第三章 圆 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九年级下册

第三章 圆 单元试卷 2025-2026学年北师大版数学九下 一、单选题 1．下列图形中的角是圆心角的是（ ） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的是（   ） A．三点确定一个圆 B．三角形的外心一定在三角形内 C．长度相等的弧是等弧 D．三角形的内心到三边距离相等 3．在平面直角坐标系中，如果的半径为3，那么点（   ） A．在外 B．在内 C．在上 D．与的位置关系无法确定 4．《测圆海镜》卷中记载：“假令有圆城一所，不知周径．甲乙二人俱在干地，乙东行三百二十步而立，甲南行六百步望见乙，问径几里？”意思是：如图，中，步，步，是的内切圆，切点为，，，求的直径．根据题意，的直径是（    ） A．200步 B．240步 C．280步 D．320步 5．如图所示，的内接四边形中，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 6．如图，为的直径，过圆上一点C作的切线l，过点B作于点D．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 7．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为4米，半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．米 C．3米 D．米 8．如图，是边长为2的等边三角形（面积记为），将边不改变长度，变为，得到以为圆心，为半径的扇形（面积记为），则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 二、填空题 9．一个扇形的圆心角是，半径是，则此扇形的弧长是 ． 10．已知一个正六边形的外接圆半径为2，则这个正六边形的周长为 ． 11．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若扇形的半径是，则该圆锥的底面圆的半径是 ． 12．如图，在四边形中，，，以为直径的与相切于点．若，．则的长为 ． 13．如图，内接于，是的直径，D为劣弧上的点，连接，且，连接．与交于点M．若的半径是6．．则的长是 ． 14．如图，正五边形内接于，过点C的直径与交于点F，连接，则的度数为 ． 15．如图，在中，点在弦上，半径，，若，，则的面积为 ． 16．如图，正方形与等边内接于，，则的度数为 ． 17．如图，的半径是1，点是直线上一动点，过点作的切线，切点为，连接，，则的最小值为 ． 18．如图，正方形的边长为2，点是以为直径的半圆上一点，则的最小值为 ． 三、解答题 19．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为的圆，如图所示，若水面宽，求水的最大深度． 20．如图，在正方形网格中建立直角坐标系，一条圆弧经过网格点，请利用网格图计算． （1）在网格图中画出该圆弧所在圆的圆心点的位置； （2）连接，则的半径为 ，的度数为 ； （3）若扇形是一个圆锥的侧面展开图，求该圆锥底面半径． 21．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．图2是某直角停车楔和轮胎的示意图，，当车辆停于水平地面时，此时停车楔紧贴轮胎，停车楔边与地面重合，是的直径，的平分线，交于点，连接，过点A作交于点F． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若的半径为，，求图2中阴影部分的面积为多少． 22．已知为的直径，点在的延长线上，为上一点，，延长与相交于点． （1）如图①，若，求的大小； （2）如图②，若，，求弦的长． 23．如图1，已知，点O在射线上，且．以点O为圆心，为半径作，交直线于点D，E．    （1）当与只有两个交点时，r的取值范围是________． （2）当时，将射线绕点B按顺时针方向旋转． ①若与相切，求的度数为多少； ②如图2，射线与交于M，N两点，若，求阴影部分的面积． 参考答案 1．【答案】B 【分析】本题考查的是圆心角的概念，掌握顶点在圆心的角是圆心角是解题的关键．根据圆心角的概念解答． 【详解】解：A、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； B、是圆心角，故选项符合题意； C、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； D、顶点没在圆心，不是圆心角，故选项不符合题意； 故选B． 2．【答案】D 【分析】本题考查了圆和三角形的基本性质，包括确定圆的条件、三角形的外心、等弧的定义和三角形的内心性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、三点确定一个圆的条件是三点不共线，故该选项不符合题意； B、三角形的外心是外接圆的圆心，锐角三角形在内部，直角三角形在斜边上，钝角三角形在外部，∴不一定在三角形内，故该选项不符合题意； C、完全重合的弧是等弧，长度相等的弧不是等弧，故该选项不符合题意； D、三角形的内心是角平分线交点，也是内切圆的圆心，∴三角形的内心到三边距离相等，故该选项符合题意． 故选D 3．【答案】B 【分析】本题考查点与圆的位置关系，坐标与图形，若点与圆心的距离为d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此计算出点P与原点的距离即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵的半径为3，且， ∴点在内， 故选B． 4．【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内切圆、勾股定理、三角形面积公式等知识，熟练掌握三角形内切圆的性质是解题关键．首先根据勾股定理解得，设内切圆的半径为，根据三角形面积公式求得的值，即可获得答案． 【详解】解：∵中，步，步，， ∴步， 设内切圆的半径为， ∵， ∴， 解得， ∴内切圆的直径是240步． 故选B． 5．【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形性质，等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质得到是解题关键． 由，根据等边对等角可得，结合已知条件可得，然后根据圆内接四边形对角互补即可解答． 【详解】解：由题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴． 故选C． 6．【答案】C 【分析】本题考查圆周角定理、切线的性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定与性质．连接，，作于点，求得四边形是矩形，是等边三角形，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，根据阴影部分的面积，列式计算即可求解． 【详解】解：连接，，作于点， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵阴影部分的面积 ， 故选C． 7．【答案】D 【分析】连接交于D，根据圆的性质和垂径定理可知，，根据勾股定理求得的长，由即可求解． 【详解】解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接交于D， 则，， 在中，，， ∴， ∴， 即点C到弦所在直线的距离是米， 故选D． 8．【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．过点作于点，先根据等边三角形的性质和勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用扇形的面积公式可得，然后比较大小即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的面积， 由题意可知，扇形的面积， ∵， ∴， 故选A． 9．【答案】 【分析】本题考查了弧长的计算公式，熟记弧长计算公式是解答本题的关键，如果扇形的圆心角是，扇形的半径是R，则扇形的弧长l的计算公式为：． 由扇形的弧长公式求解即可． 【详解】解：扇形的弧长是． 故答案为． 10．【答案】 【分析】画出符合题意的图形，先求解正六边形的中心角 证明是等边三角形，求解 从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意得： 正六边形 是等边三角形， 正六边形的周长是 11．【答案】1 【分析】本题考查了弧长公式，理解圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等是解题关键．设圆锥的半径为r，则圆锥的底面周长为，根据弧长公式得出侧面展开图的弧长，进而得出结果． 【详解】解：设圆锥的底面圆半径为r，则圆锥的底面周长为，则： 扇形的弧长为， ∵圆锥的底面周长与侧面展开图扇形的弧长相等， ∴， ∴. 12．【答案】 【分析】本题考查切线的判定及切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，其切线长相等，熟练掌握切线长定理是解题关键． 根据题意得出与、都相切，切点为、，根据切线长定理即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵以为直径的与相切于点， ∴与、都相切，切点为、， ∴，， ∵，， ∴． 13．【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理的推理，弧与弦之间的关系，勾股定理和三角形中位线定理，根据，得到，则由，证明为的中位线，得到，则可求出，利用勾股定理求出，即可利用勾股定理求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，点M为的中点， ∵点O为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵的半径是6， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得. 14．【答案】 【分析】本题考查了正多边形和圆．连接，，先求得，利用等边对等角求得即可． 【详解】解：连接，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， 的度数为． 15．【答案】 【分析】本题主要考查垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定，熟练掌握垂径定理，勾股定理及菱形的性质与判定是解题的关键；过点作于点，则有，然后可得四边形是菱形，则有，，进而根据勾股定理及三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 16．【答案】/75度 【分析】本题考查了圆与正多边形的综合问题，涉及中心角的求解，等腰三角形的性质，正方形的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线，求出中心角的度数． 连接，先求出中心角，，然后证明，再由等腰三角形的性质求解的度数，最后由角度和差计算求解． 【详解】解：连接， 由题意得，，，， ∵正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 17．【答案】 【分析】根据题意，得，故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值，根据勾股定理，直角三角形的面积性质解答即可． 本题考查了切线的性质，垂线段最短，勾股定理，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据切线的性质，得， 故， 又的半径是1， 故， 故当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短，得当垂直直线时，取得最小值， 又直线， 故与y轴的交点为，与x轴的交点为， 故两个交点间的距离为， 根据题意，， 故， 故，负的舍去， 故的最小值为. 18．【答案】/ 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 连接，，交半圆于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆于点， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴， 在中，，， ， 当点与点重合时，取得最小值． 19．【答案】0.8m 【分析】过点作于点，连接，根据垂径定理得到，再在中，根据勾股定理可求出，进而即可求解． 【详解】解：如图，作于点，连接， ∵，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理，得， ∴， ∴水的最大深度为0.8m． 20．【答案】（1）见详解 （2）； （3） 【分析】（1）根据圆的性质，利用弦的垂直平分线的经过圆心作图即可得到答案； （2）在网格中利用勾股定理即可得到的半径，数形结合即可得到的度数； （3）由前述得到的结论，求出的长度，设以扇形为圆锥的底面半径为，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 圆心点即为所求； （2）解：如图所示： 的半径为； 由网格可知、是全等的两个矩形的对角线，则； 故答案为：；； （3）解：由前述求解过程可知， 设以扇形为圆锥的底面半径为，则，解得． 21．【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3） 【分析】此题考查了切线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先证明，得出，即可证明结论成立； （2）先证明，，根据切线性质可得，即，由此即得出 （3）先证明是等边三角形，得出，求出，，最后根据阴影部分的面积求出结论即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， ， ， 的平分线AC， ， ， ， ， ， ， 为圆O的半径， 是的切线； （2）证明：连接， ， ， ， ， 与相切于点C， ， ， ； （3）解：连接，过点O作于点H，如图， 的半径为， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， 阴影部分的面积 22．【答案】（1） （2） 【分析】本题考查了等边对等角，直角三角形的性质，垂径定理和勾股定理等，掌握垂径定理是解题的关键． （1）根据等边对等角得到，，然后根据三角形的外角性质得到解答即可； （2）根据（1）中结论求出，过点O作于点F，则，然后根据的直角三角形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可得，， 过点O作于点F，则， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23．【答案】（1）或 （2）①或；② 【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点；②当半径大于时，，圆O分别与射线，有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论； （2）①需要分成两种情况：当射线在射线的上方与相切时，当射线在射线的下方与相切时，分别求出对应的即可； ②连接，，过点O作于点，由垂径定理可知，，进而根据三角形的三边关系可得出，再利用弓形的面积公式可得出结论． 【详解】（1）解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，与射线有两个交点． 如图1，当与相切于点G，连接，则， 比相切之前    ∵， ∴， ∴，, 即此时, 只要半径，则只有两个交点； ②当半径大于时，⊙O分别与射线，有一个交点， 如图2，当点D刚好与点B重合，此时，    结合图形可知，r的取值范围为或r＞4； （2）解：①如图3，当射线在射线的上方与相切时，设切点为P，连接， ∵，， ∴， ∴， ∴，    如图4，当射线在射线的下方与相切时， 设切点为P，连接， 同理， ∴，    综上所述，当为或时，射线与相切； ②如图5，连接，，过点O作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $