB 的平分线上，FN＝t cm， ∴FR＝FN，即， 解得t＝8， ∵0＜t＜4， ∴t＝8不合题意，舍去， ∴不存在符合题意的t，使点F在∠GEB 的平分线上； 方法二： 假设存在符合题意的t，使点F在∠GEB 的平分线上， 由（2）知：△AEG为等边三角形， ∴∠AEG＝60°， ∴∠GEB＝180°﹣∠AEG＝180°﹣60°＝120°， ∵EF平分∠GEB， ∴∠BEF＝∠GEB＝×120°＝60°， ∵∠DAB＝60°， ∴∠DAB＝∠BEF， ∴EF∥AD， ∵F在BC上， ∴点E在线段BC上，即E与B重合，不符合题意， ∴不存在合题意的t，使点F在∠GEB 的平分线上． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，矩形的性质和判定，平行线分线段成比例定理，多边形的面积，解直角三角形，一元一次方程等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/3/13 12:59:44；用户：姜筱筱；邮箱：15965562759；学号：4060024 20. 如图①，在中，，在中，，，边与重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②，从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点？ （2）如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； （3）如图④，过点作，交于点，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时进而推出，以此建立关于分式方程求解即可． （2）首先求出△CDM和△CDF的高和，然后求得S△CDM+S△CDF，再根据S=S△CDM+S△CDF即可求出结论． （3）通过平行线构造等腰，利用等腰直角三角形的性质分别用表示出和，然后建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，交于点． 根据题意． 当时，，由于为等腰直角三角形， 又因，则． ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作分别为垂足． 根据题意． 则， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于点，过点作，垂足为，过点作为垂足．则四边形为矩形． 根据题意，则， ， ， ， 由（2）可知， ， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用三角函数求出相关边的长度是解答本题的关键． 21．如图，正方形ABCD，AB＝4cm，点P在线段BC的延长线上．点P从点C出发，沿BC方向运动，速度为2cm/s；点Q从点A同时出发，沿AB方向运动，速度为1cm/s．连接PQ，PQ分别与BD，CD相交于点E，F．设运动时间为t（s）（0＜t＜4）．解答下列问题： （1）线段CF长为多少时，点F为线段PQ中点？ （2）当t为何值时，点E在对角线BD中点上？ （3）当PQ中点在∠DCP平分线上时，求t的值； （4）设四边形BCFE的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式． 【分析】（1）可得出C点是BP的中点，从而求得t＝2； （2）证明DEF≌△BEQ，从而得出DF＝BQ＝4﹣t，进而CF＝CD﹣DF＝t，证明△PCF∽△PBQ，从而得出，进而求得t； （3）作OG⊥BP于G，可根据OG＝CG，进一步求得结果； （4）根据△PCF∽△PBQ，△DOF∽△BOG，分别列出比例式表示出CF，DF及EH，进一步求得结果． 【解答】解：由题意得， CP＝2t，AQ＝t，BQ＝4﹣t， （1）四边形ABCD是正方形， ∴CD∥AB， ∴＝1， ∴PC＝BC＝4， ∴t＝＝2s； （2）∵AB∥CD， ∴∠QBE＝∠EDF，∠BQE＝∠DFE，△PCF∽△PBQ， ∴， ∵点E是BD的中点， ∴BE＝DE， ∴△DEF≌△BEQ（AAS）， ∴DF＝BQ＝4﹣t， ∴CF＝CD﹣DF＝t， ∴， ∴t1＝1，t2＝0（舍去）， （3）如图1， 点O是PQ的中点，CO平分∠DCP， 作OG⊥BP于G， 同理得：OG＝，PG＝， ∴CG＝PC﹣PG＝2t﹣（2+t）＝t﹣2， ∵∠COG＝∠OCG＝＝45°， ∴OG＝CG， ∴， ∴t＝； （4）如图2， 过点E作GH∥BC，交AB于G，交CD于H， ∵CF∥EG∥AB， ∴△PCF∽△PBQ，△DEF∽△BEG， ∴，＝， ∴，＝， ∴CF＝， ∴DF＝CD﹣CF＝4﹣＝， ∴＝， ∴EH＝， ∴S＝S△BCD﹣S△DEF＝﹣＝8﹣． 