4.4.2 平面与平面垂直 分层同步练习-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

4.4.2　平面与平面垂直 一、必备知识基础练 1.已知不同的直线m,n与不同的平面α,β,γ,则能使α⊥β成立的一个充分条件是(　　) A.α⊥γ,β⊥γ B.α∩β=m,n⊥m,n⊂β C.m⊥n,m⊂α,n⊂β D.m∥α,m⊥β 2.(多选题)对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是(　　) A.m⊥n,m⊥α,n⊥β B.m⊥n,α∩β=m,n⊂α C.m∥n,n⊥β,m⊂α D.m∥n,m⊥α,n⊥β 3.在四面体ABCD中,已知△ABD为等边三角形,△ABC为等腰直角三角形,斜边AB=4,CD=2,则二面角C-AB-D的大小为(　　) A. B. C. D. 4.在Rt△ABC中,C=90°,CA=,CB=,CD是斜边的高,现将△ACD沿CD折起,使平面ACD⊥平面BCD,则折叠后AB的长度为(　　) A.2 B. C. D.3 5.在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,那么必有(　　) A.平面ADC⊥平面BCD B.平面ABC⊥平面BCD C.平面ABD⊥平面ADC D.平面ABD⊥平面ABC 6.如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD=　　　　　.  7.如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=CC1=6,M是棱CC1的中点.求证:平面AB1M⊥平面ABB1A1. 二、关键能力提升练 8.(多选题)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面.下列说法正确的是(　　) A.若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥n B.若α⊥β,α∩β=m,l⊥m,则l⊥β C.若α⊥β,α∩β=m,l⊂α,l⊥m,则l⊥β D.若α⊥β,则存在直线m⊂α,使m⊥β 9.(2025甘肃武威高一开学考试)如图,正八面体ABCDEF的12条棱长相等,则二面角E-AB-F的平面角的余弦值为　　　　　.  10.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足　　　　　时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)  11.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=AD=PA=PB=2,PD=2. (1)求点B到平面PAD的距离; (2)求二面角P-BD-A的平面角的正切值. 三、学科素养创新练 12.如图,在三棱锥A-BCD中,∠BCD=90°,BC=CD=1,AB⊥平面BCD,∠ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点,且=λ(0<λ<1). (1)求证:不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC; (2)当λ为何值时,平面BEF⊥平面ACD? 参考答案 1.D　对于A,平面间的垂直关系,不具有传递性,故A错误; 对于B,α∩β=m,n⊥m,n⊂β,但平面α与β可能垂直,也可能不垂直,无法判断垂直关系,故B错误; 对于C,m⊥n,m⊂α,n⊂β,同样的α与β可能垂直,也可能不垂直,依然无法判断空间中的位置关系,故C错误; 对于D,若m∥α,则在平面α中存在直线l∥m,因为m⊥β,则l⊥β,故α⊥β,故D正确.故选D. 2.AC　A中,α⊥β;B中,α与β相交但不一定垂直; C中,∵m∥n,n⊥β,∴m⊥β.又m⊂α,∴α⊥β;D中,α∥β. 3.A　在四面体ABCD中,取AB的中点O,连接CO,DO,如图. 由AD=BD=AB=4,AC=BC,∠ACB=90°,得OC⊥AB,OD⊥AB, 因此∠COD是二面角C-AB-D的平面角. 在△COD中,OC=2,OD=2,CD=2, 由余弦定理得cos∠COD==-.又0≤∠COD≤π,则∠COD=,所以二面角C-AB-D的大小为. 故选A. 4.C　在Rt△ABC中,C=90°,CA=,CB=, 可得AB==3. 由射影定理可得AC2=AD·AB,即6=3AD,解得AD=2,则BD=AB-AD=3-2=1. 折叠后,由于平面ACD⊥平面BCD,AD⊥CD,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面BCD=CD,所以AD⊥平面BCD. 