上海市复旦中学2025-2026学年第一学期高一年级期末数学试卷

复旦中学2025-2026学年第一学期高一年级数学期末 2026.1 一、填空题(1~6每题3分,7~12每题4分) 1.已知集合,,且,则_. 2.关于的方程的两根之积为,则_. 3.函数的定义域是_. 4.“”是“”的_条件. 5.扇形圆心角为2,弧长为12,则扇形的半径为_. 6.已知,则的值域是_. 7.已知为第四象限角,且,则_. 8.定义域为,值域为的一个严格减函数是_. 9.已知函数.零点在区间为中,则自然数_. 10.设,,则的最小值为_. 11.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是_. 12.对于一个数集,定义函数.假设数集是全集,是的子集,对任意,有以下命题:①如果,那么; ②如果,那么; ③如果,那么; ④如果,那么;其中命题正确的是_. 二、单项选择题(13、14每题3分,15、16每题4分) 13.若,,则一定有( ) A. B. C. D.以上答案都不对 14.设,.下列各项中,能推出的一项是( ) A.,且 B.,且 C.,且 D.,且 15.若密码的长度设定为512比特,则密码一共有种可能,因此,为了破解密码,最坏情况需要进行次哈希运算.现在有一台机器,每秒能进行次哈希运算,假设机器一直正常运转,那么在最坏情况下,这台机器破译密码所需时间大约为( ) A.秒 B.秒 C.秒 D.6.4秒 16.已知点,,在函数上,记,则存在函数,对曲线上任意一点都有( ) A. B. C. D. 三、解答题 17.计算:(1)求的值. (2)若,求的值. 18.已知函数. (1)若,求的值; (2)判断函数在的单调性,并用单调性的定义证明你的结论; (3)求关于的不等式的解集. 19.某种农作物单株的产量t(单位:kg)与肥料成本x(单位:元)满足如下关系: 单株产量,单株成熟除肥料成本(单位:元)外,还需其他成本(单位:元).已知这种农作物的市场售价为5元/kg,且供不应求,记该农作物单株获得的利润为(单位:元). (1)求的函数关系式; (2)当投入的单株肥料成本为多少元时,该农作物单株获得的利润最大?最大利润是多少元? 20.已知函数,. (1)当时,求不等式的解集; (2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围; (3)若对任意,存在,使得,求的取值范围. 21.对于函数,若存在实数,使得为上的奇函数,则称是位差值为的“位差奇函数”. (1)判断函数和是否是位差奇函数,并说明理由; (2)若是位差值为1的位差奇函数,求的值; (3)若对于任意,都不是位差值为的位差奇函数,求实数的取值范围. 参考答案 一、填空题 1.; 2.; 3.; 4.必要不充分; 5.; 6.; 7.; 8.(答案不唯一); 9.; 10.; 11. 12.①②④ 11.若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是_. 【答案】 【解析】由绝对值三角不等式知,对任意的 当且仅当时取等号, 因为对任意的,不等式恒成立, 所以,即或,解得或, 所以实数的取值范围是.故答案为:. 12.对于一个数集,定义函数.假设数集是全集,是的子集,对任意,有以下命题:①如果,那么; ②如果,那么; ③如果,那么; ④如果,那么;其中命题正确的是_. 【答案】①②④ 【解析】对于①,由,则任意不同时属于,则不同时为1,则,故①正确; 对于②,由,得,若,则,得, 若,则或1,则,故②正确; 对于③,当时,,,故③错误; 对于④,若,则,则; 若,则不同时属于,则与必有一个为0, 则,故④正确.故答案为:①②④. 二、选择题 13. D 14.D 15. B 16.B 16.已知点,,在函数上,记,则存在函数,对曲线上任意一点都有( ) A. B. C. D. 【解析】函数的定义最重要的特征就是对于定义域内的自变量,则有唯一确定的函数值与之对应.对,若要是函数,则方程最多只有一解,但计算可以知道,当时,方程有两个解,故AC错 由对称性可知,对任意的,点都有两个点,此时有两个值,故D错 从而选B 三、解答题 17.(1) (2) 18.(1) (2)单调递增,证明略 (3) 19.(1) (2)当投入的单株肥料成本为6元时,该农作物单株获得的利润最大,最大利润是42元 20.已知函数,. (1)当时,求不等式的解集; (2)若对任意,不等式恒成立,求的取值范围; (3)若对任意,存在,使得,求的取值范围. 【答案】(1)或. (2) (3) 【解析】(1)当时,由得, 即,解得或. 所以不等式的解集为或. (2)由得,即不等式的解集是. 所以,解得. 所以的取值范围是. (3)当时,.又. ①当,即时, 对任意.所以此时不等式组无解. ②当,即时, 对任意.所以解得. ③当,即时, 对任意.所以此时不等式组无解. ④当,即时, 对任意.所以此时不等式组无解. 综上,实数的取值范围是. 21.对于函数,若存在实数,使得为上的奇函数,则称是位差值为的“位差奇函数”. (1)判断函数和是否是位差奇函数,并说明理由; (2)若是位差值为1的位差奇函数,求的值; (3)若对于任意,都不是位差值为的位差奇函数,求实数的取值范围. 【答案】(1)为位差奇函数,为位差奇函数. (2) (3) 【解析】(1)因为, 所以为奇函数, 所以对于任意,都有为位差奇函数. 又,设. 此时, 若为奇函数,则恒成立,显然不成立; 所以不存在,使为位差奇函数. (2)设 则为奇函数 恒成立 整理得恒成立,从而 (3)设 . 由题意知,对任意的均不恒成立. 此时1), 即, 所以对任意的不恒成立.所以在无解. 又,所以.所以的取值范围是. 学科网(北京)股份有限公司 $