【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是较强的计算能力． 22．如图，已知Rt△ACB和Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD＝4，BC＝CE＝3，B、C、D共线．动点P从D点出发沿DB向B点运动；动点Q从B点出发沿BA向A点运动；速度均为1cm/s，当Q点到达A点时，P，Q两点停止运动，过P点作DE的垂线，垂足为M点，连接PQ，PM，QM（0＜t＜5），解答下列问题： （1）当PQ⊥AB时，求t的值； （2）设△QPM的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻t，使得点Q在PM的垂直平分线上？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据cosB＝得，从而得出t＝； （2）可推出PM∥AB，从而PM＝PD•sinD＝t•＝，进而得出S的函数关系式； （3）作PG⊥AB于G，作QH⊥PM于H，可推出当PM＝2QG＝2PH时，PQ＝QM，即Q在PM的垂直平分线上，可表示出BG＝（7﹣t），BQ＝t，QG＝t﹣（7﹣t）＝，从而列出方程t＝2（），进一步得出结果． 【解答】解：（1）∵PQ⊥AB， ∴∠PQB＝∠ACB＝90°， ∵BC＝3，BC＝4， ∴AB＝5， ∴cosB＝， ∴， ∴t＝s； （2）如图1， 作PG⊥AB于G， PG＝PB•sinB＝（7﹣t）， ∵∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝CD，BC＝CE， ∴△ACB≌△DCE（SAS）， ∴∠D＝∠A， ∵∠A+∠B＝90°， ∴∠D+∠B＝90°， ∵PM⊥DE， ∴∠PMD＝90°， ∴∠D+∠DPM＝90°， ∴∠B＝∠DPM， ∴PM∥AB， ∵PM＝PD•sinD＝t•＝， ∴S＝PM•PG＝×（7﹣t）＝﹣（0＜t＜5）； （3）如图2， 存在t＝s，使得点Q在PM的垂直平分线上，理由如下： 作PG⊥AB于G，作QH⊥PM于H， ∴∠PGQ＝∠QHP＝90°， ∵PM∥AB， ∴∠GPH＝180°﹣∠PGQ＝90°， ∴四边形PGQH是矩形， ∴QG＝PH， 当PM＝2QG＝2PH时，PQ＝QM，即Q在PM的垂直平分线上， ∵BG＝（7﹣t），BQ＝t， ∴QG＝t﹣（7﹣t）＝， ∵PM＝PD•sinD＝， ∴t＝2（）， ∴t＝＜5， ∴当t＝s时，点Q在PM的垂直平分线上． 23．已知矩形ABCD中，AC是对角线，AB＝3cm，BC＝4cm，点P为边AD上的一个动点，动点P从点A出发沿AD边向点D运动，速度是1cm/s，点Q为边C上的一个动点，动点Q从点C出发沿CA边向点A运动，速度是1cm/s，EF是过点Q的直线，分别交BC、CD于点E，F，且运动过程中始终保持EF⊥AC于Q；P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒，且（0≤t≤），解答下列问题： （1）连接PE，t为何值时，四边形ABEP是平行四边形？ （2）连接EP、PF，设四边形PECF的面积为y cm2，求y关于t的函数关系式； （3）请从选择以下任意一题作答，我选 　 　（若同时作答①和②，按①解答计分）． ①连接BP，是否存在某一时刻t，使点E在∠BPD 平分线上时，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． ②是否存在某一时刻t，使点F在PE垂直平分线上，若存在，求t的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由矩形的性质得出∠B＝∠BCD＝∠A＝∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，AD∥BC，由勾股定理求出AC ＝＝5，证明△ECQ∽△ACB，求出CE＝t，因此BE＝BC﹣CE＝4﹣t，当AP＝BE时，四边形ABEP是平行四边形，得出方程t＝4﹣t，解方程即可； （2）证出△CFQ∽△ACB，求出CF＝t，得出DF＝CD﹣CF＝3﹣t，四边形PECF的面积＝梯形CDPE的面积﹣△PFD的面积，即可得出答案； （3）①当点E在∠BPD 平分线上时，∠BPE＝∠EPD，得出BP＝PE，再利用勾股定理列出方程，解出t，在t的取值范围内则存在，否则不存在； ②当点F在PE垂直平分线上时，PF＝EF，得出PF2＝EF2，利用勾股定理列出方程，解出t即可解答． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AD＝BC＝4，CD＝AB＝3，AD∥BC， ∴AC＝＝5， ∵EF⊥AC， ∴∠CQE＝90°＝∠B， 又∵∠ECQ＝∠ACB， ∴△ECQ∽△ACB， ∴，即， 解得：CE＝t， ∴BE＝BC﹣CE＝4﹣t， 当AP＝BE时，四边形ABEP是平行四边形， t＝4﹣t， 解得：t＝， ∴t＝时，四边形ABEP是平行四边形； （2）：同（1）得：△ECQ∽△CFQ， ∴△CFQ∽△ACB， ∴，即， 解得：CF＝t， ∴DF＝CD﹣CF＝3﹣t， ∴四边形PECF的面积＝梯形CDPE的面积﹣△PFD的面积， ＝﹣＝， 即y＝﹣t2+t； （3）选择①： 连接BP，如图： 当点E在∠BPD平分线上时，BP＝BE， 由（2）知CE＝t，BP＝， ∴BE＝4﹣t， ∴＝4﹣t， 解得t＝（舍）或t＝， ∵0≤t≤， ∴t＝， ∴存在t，当t＝时，点E点在∠BPD的平分线上． 选择②： 当点F在PE垂直平分线上时，PF＝EF， 由（2）知CF＝t，DF＝3﹣t，CE＝t，BP＝4﹣t， ∴PF2＝EF2， ∴（4﹣t）2+（3﹣）2＝（t）2+（t）2， 解得t＝（负值舍去）， ∵0≤t≤， ∴t＝， 故存在t＝时，点F在PE的垂直平分线上． 第六大类型：某个时刻，两条线夹角为特殊角 24．已知：如图1，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠C＝90°，AD＝DC＝8cm，BC＝6cm，连接BD，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）． （1）当t为何值时，点D在线段PQ的垂直平分线上？ （2）延长PQ交BC于点E（如图2），若四边形APEB是平行四边形．求t的值； （3）设△DPQ的面积为y cm2，求y与t的函数关系式，并求y的最大值； （4）是否存在某一时刻t，使得PQ与BD的夹角为45°？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据DP＝DQ，构建方程求解； （2）由DP∥BE，推出＝，由此构建方程求解； （3）利用三角形面积公式构建二次函数，利用二次函数的性质求解； （4）说明∠PQB＞45°，当∠PQD＝45°时，过点P作PT⊥QD于点T．根据PQ＝2t，构建方程求解． 【解答】解：（1）当点D在PQ的垂直平分线上时，DP＝DQ， 则有2t＝8﹣t， 解得t＝； （2）∵∠C＝90°，BC＝6cm，CD＝8cm， ∴BD＝＝＝10（cm）， ∴四边形APEB是平行四边形， ∴AP＝BE＝t， ∵DP∥BE， ∴＝， ∴＝， 解得t＝． 经检验t＝是分式方程的解． ∴满足条件的t的值为； （3）如图1中，过点Q作QT⊥AD于点T． ∵AD∥BC， ∴∠QDT＝∠DBC， ∴sin∠QDT＝sin∠DBC＝＝＝， ∴QT＝QD•sin∠QDT＝t， ∴y＝•DP•QT＝×DP×QT＝×（8﹣t）×t＝﹣t2+t＝﹣（t﹣4）2+， ∵﹣＜0， ∴t＝4时，y有最大值，最大值为； （4）如图，∵∠PQB＞∠ADC，∠ADB＝∠DBC＞45°， ∴∠PQB＞45°， 当∠PQD＝45°时，过点P作PT⊥QD于点T． 由题意，PD＝8﹣t，DT＝PD•cos∠PDT＝（8﹣t），PT＝QT＝PD•sin∠PDT＝（8﹣t）， ∵DQ＝2t， ∴（8﹣t）+（8﹣t）＝2t， 解得t＝． ∴满足条件的t的值为． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，动点问题，三角形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $