6.4.3 余弦定理、正弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

6.4.3 余弦定理、正弦定理 预习 3. 4. 余弦定理 　　三角形任一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 复习回顾 如图，△ABC为钝角三角形，不妨设A为钝角， 正弦定理及其推导 提示　观察右图，无论怎么移动B′，都会有角B′＝B， c是Rt△ABC，△AB′C外接圆的直径， 1.正弦定理的表示 (1)文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的______的比相等，该比值为该三角形外接圆的直径. 知识梳理 正弦 2.正弦定理的变形形式 设三角形的三边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，正弦定理有如下变形： (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝____________； 2Rsin C (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (5)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A. 在直角三角形ABC中，由锐角三角函数， 再根据正弦函数的定义， A B C a b c 探究：余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角，已知三边直接解 三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公 式呢？ 思考：那么对于一般的三角形,以上关系式是否仍然成立？ 可分为锐角三角形， 钝角三角形两种情况分析. 证明： 过A作单位向量 垂直于 ∴ asinC=c sinA. 同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得 B C A 则 两边同乘以单位向量 当 是钝角三角形时，不妨设A为钝角。如图 过点A作与 垂直的单位向量 ，则 与 的夹角为 与 的夹角为 同理可得 A B C 你还有其他的证明方法吗？ 正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等, 即 变式: 思考： 利用正弦定理可以解决一些怎 么样的解三角形问题呢？ 正弦定理可用于两类： （1）已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边与另一角； （2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算其他的角与边. 推论 题型分析 举一反三 例1.在 中，已知 解这个三角形。 例2.在 中，已知 ，解这个三角形。 探究：在余弦定理的应用中，已知两边和夹角或者已知三边，这样的三角形都唯一确定。在正弦定理的应用中，已知两角和一边只有一解，已知两边和一边的对角时有两个解，是不是都有两个解呢？ 已知角A和边a,b,则三角形解的个数为： 正弦定理： 利用正弦定理可以解决的问题： 1、已知三角形的任意两角与一边，求其他两边和另一角。 2、已知三角形的两边与其中一边的对角，出三角形的其他的边和角。 如果出现两个解，根据“三角形中大边对大角”来决定取舍！ 小结 $