上海市莘庄中学2025-2026学年第一学期期末高二数学试卷

莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知向量,若,则实数 . 2.若某圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为 .(结果保留) 3.直线与圆相交所得的弦长为 . 4.已知是正方形,点是的中点,点在对角线上,且,则的大小为 . 5.函数的驻点为 . 6.双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 . 7.已知函数,则 . 8.设为抛物线上任意一点,若的最小值为1,则的值为 . 9.若在上单调递增,则的取值范围是 . 10.已知双曲线的左焦点为,右焦点为.若双曲线的右支上存在一点,使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切,切点为线段的中点,则该双曲线的离心率为 . 11.某同学画"切面圆柱体"(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体),发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为,则"切面"所在平面与底面所成锐二面角的大小为 . 12.定义在上的函数满足,且,当不等式有解,则正实数的最大值为 . 二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.""是"方程表示的曲线是双曲线"的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.已知函数的导函数为,若存在使得,则称是的一个"巧值点".下列四个函数中,没有"巧值点"的是( ). A. B. C. D. 15.函数的图像如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为( ). A. B. C. D. 16.已知圆锥曲线的对称中心为原点,若对于上的任意一点,均存在上两点、,使得原点到直线和的距离都相等,则称曲线为"完美曲线".现有如下两个命题: ①任意椭圆都是"完美曲线"; ②存在双曲线是"完美曲线". 下列判断正确的是( ). A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 三、解答题(本大题共5题,共78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 已知,动点满足,设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线标准方程; (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 如图,在四棱锥中,平面为的中点,, (1)求证:平面平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 为响应国家"乡村振兴"政策,某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研,生产该农机产品当年需投入固定成本10万元,每年需另投入流动成本(万元)与成正比(其中(台)表示产量),并知当生产20台该产品时,需要流动成本万元,每件产品的售价与产量(台)的函数关系为(万元)(其中).记当年销售该产品台获得的利润(利润销售收入-生产成本)为万元. (1)求函数的解析式; (2)当产量为何值时,该工厂的年利润最大?最大利润是多少?(结果精确到0.1) 20.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分 已知双曲线是双曲线上一点. (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点,长轴长为,求椭圆的标准方程; (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点,是双曲线上一点,且,求的面积(为坐标原点); (3)当直线(常数)与双曲线的左支交于两点时,分别记直线的斜率为,求证:为定值. 21.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分 若函数在处取得极值,且(常数),则称是函数的"相关点". (1)若函数存在"相关点",求的值; (2)若函数(常数)存在"1相关点",求的值: (3)设函数的表达式为(常数且),若函数有两个不相等且均不为零的"2相关点",过点存在3条直线与曲线相切,求实数的取值范围. 莘庄中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.已知向量,若,则实数 . 【答案】 2.若某圆柱的底面半径为1,母线长为2,则其侧面积为 .(结果保留) 【答案】 3.直线与圆相交所得的弦长为 . 【答案】 4.已知是正方形,点是的中点,点在对角线上,且,则的大小为 . 【答案】 5.函数的驻点为 . 【答案】 6.双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为 . 【答案】 7.已知函数,则 . 【答案】 8.设为抛物线上任意一点,若的最小值为1,则的值为 . 【答案】 9.若在上单调递增,则的取值范围是 . 【答案】 10.已知双曲线的左焦点为,右焦点为.若双曲线的右支上存在一点,使得直线与以双曲线的实轴为直径的圆相切,切点为线段的中点,则该双曲线的离心率为 . 【答案】 11.某同学画"切面圆柱体"(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱,底面与切面之间的部分叫做切面圆柱体),发现切面与圆柱侧面的交线是一椭圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为,则"切面"所在平面与底面所成锐二面角的大小为 . 【答案】 【解析】设椭圆与圆柱的轴截面如图所示,, 则为"切面"所在平面与底面所成的角,设为 设圆柱的直径为,则为椭圆的长轴,短轴为 则椭圆的长轴长,短轴长,则, 所以椭圆的离为切面.所以. 故答案为:. 12.定义在上的函数满足,且,当不等式有解,则正实数的最大值为 . 【答案】 【解析】 在有解, 令,则 增 极大值 减 二、选择题(本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分) 13.""是"方程表示的曲线是双曲线"的( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 14.已知函数的导函数为,若存在使得,则称是的一个"巧值点".下列四个函数中,没有"巧值点"的是( ). A. B. C. D. 【答案】 15.函数的图像如图所示,为函数的导函数,则不等式的解集为( ). A. B. C. D. 【答案】C 16.已知圆锥曲线的对称中心为原点,若对于上的任意一点,均存在上两点、,使得原点到直线和的距离都相等,则称曲线为"完美曲线".现有如下两个命题:①任意椭圆都是"完美曲线";②存在双曲线是"完美曲线". 下列判断正确的是( ). A.①是真命题,②是假命题 B.①是假命题,②是真命题 C.①②都是真命题 D.①②都是假命题 【答案】A 三、解答题(本大题共5题,共78分) 17.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 已知,动点满足,设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线标准方程; (2)求过点且与曲线相切的直线的方程. 【答案】(1) (2) 18.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 如图,在四棱锥中,平面为的中点,, (1)求证:平面平面 (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明略 (2) 19.(本题满分14分)本题共有2个小题,第1小题6分,第2小题8分 为响应国家"乡村振兴"政策,某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研,生产该农机产品当年需投入固定成本10万元,每年需另投入流动成本(万元)与成正比(其中(台)表示产量),并知当生产20台该产品时,需要流动成本万元,每件产品的售价与产量(台)的函数关系为(万元)(其中).记当年销售该产品台获得的利润(利润销售收入-生产成本)为万元. (1)求函数的解析式; (2)当产量为何值时,该工厂的年利润最大?最大利润是多少?(结果精确到0.1) 【答案】(1) (2)当时,利润最大值,为24.4万元 20.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分 已知双曲线是双曲线上一点. (1)若椭圆以双曲线的顶点为焦点,长轴长为,求椭圆的标准方程; (2)设是第一象限中双曲线渐近线上一点,是双曲线上一点,且,求的面积(为坐标原点); (3)当直线(常数)与双曲线的左支交于两点时,分别记直线的斜率为,求证:为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析, 【解析】(1)设椭圆的标准方程为,由题意焦点为,即; 长轴长为,即,从而. 因此,所求椭圆的标准方程为. (2)由双曲线经过第一象限的渐近线为,设、, 由可知, 解得 即. 再由点在双曲线上,得,解得, 从而点,直线的方程为, 原点到直线的距离为,因此的面积. (3)设,联立直线与双曲线的方程, 消去得,由韦达定理得. 综上所述,,从而是定值. 21.(本题满分18分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分 若函数在处取得极值,且(常数),则称是函数的"相关点". (1)若函数存在"相关点",求的值; (2)若函数(常数)存在"1相关点",求的值: (3)设函数的表达式为(常数且),若函数有两个不相等且均不为零的"2相关点",过点存在3条直线与曲线相切,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解析】(1)函数的对称轴为, 且函数在上严格减,在上严格增, ∴ 函数在处取得极值.∵ 函数存在"相关点", ∴ 由题意可得,,解得. (2)由,则. 由题意可得 ,即,即 设,则, ∴ 函数在上严格增,且, ∴ 方程存在唯一实数根 1 ,即,则, 此时,则. 令,即;令,即,即函数在上严格减,在上严格增,∴ 函数在处取得极小值, ∴是函数的" 1 相关点", (3)由,得,又,则. 设为函数的" 2 相关点",则 另一方面,, ,且,解得 故,则. ∵ 过点存在 3 条直线与曲线相切, 设其 中一个切点为,则 整理得. 设,且函数有三个不同的零点, 则. 令,则;令,则或. ∴ 函数在和上严格减,在上严格增. 又注意到 根据单调性可知,函数在区间和上都没有零点, 在区间上恰有一个零点, ∴ 在区间和上各恰有一个零点,∴,即, 即实数的取值范围为. 学科网(北京)股份有限公司 $