4.4.2 第二课时　平面与平面垂直的性质（课时作业）- 【优化探究】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步导学案（湘教版）

A层(必备知识练) 1.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．设AA1是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以AA1为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是(　　) A．8　　　　　　　　 B．12 C．16 D．18 解析：如图，根据正六边形的性质可知，以四边形A1ABB1，A1AFF1，A1ACC1和A1AEE1为底面矩形，各有4个阳马，故共有4×4＝16(个)阳马． 答案：C 2．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l；直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是(　　) A．AB∥m B．AC⊥m C．AB∥β D．AC⊥β 解析：如图，AB∥l∥m，AC⊥l，m∥α⇒AC⊥m，AB∥l⇒AB∥β. 答案：D 3.(多选题)如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论一定成立的是(　　) A．PE⊥AC B．PE⊥BC C．平面PBE⊥平面ABCD D．平面PBE⊥平面PAD 解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B结论一定成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C结论一定成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必有AD⊥BE，则D结论不一定成立． 答案：ABC 4．三棱锥P­ABC的各棱长都相等，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下列四个结论中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDE⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 解析：对于A中，因为D，F分别是AB，CA的中点，可得BC∥DF， 因为BC⊄平面PDF，DF⊂平面PDF，所以BC∥平面PDF，所以A正确，不符合题意； 对于B中，因为AC＝AB，BE＝EC，所以BC⊥AE， 同理可得BC⊥PE， 又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE， 又由BC∥DF，所以DF⊥平面PAE，所以B正确，不符合题意； 对于D中，由于DF⊥平面PAE，因为DF⊂平面ABC， 所以平面PAE⊥平面ABC，所以D正确，不符合题意． 答案：C 5．已知α，β是两个不同的平面，l是平面α与β之外的直线，给出下列三个论断：①l⊥α，②l∥β，③α⊥β. 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.(用序号表示) 解析：由l∥β，可在平面β内作l′∥l，又l⊥α，∴l′⊥α，∵l′⊂β，∴α⊥β，故①②⇒③. 答案：①②⇒③(答案不唯一) 6．空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BAD＝90°，且AB＝AD，则AD与平面BCD所成的角是________． 解析：如图，过A作AO⊥BD于O点， ∵平面ABD⊥平面BCD，∴AO⊥平面BCD， 则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角． ∵∠BAD＝90°，AB＝AD.∴∠ADO＝45°. 答案：45° 7．如图，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，将△ABC沿斜线BC上的高AD折叠，使平面ABD⊥平面ACD，则BC＝________. 解析：因为AD⊥BC，所以AD⊥BD，AD⊥CD， 所以∠BDC是二面角B­AD­C的平面角， 因为平面ABD⊥平面ACD，所以∠BDC＝90°. 在△BCD中∠BDC＝90°，又AB＝AC＝1， 所以BD＝CD＝， 所以BC＝＝1. 答案：1 8．如图，矩形ABCD中，E为BC的中点，现将△BAE与△CDE折起，使得平面BAE和平面CDE都与平面DAE垂直．求证：BC∥平面DAE. 证明：过点B作BM⊥AE于M，过点C作CN⊥ED于N，连接MN. ∵平面BAE与平面DAE垂直，平面BAE∩平面DAE＝AE，BM⊥AE，BM⊂平面BAE， ∴BM⊥平面DAE，同理可证CN⊥平面DAE，∴BM∥CN. ∵△BAE与△CDE全等， ∴BM＝CN， ∴四边形BCNM是平行四边形，∴BC∥MN. 又BC⊄平面DAE，MN⊂平面DAE，∴BC∥平面DAE. 9．如图，在三棱锥P­ABC中，平面PAC⊥平面ABC，PA⊥AB，求证：PA⊥BC. 证明：过点B作BD⊥AC于点D(图略)． ∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC＝AC， ∴BD⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC， ∴PA⊥BD，又PA⊥AB，AB∩BD＝B，AB⊂平面ABC，BD⊂平面ABC， ∴PA⊥平面ABC，∵BC⊂平面ABC， ∴PA⊥BC. B层(关键能力练) 10.(多选题)如图，在