第八章 实数 单元检测题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

七年级数学下册 第八章 实数 单元检测题 人教版 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若m＝5n（m、n是正整数），且 ，则与实数 的最大值最接近的数是（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 2．黄金三角形就是一个等腰三角形，其底与腰的长度比为黄金比值，其比值为，人们通常把该数叫做“黄金分割数”，请估计的值在（　　） A．在0到之间 B．在到1之间 C．在1到之间 D．在到2之间 3．已知a，b，c为实数，且，则的值为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 4．若关于x的多项式 与多项式 相加后不含x的二次项和一次项，则-(mn+n)的平方根为(　　) A．3 B．-3 C．±3 D． 5．已知 ， ， 表示取三个数中最小的那个数﹒例如：当 ， ， ， = ， ， =3﹒当 ， ， = 时，则 的值为（　　） A． B． C． D． 6．下列四个式子： ① ；② ＜8；③ ＜1；④ ＞0.5． 其中大小关系正确的式子的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．对于实数x，我们规定[x]表示不大于x的最大整数，如[4]=4，[ ]=1，[﹣2.5]=﹣3.现对82进行如下操作：82 [ ]=9 [ ]=3 [ ]=1，这样对82只需进行3次操作后变为1，类似地，对121只需进行多少次操作后变为1（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，阴影部分（正方形）的四个顶点在的网格格点上，试估计阴影部分的边长在哪两个整数之间，则正确的是（　　） A．2和3 B．3和4 C．4和5 D．5和6 9．地球仪的主体结构是球体，根据球体体积公式（R为球体半径），计算得到下表数据： 地球仪的体积V（单位：） 地球仪的半径R（单位：） 地球仪A 地球仪B 已知地球仪C的体积为，则它的半径约为（　　） A． B． C． D． 10． 设表示最接近的整数，则 A． B． C． D． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分。 11．我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于，所以的整数部分为1，小数部分为。根据以上的内容，解答下面的问题：若的小数部分为a，的整数部分为b，则的值是　 　。 12．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为，其面积介于整数和之间，那么的值是　 　． 13．已知 当x分别取1，2，3，…， 2 021 时， 所对应的 y 值的总和为　 　. 14．设2016a3＝2017b3＝2018c3，abc＞0，且，则＝　 　 15．对于实数， 定义的含义为∶ 当时，；当时，，例如∶．已知，且和为两个连续正整数，则的值为　 　． 三、解答题：本大题共8小题，共75分。 16．计算： （1）； （2）； （3）解方程：． 17．阅读材料：我们知道，任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得，如果，其中，为有理数，为无理数，那么，． 运用上述知识解决下列问题： （1）如果，其中，为有理数，求和的值； （2）若均为有理数，且，求的算术平方根． 18．本学期我们学习了无理数，数系则从有理数扩充到了实数．在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立． 阅读材料：当时，是非负数的算术平方根，也是一个实数，这类实数可以进行如下乘法运算：．如：．但任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，如：． 根据以上材料，解决下列问题：实数与满足． （1）写出与的取值范围； （2）若为有理数8，求此时的值； （3）已知是有理数，且满足等式：，求和的值． 19．阅读材料，完成任务． 材料1：数形结合是重要的数学思想．按照图1所示将两个边长为1的小正方形进行剪拼（无缝隙不重叠的拼接）成一个大的正方形，可以得到无理数；按照图2和图3所示的两种剪拼方法将一个边长为1的正方形和一个边长为2的正方形剪拼出一个大正方形，可以得到无理数m． 材料2：实数与数轴上的点一一对应．要在数轴上找到表示的点，关键是在数轴上构造线段．如图4，正方形的边长为1个单位长度，以原点O为圆心，对角线长为半径画弧与数轴上分别交于点A，，则点A对应的数为，点对应的数为．类似的，我们可以在数轴上找到表示任意无理数的点． 材料3：如图5，改变图4中正方形的位置，用类似的方法作图，可在数轴上构造出线段与，其中O仍在原点，点B，分别在原点的右侧、左侧，可由线段与的长得到点B，所表示的无理数．按照这样的思路，只要构造出特定长度的线段，就能在数轴上找到无理数对应的点． 任务： （1）材料1中，无理数m是________，画图确定表示m的点M； （2）如图5，点B表示的数为________，点表示的数为________； （3）数轴上分别标出表示数-0.5以及的点，并比较它们的大小． （4）若，，求代数式的值，并在数轴上表示对应的点． 20．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而＜2于是可用来表示的小数部分.请解答下列问题： (1)的整数部分是_______，小数部分是_________； (2)如果的小数部分为的整数部分为求的值； (3)已知：其中是整数，且求的平方根． 21．阅读材料： 小明对不等式的有关知识进行了自主学习，他发现，对于任意两个实数 和 比较大小，有如下规律：若 则 若 则 若 则 上面的规律，反过来也成立．课上，通过与老师和其他同学的交流，验证了上面的规律是正确的．参考小明发“现”的规律，解决问题： （1）比较大小： 　 　 ；（填“<”，“＝”或“>”） （2）已知 ，若 且 ， 试比较的 和 大小． 22．请认真阅读下面的材料，再解答问题． 依照平方根（即二次方根）和立方根（即三次方根）的定义，可给出四次方根、五次方根的定义． 比如：若，则叫的二次方根；若，则叫的三次方根；若，则叫的四次方根． （1）依照上面的材料，请你给出五次方根的定义； （2）81的四次方根为　 　；-32的五次方根为　 　； （3）若有意义，则的取值范围是　 　；若有意义，则的取值范围是　 　； （4）求的值：． 23．活动2 口算求立方根 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59 319， 求它的立方根. 华罗庚脱口而出： 39. 你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗?按照下面的方法试一试： ①由. ，你能确定 是几位数吗? ②由59 319 的个位上的数是9， 你能确定、 的个位上的数是几吗? ③如果划去59 319后面的三位319得到数59， 而33=27， 43=64，由此你能确定 的十位上的数是几吗? 已知19 683，110 592都是整数的立方，按照上述方法，你能确定它们的立方根吗? 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解： ， ， ， 即 ， 又 、 是正整数， 的最大值为28， 比36更接近28， 的值比较接近 ，即比较接近5. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件，可得到m的取值范围，利用m=5n，可求出n的取值范围，然后利用估算无理数的大小，可得答案. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， 即． 故选：B． 【分析】本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，根据，利用夹逼法估算无理数的大小，即可得出答案． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：根据题意得，a+b-8≥0且8-a-b≥0， ∴ a+b=8， ∴ c=25， ∴==2+5=7. 故答案为：D. 【分析】根据算术平方根的非负数性质可得a+b的值，进而c的值，再代入求值即可. 4．【答案】C 【解析】【解答】解： 因为相加后不含x的二次项和一次项， 所以-11m+22=0，-15-5n=0， 解得：m=2，n=-3， 所以-(mn+n)=-[2×(-3)+(-3)]=9， 所以-(mn+n)的平方根为±3. 故答案为：C. 【分析】先根据合并同类项法则进行运算，由相加后不含x的二次项和一次项，则二次项和一次项系数为0列方程可得m和n的值，代入所求式可解答. 5．【答案】C 【解析】【解答】解： 当0<x<1时， ，当x>1时， ， ∴ ， ， ，则x=. 故答案为：C 【分析】当底数大于零而小于1时，指数越大值反而越小，当底数大于1时，指数越大，值越大。据此原理，先找出最小值是x2， 再列方程解出x即可。 6．【答案】C 【解析】【解答】解： ① 、∵8<10，∴ ，符合题意； ② 、∵65>64，∴ ，不符合题意； ③④ 、∵2< <3，∴ ，③④符合题意； 故答案为：C 【分析】①② 根据根式的性质先确定被开方数的大小，再确定其根式的值大小；③④先确定的范围，再分步确定 的范围即可。 7．【答案】C 【解析】【解答】解：121 ∴对121只需进行3次操作后变为1. 故选C． 【分析】[x]表示不大于x的最大整数，依据题目中提供的操作进行计算即可． 8．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得阴影部分的面积为：， ∴阴影部分的边长为， ∵， ∴， 故答案为：B 【分析】先根据题意求出阴影部分的面积，进而即可得到阴影部分的边长，从而估算无理数的大小即可求解. 9．【答案】B 【解析】【解答】解：设地球仪的半径为， 则， ， ∵， ∴， ∴它的半径约为， 故答案为：B． 【分析】先根据球体体积公式，列出方程求出r，再查表求解． 10．【答案】A 【解析】【解答】解： 解： 原式 答案为：A. 【分析】由于的立方介于3和4之间、的立方介于15和16之间、的立方介于42和43之间、的立方介于91和92之间、的立方介于166和167之间、因此小于等于3的正整数的立方根都最接近或等于1，大于等于4且小于等于15的数字都最接近2或等于2，依次类推，原式可转化为3个1、12个2、27个3、49个4和35个5的和，再直接计算即可. 11．【答案】3 【解析】【解答】解：∵， ∴的整数部分为2， ∴小数部分为， 即， ∵， ∴的整数部分为5， ∴b=5， ∴. 故答案为：3. 【分析】求出的整数部分和小数部分，然后求出的整数部分，最后将这些值代入公式进行计算. 12．【答案】2 【解析】【解答】解：把三角形的三边长2，3，3代入得， ， ， ， ， ∵面积介于整数和之间， 的值为2． 故答案为：2． 【分析】首先把三角形的三边长2，3，3代入求得P=4，再计算三角形的面积S为，再估算的范围可得，由面积介于整数和之间从而可得答案． 13．【答案】2033 【解析】【解答】解：y=|x-4|-x+5. 当x≤4时，y=-(x-4)-x+5=-x+4-x+5=-2x+9； 当x>4时，y=x-4-x+5=1. ∴y值的总和为7+5+3+1+1+…+1=7+5+3+1×2018=2033. 故填：2033. 【分析】根据，进行化简，再对代数式求值即可. 14．【答案】1 【解析】【解答】解：， ， ∴， 解得＝ 1 故答案为：1 . 【分析】本题主要考查等式的变形，需要利用立方根的计算。 从问题出发，因此让原式中尽量出现 ，这时可以在的根号里面的式子每个因式变形为，最后变形为；然后再将变形，并结合 2016a3＝2017b3＝2018c3 ，因此得到，最后即可得出等式，从而求出 的值。 15．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴， ∵和为两个连续正整数，， ∴， ∴． 故答案为：4. 【分析】本题主要考查用新定义解决数学问题及实数的运算，根据题意，得到，求得，将其代入代数式 ，进行计算，即可得到答案. 16．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， ． 【解析】【分析】 （1）根据绝对值得意义，开立方运算：算术平方根化简以后计算计算； （2）利用算术平方根得性质、立方根，，化简后计算即可； （3）先计算，在用开方运算转化为两个一元一次方程即可求解． （1）解： ； （2） ； （3）， ， ， ． 17．【答案】（1）解：∵，其中为有理数，∴，； ∴，． （2）解：∵，， ∵m、n为有理数， ∴，， ∴，， ∴当，时，，的算术平方根为； 当，时，，的算术平方根为； 综上所述，的算术平方根为或． 【解析】【分析】（1）根据题意，得到，，求得m和n的值，即可得到答案； （2）先整理得到，得出，，求得m和n的值，分类讨论，进而求得的平方根，得到答案. 18．【答案】（1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：，则， 整理得：， ∴， 即． 【解析】【分析】（1）参照题干中的定义列出不等式，再求出a、b的取值范围即可； （2）先求出b的值，再结合，求出a的值即可； （3）先求出，再利用题干中的定义及计算方法求出即可． （1）解：由于， 则； （2）解：， ； ∵，即， ∴， 即； （3）解：， 则， 整理得：， ∴， 即． 