上海师范大学附属中学宝山分校2025-2026学年第一学期高二年级数学期末试卷

上海师范大学附属中学宝山分校 2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分) 1.抛掷3枚质地均匀的硬币,最多1枚正面朝上的概率为_. 2.球的体积是,则球的表面积是_. 3.管理人员为了了解某水库里大概有多少条鱼,拖网打捞出1000条鱼,在鱼身处打上一个不会掉落的印记,再放回水库,一个月后再次捕捞1000条鱼,发现其中有20条有印记的鱼,问:这个水库里大概有_条鱼. 4.已知,则_.(用数字作答) 5.已知直线经过点,与直线夹角为,直线的方程 为_. 6.某个品种的小麦麦穗长度(单位:cm)的样本数据如下:10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7,则这组数据的第80百分位数为_. 7.现从编号为01,02,…,50的50支水笔中抽取10支水笔进行书写长度检测,若从以下随机数表第9个数字开始由左向右读取,则抽取的第4支水笔的编号为_(以下摘自随机数表第7行). 39832776 39918535 32591131 40469235 04982212 20671263 8.某学生参加两次英语高考,已知第一次超过130分的概率是0.5,第二次超过130分的概率是0.7,两次都超过130分的概率是0.3,则两次考试中至少有一次超过130分的概率为_. 9.已知,,,,点在直线上运动,当取最小值时,点的坐标是_. 10.根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有3组样本①,②,③,依次计算得到结果如下:①平均数且极差小于或等于3;②平均数且标准差;③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是_. 11.在棱柱中,底面为平行四边形,,,且,则异面直线与的夹角为_. 12.数列满足:,且,集合或.若数列满足:对任意,均有,则称数列是“好的”.“好的”数列的个数为_. 二、选择题(本题共4个小题,13-14题每题4分,15-16题每题5分,满分18分) 13.已知是两个不同的平面,是两条不同的直线,下列条件中,一定得到直线的是( ) A., B., C., D.,,, 14.某班一次数学小测验(百分制)后,老师为了奖励同学们平时认真学习,决定给每位同学的成绩加上5分作为过程性评价奖励.加分后,与原始分数相比,不会发生改变的是( ) A.平均数 B.中位数 C.第80百分位数 D.方差 15.有一四边形,对于其四边、、、,按顺序分别抛掷一枚质量均匀的硬币;如硬币正面朝上,则将其擦去;如硬币反面朝上,则不擦去.最后,以为起点沿着尚未擦去的边出发,可以到达点的概率为( ) A. B. C. D. 16.已知点为正方体内部(不包含表面)的一点.给出下列两个命题: :过点有且只有一个平面与和都平行; :过点至少可以作两条直线与和所在的直线都相交. 则以下说法正确的是( ) A.命题是真命题,命题是假命题 B.命题是假命题,命题是真命题 C.命题、都是真命题 D.命题、都是假命题 三、解答题(本题共5小题,17-19题每题14分,20-21每题18分,满分78分) 17.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分) 如图,四棱锥的底面是矩形,底面,,,四棱锥的体积为,为的中点. (1)求证:; (2)求直线与平面所成的角的大小.(结果用反三角表示) 18.(本题满分14分,第1小题7分,第2小题7分) 某高中举行了一次知识竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计.将成绩进行整理后,依次分为五组(,,,,),其中第1组的频率为第2组和第4组频率的等比中项.请根据下面的频率分布直方图(如图所示)解决下列问题: (1)求、的值; (2)从样本数据在,两个小组内的学生中,用分层抽样的方法抽取7名学生,再从这7名学生中随机选出2人,求选出的两人恰好来自不同小组的概率; (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数:,已知这10个分数的平均数,方差,若剔除其中的95和81两个分数,求剩余8个分数的平均数与方差. 19.(本题满分14分,第1小题满分7分,第2小题满分7分) 已知一条动直线, (1)求证:直线恒过定点,并求出定点的坐标. (2)若直线与轴的正半轴分别交于两点,当取最小值时,求直线的方程. 20.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设P为多面体M的一个顶点,定义多面体M在点P处的离散曲率为,其中为多面体的所有与点相邻的顶点,且平面,平面,平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.如图,在三棱锥中. (1)求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和; (2)若平面,,,三棱锥在顶点处的离散曲率为,求点到平面PBC的距离; (3)在(2)的前提下,又知点Q在棱PB上,直线CQ与平面ABC所成角的余弦值为,求BQ的长度. 21.(本题满分18分,第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分) 我们称为向量与的向量积,现定义空间向量与的向量积:若,,则.区别于向量的数量积的结果是标量,向量的向量积的结果仍然为向量.已知在三棱锥中,记,,. (1)若,,求,; (2)①向量是即有大小又有方向的量.试根据问题(1)的结果,猜测一个有关方向的一般结论(不必证明). ②若,,,求直线与平面的所成角的大小; (3)证明,并用表示三棱锥的体积.