又BD⊂平面BCD,则AD⊥BD, 所以AB=. 故选C. 5.A　在三棱锥A-BCD中,若AD⊥BC,AD⊥BD,且BC∩BD=B,可得AD⊥平面BCD,由AD⊂平面ABD,可得平面ABD⊥平面BCD,由AD⊂平面ADC,可得平面ADC⊥平面BCD,故A正确; 若平面ABC⊥平面BCD,又平面ADC⊥平面BCD,AC=平面ABC∩平面ACD,可得AC⊥平面BCD,AC⊥CD,与AD⊥CD矛盾,故B错误; 若平面ADC⊥平面ABD,又平面ABD⊥平面BCD,可得CD⊥平面ABD,CD⊥BD,不一定成立,故C错误; 若平面ABD⊥平面ABC,又平面ABD⊥平面BCD,可得BC⊥平面ABD,则BC⊥BD,不一定成立,故D错误. 故选A. 6.2　取AB的中点E,连接DE,CE. 因为△ADB是等边三角形, 所以DE⊥AB. 当平面ADB⊥平面ABC时, 因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥AB, 所以DE⊥平面ABC, 故DE⊥CE. 由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2. 7.证明连接A1B交AB1于点O,连接MO,易得O为A1B,AB1的中点. ∵CC1⊥平面ABC,AC⊂平面ABC, ∴CC1⊥AC. 又M为CC1中点,AC=CC1=6, ∴AM==3. 同理可得B1M=3,∴MO⊥AB1. 连接MB,同理可得A1M=BM=3, ∴MO⊥A1B.又AB1∩A1B=O,AB1,A1B⊂平面ABB1A1,∴MO⊥平面ABB1A1. 又MO⊂平面AB1M,∴平面AB1M⊥平面ABB1A1. 8.CD　A中,m,n可能平行、垂直、异面;B选项缺少了条件l⊂α;C选项具备了面面垂直的性质定理的全部条件;当m⊂α且直线m与两平面的交线垂直时,一定有m⊥β,故D正确.故选CD. 9.-　连接AC,与BD交于点O,连接EF,取AB的中点G,连接EG,FG. 根据正八面体的几何特征,有EF过点O,EG⊥AB,FG⊥AB. 又EG⊂平面ABE,FG⊂平面ABF,平面ABE∩平面ABF=AB, 所以∠EGF为二面角E-AB-F的平面角. 在正八面体中,EF⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,则EF⊥AC,所以△AOE是直角三角形. 设正八面体棱长为2,则AO=,AE=2, 所以OE=,得EF=2. 在△AEB中,EG=AB=.同理,GF=. 在△EGF中,由余弦定理,可得cos∠EGF==-. 10.DM⊥PC(或BM⊥PC,答案不唯一) 连接AC,则AC⊥BD. ∵PA⊥底面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴PA⊥BD.∵PA∩AC=A, ∴BD⊥平面PAC,∴BD⊥PC. ∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC⊂平面PCD,∴平面MBD⊥平面PCD. 11.解(1)∵PA=PB=AB=2,PA=AD=2,PD=2, 故PA2+AD2=PD2,则AD⊥PA. ∵AD⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB⊂平面PAB,∴AD⊥平面PAB. ∵AD⊂平面PAD,∴平面PAB⊥平面PAD. 取PA的中点H,连接BH,则BH⊥PA, 即BH⊥平面PAD. 由AB=PA=PB=2,可知BH=,即点B到平面PAD的距离为. (2)取AB中点O,连接PO,作OE垂直于BD,连接PE, 在△PAB中,PA=PB=AB=2,∴PO⊥AB. 由(1)知AD⊥平面PAB,PO⊂平面PAB,∴PO⊥AD. 而AB∩AD=A,AB,AD⊂平面ABCD, ∴PO⊥平面ABCD.又BD⊂平面ABCD,∴PO⊥BD. ∵OE⊥BD,PO∩OE=O,PO,OE⊂平面POE, ∴BD⊥平面POE. 又PE⊂平面POE,∴BD⊥PE. ∴∠PEO为二面角P-BD-A的平面角. PO=,OE=AC=. 在△POE中,∠POE=90°,∴tan∠PEO=, 即二面角P-BD-A的平面角的正切值为. 12.(1)证明因为AB⊥平面BCD, 所以AB⊥CD.因为CD⊥BC,且AB∩BC=B, 所以CD⊥平面ABC. 又因为=λ(0<λ<1), 所以不论λ为何值,恒有EF∥CD. 所以EF⊥平面ABC,EF⊂平面BEF. 所以不论λ为何值,总有平面BEF⊥平面ABC. (2)解由(1)知,BE⊥EF, 因为平面BEF⊥平面ACD, 所以BE⊥平面ACD,所以BE⊥AC. 因为BC=CD=1,∠BCD=90°,∠ADB=60°, 所以BD=,AB=tan 60°=. 所以AC=. 由AB2=AE·AC,得AE=.所以λ=. 故当λ=时,平面BEF⊥平面ACD. 9 学科网（北京）股份有限公司 $