上海市古美高级中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷

古美中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果. 1.两条异面直线所成角的范围是_. 2.直线的倾斜角为 . 3.已知球的表面积为36,则该球的体积为_. 4.若直线:与直线:互相垂直,则 . 5.已知圆锥侧面积为2,且侧面展开图为半圆,则该圆锥底面半径为 . 6.一件产品要经过两道独立的工序,第一道工序的次品率为0.1,第二道工序的次品率为0.2,则该产品的正品率_. 7.现利用随机数表法从编号为00,01,02,,18,19的20支水笔中随机选取6支,选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第6支水笔的编号为 . 95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 27096623 92580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925 8.已知正方形ABCD的边长是1,将 ABC沿对角线AC折到 AB′C的位置,使(折叠后)A、B′、C、D四点为顶点的三棱锥的体积最大,则此三棱锥的表面积为_. 9. 已知点在直线上,则的最小值为_. 10. 空间直角坐标系中有一条线段,这条线段在平面,平面,平面上的射影长分别为5,,,则这条线段长为_. 11.某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰,如图,、 、、为该正方体的顶点,、、为三根直绳索,且均垂直于屋顶所在平面.若平面与平面平行,且点到的距离为2米,则直绳索的长度约为 米.(结果精确到0.01米) 12. 空间直角坐标系中,从原点出发的两个向量、满足:,,且存在实数,使得成立,则由构成的空间几何体的体积是 . 二、选择题(本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑. 13.已知是锐角,则“直线与平面内无数条直线所成角的大小为”是“直线与平面所成角的大小为”的( )条件. A. B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分又非必要 14.某运动员8次射击比赛的成绩为:9.6、9.7、9.5、9.9、9.4、9.8、9.3、10.0;已知这组数据的第百分位为,若从这组数据中任取一个数,这个数比大的概率为,则的取值不可能是( ). A.65 B.70 C.75 D.80 15.掷两颗骰子,观察掷得的点数.设事件为:至少一个点数是奇数;事件为:点数之和是偶数,事件的概率为,事件的概率为.则是下列哪个事件的概率( ). A. 两个点数都是偶数 B. 至多有一个点数是偶数; C. 两个点数都是奇数 D. 至多有一个点数是奇数. 16.在正方体中,两点分别从点和点出发,以相同的速度在棱和上运动至点和点,在运动过程中,直线与平面所成角的变化范围为( ). A. B. C. D. 三、解答题(本大题共有5题,满分78分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17. (本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 一个盒子中装有4张卡片,卡片上分别写有数字1、2、3、4.现从盒子中随机抽取卡片. (1)若第一次抽取1张卡片,放回后再抽取1张卡片,事件B表示“两次抽取的卡片上数字之和大于”,求; (2)若一次抽取2张卡片,事件表示“2张卡片上数字之和是3的倍数”,事件表示“2张卡片上数字之积是4的倍数”.判断事件C与D是否独立,并证明. 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分) 如图,在四棱锥中,底面为长方形,底面,E是中点,已知,,. (1)证明:; (2)求二面角的大小. 19.(本题满分14分,第1小题满分4分,第2小题满分4分,第3小题满分6分) 为培养学生的社会责任感,某校开展了为期一学期的“温暖社区,青春奉献”志愿服务活动.活动结束后,学校从甲、乙两个班级中统计了部分学生的志愿服务时长(单位:小时),统计结果用茎叶图记录如图所示(十位数字作为“茎”,个位数字作为“叶”).已知甲组有9名学生的数据,乙组有10名学生的数据. (1)分别写出甲、乙两组学生服务时长的第70百分位数; (2)从甲、乙两组学生中各随机抽取1人,求抽取的2人中恰有1人的服务时长超过30小时的概率; (3)记甲组志愿服务时长方差为;在甲组中增加一名学生得到“新甲组”,若的志愿服务时长为27,则记“新甲组”志愿服务时长的方差为;若的志愿服务时长为20,则记“新甲组”志愿服务时长的方差为;通过计算比较的大小(结果精确到0.1),并从数学角度解释这一现象. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 如图,在直三棱柱中,,,是边的中点,. (1)求三棱柱的体积; (2)求证:面; (3)一只小虫从点沿直三棱柱表面爬行到点,求小虫爬行的最短距离. 21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 已知直线恒过点,且与轴,轴分别交于,两点,为坐标原点. (1)求点的坐标 (2)当点到直线的距离最大时,求直线的方程 (3)当取得最小值时,求的面积