19．【答案】（1） （2）， （3）解：点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）解：由（1），得，， 原式 ． 【解析】【解答】解：（1）由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； 解：（2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； 【分析】（1）根据图形，利用勾股定理，求得大正方形的边长，结合数轴构造无理数的方法，即可 得到答案； （2）由图可知，点到1的距离为，根据两点间的距离，得到点B表示的数为，点表示的数为：，即可得出结果； （3）以为圆心，为半径化弧，与数轴的交点到的距离即为，确定点位置，进行比较，即可得到答案； （4）将a和的值代入代数式 ，化简绝对值，再在数轴上表示出结果，即可得到答案． （1）解：由勾股定理得：，如图，M点表示的数为； （2）由图可知，点到1的距离为， ∴点B表示的数为，点表示的数为：； 故答案为：，； （3）点A表示，点B表示，表示数和的点如图所示： ． （4）由（1），得，， 原式 ． 20．【答案】解；(1) 4，-4； 解：（2）∵2＜＜3， ∴a=-2， ∵3＜＜4， ∴b=3， ∴a+b-=-2+3-=1； 解：（3）∵100＜110＜121， ∴10＜＜11， ∴110＜100+＜111， ∵100+=x+y，其中x是整数，且0＜y＜1， ∴x=110，y=100+-110=-10， ∴x++24-y=110++24-+10=144， x++24-y的平方根是±12． 【解析】【解答】解：（1）∵4＜＜5， ∴的整数部分是4，小数部分是-4， 故答案为4，-4； 【分析】（1）由4＜＜5，得到的范围，进而得到的整数部分和小数部分，得到答案； （2）先估算出、的范围，求出a、b的值，将其代入代数式求值，即可得到答案； （3）先估算出的范围，求出x、y的值，将其代入代数式求值，即可得到答案. 21．【答案】（1）< （2）解： ， ． ， ， 又∵ ， ∴ ， ． 【解析】【解答】解：（1） ， 根据题意可知：若 ，则 ， 答案为： ， 【分析】（1）两数作差，根据可求，也可利用不等式的性质1即可得出答案； （2）根据 ，且 求得，两式作差即可求解。 22．【答案】（1）解：五次方根的定义：若，则叫的五次方根； （2）； （3）；为任意实数 （4）解：， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴或． 【解析】【解答】解：（2）； 故答案为：； （3）解：∵是一个数的四次方， ∴， ∴； ∴若有意义，则的取值范围是； ∵中是一个数的五次方， ∴为任意实数． 故答案为：，为任意实数； 【分析】（1）根据阅读材料模仿直接下定义即可； （2）根据四次方根、五次方根的定义直接求解即可； （3）根据偶次方根被开方数为非负数，奇次方根被开方数为任意实数分别解答即可； （4）利用四次方根的定义求解即可. 23．【答案】解：①∵1000＜59319＜1000000，而∴ 是两位数； ②13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216，73=343，83=512，93=729，观察可以发现， 的个位上的数是9； ③∵27＜59＜64，且 33=27， 43=64， ∴的十位上的数是3； ∵1000＜19683＜1000000，而∴ 是两位数； 19683，划去后面的三位数683，得到19，而23=8，33=27，且8＜19＜27，∴的十位上的数是2； 再根据从1到9的立方数进行观察，的个位上的数是7，因此19683的立方根是27； ∵1000＜ 110592 ＜1000000，而∴ 是两位数； 110592，划去后面的三位数592，得到110，而43=64，53=125，且64＜110＜125，∴的十位上的数是4； 再根据从1到9的立方数进行观察，的个位上的数是8，因此110592的立方根是48。 【解析】【分析】因为是计算某一个数的立方根，因此首先用103、1003来首先判断该数立方根是几位数；如果是两位数，那么就以该数的尾数和从1到9的立方数的尾数进行观察，相同的就是该数立方根的个位数；随后划去该数的后三位，剩下的数依旧和从1到9的立方数比较大小，即可确定该数立方根的十位数字，最后即可准确写出该数立方根的计算结果。 学科网（北京）股份有限公司 $