上海洋泾中学2025-2026学年第一学期期末高一数学试卷

洋泾中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题(第1题至第6题每题3分,第7题至第10题每题4分,共34分) 1.已知集合,,则_. 2.一个扇形的弧长和面积都是,则这个扇形的圆心角的弧度数为_. 3.函数的定义域为_. 4.已知正实数、满足,则的最大值为_. 5.已知函数在上是严格增函数,则实数的取值范围是_. 6.已知幂函数的图像不过原点,则实数_. 7.写出一个满足下列所有条件的函数为_. ① ② ③ 8.已知,,,则_. 9.已知函数,(,且),若对任意,存在,使得成立,则实数的取值范围是_. 10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,他是数学史上第一位重视概念的人,并且有意识地“以概念代替直觉”,以其名命名的函数狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数“函数”,则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论: (1); (2)函数是偶函数; (3)函数图像上存在四个点,使得四边形为平行四边形; (4)函数图像上存在三个点,使得为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_. 二、选择题(第11题、第12题每题3分,第13题、第14题每题4分,共14分) 11.函数的图像大致为( ) 12.对于任意的,表示不超过的最大整数,例如,,,那么“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 13.在中,角、及所对的边分别为、及,若,则为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 14.已知函数,若关于的方程有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 三.解答题(共52分,第15题8分+第16题10分+第17题10分+第18题10分+第19题14分) 15.(本题共8分,第一小题4分,第二小题4分) 已知集合,,全集. (1)若,求; (2)若,求实数的取值范围. 16.(本题共10分,第一小题5分,第二小题5分) 已知函数. (1)求的最小正周期及单调减区间; (2)求函数在区间上的值域. 17.(本题共10分,第一小题5分,第二小题5分) 已知中,角、及所对边的长分别为、及,且的面积. (1)求的外接圆半径; (2)若,,且为锐角,求边上的高. 18.(本题共10分,第一小题5分,第二小题5分) 已知函数(且). (1)求的定义域,判断的奇偶性并给出证明; (2)若,求实数的取值范围. 19.(本题共14分,第一小题4分,第二小题5分,第三小题5分) 已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当,,,求函数的零点; (2)当,,若恒有,求实数的取值范围; (3)当,求证:“对于任意的正有理数,函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.; 5. ; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.(1)(3)(4); 10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,他是数学史上第一位重视概念的人,并且有意识地“以概念代替直觉”,以其名命名的函数狄利克雷函数,现定义一个与狄利克雷函数类似的函数“函数”,则关于狄利克雷函数和函数有以下四个结论: (1); (2)函数是偶函数; (3)函数图像上存在四个点,使得四边形为平行四边形; (4)函数图像上存在三个点,使得为等边三角形. 其中所有正确结论的序号是_. 【答案】(1)(3)(4) 【解析】由狄利克雷函数的定义,可得,所以(1)正确; 由题意知,不满足,所以函数不是偶函数, 所以(2)错误; 若取函数图象上四个点,由于,于,,即互相平分,故函数图象上四个点,使得四边形为矩形,故(3)正确; 函数图象上三个点, 即,因为, 所以为等边三角形,故(4)正确.故答案为:(1)(3)(4). 二、选择题 11. A 12.B 13.D 14. A 13.在中,角、及所对的边分别为、及,若,则为( ) A.锐角三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形 【答案】D 【解析】因为,所以,所以, 所以为钝角,所以为钝角三角形,故选D. 14.已知函数,若关于的方程有6个不相等的实数根,则实数a的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数可作图如下: 令,且,令, 由恒成立, 则方程,必存在两个实数根,由题意可得或, 当时,由图可知方程存在2个根,方程存在4个根,符合题意,此时可得即,可得无解; 当时,由图可知方程或分别存在3个根,符合题意, 此时可得,即,解得; 当时,由图可知方程或分别存在3个根,符合题意, 此时可得,即,解得, 当时,由图可知方程存在4个根,方程存在2个根,符合题意,此时可得,即,可得无解. 综上所述,.故选:. 三、解答题 15.(1) (2) 16.(1) (2) 17.(1) (2) 18.(本题共10分,第一小题5分,第二小题5分) 已知函数(且). (1)求的定义域,判断的奇偶性并给出证明; (2)若,求实数的取值范围. 【答案】(1)为奇函数.证明见解析 (2)当时,实数的取值范围是;当时,实数的取值范围是. 【解析】(1)令,解得,则的定义域为. 因为, 所以为奇函数. (2),即. 因为. 令,易得在上单调递增 当时,在上单调递减, 则,解得; 当时,在上单调递增,则,解得. 综上,当时,实数的取值范围是;当时,实数的取值范围是. 19.(本题共14分,第一小题4分,第二小题5分,第三小题5分) 已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当,,,求函数的零点; (2)当,,若恒有,求实数的取值范围; (3)当,求证:“对于任意的正有理数,函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【答案】(1)零点为; (2) (3)证明见解析 【解析】(1)当时,, 令,解得,所以函数的零点为; (2) 若, 当时,的二次项系数为负导致当时,, 当时,,均不满足恒成立,故,所以, 设,则,解得或(舍去),即, 此时,所以在上单调递增, 所以,所以实数的取值范围为; (3)证明:必要性:对于,取, 因为函数在上是严格增函数且所以, 即 即,所以; 充分性:且,因为, 所以,即, 又,所以函数在上是严格增函数; 综上,"对于任意的正有理数,函数在上均是严格增函数"的充要条件是"任取中两个不相同的元素和,均有)". 学科网(北京)股份有限公司 $