精品解析：湖北省襄阳市枣阳市第二中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

枣阳二中2025-2026学年上学期高二元月考试 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：王丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（40分） 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知的顶点， ， ，则边上的中线方程是 A. B. C. D. 5. 春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 7. 已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 17 8. 已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 二､多选题（18分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，则在上的投影向量为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 B. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 C. 当直线l：与圆C：相交所得弦长最短时，m的值为-1 D. 直线与直线互相平行，则 11. 双曲线的光学性质为：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过（如图1）；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时，的面积为 C. 当时，若，则双曲线的离心率为 D. 存在点，使双曲线在点处的切线经过原点 第II卷（非选择题） 三､填空题（15分） 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 13. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 14. 已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 四､解答题 15. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 16. （1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 17. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； （3）求数列的前项的和． 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枣阳二中2025-2026学年上学期高二元月考试 数学试题 考试时间：120分钟；命题人：王丽 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名､准考证号等在答题卷上填写清楚. 2.选择题答案用2B铅笔在答题卷上把对应题目的答案标号涂黑，非选择题用0.5mm的黑色签字笔在每题对应的答题区域内做答，答在试题卷上无效.请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一､单选题（40分） 1. 已知向量且，则实数的值为（ ） A. B. 0 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】由即可求解. 【详解】因为向量且， 所以， 即，解得. 故选:B. 2. 已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程，结合椭圆的焦点坐标进行求解即可. 【详解】因为椭圆的一个焦点坐标为， 所以该椭圆的焦点在纵轴上， 因此有，且， 故选：C 3. 抛物线的准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的准线方程直接得出结果． 【详解】抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为． 故选：D． 4. 已知的顶点， ， ，则边上的中线方程是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】中点为，由，得直线方程为， 化简得.故选. 5. 春节期间，甲，乙两人去西安旅游，打算去陕西历史博物馆参观，需要提前在网上预约门票，若甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人预约成功与否互不影响，则甲乙两人至少有一人预约成功的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合相互独立事件的概率计算公式，结合对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】由题意知，甲预约成功的概率为，乙预约成功的概率为，且甲乙两人互不影响， 则甲乙同时预约不成功的概率为， 所以甲乙两人至少有一人预约成功的概率是. 故选：C. 6. 数列的一个通项公式为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的定义和规律求解即可. 【详解】将数列7，25，79，241，… 的各项都加上2后为9，27，81，243，… ， 故该数列的一个通项公式为. 故选：C. 7. 已知过点且法向量为的平面方程为，现有一点在平面上，则点到的距离为（ ） A. B. C. D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出平面的法向量，利用点到面的距离的向量法公式求解即可. 【详解】易知平面的法向量，而由可得，于是， 所以，故点到的距离. 故选：C. 8. 已知F为抛物线的焦点，斜率为的直线与抛物线交于两点，且位于轴的两侧（在轴的上方），（其中为坐标原点），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出直线方程，直线方程与曲线方程联立，由韦达定理和向量的数量积为零求出直线方程，再由三角形面积公式求出面积可解. 【详解】在抛物线中，焦点的坐标为. 设直线的方程为 联立直线与抛物线方程，将代入， 展开并整理得.需满足； 由韦达定理可得. 则. 将代入上式可得： . 因为，所以，即，解得或. 因为位于轴两侧，所以，则，满足， 由可得，代入得， 解得. 当时，；当时， 所以. . 所以. 故选：B. 二､多选题（18分） 9. 关于空间向量，以下说法正确的有（ ） A. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则 B. 若空间中任意一点，有，则P，A，B，C四点共面 C. 若空间向量满足，则与夹角为钝角 D. 若空间向量，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据条件，可得，根据空间中线面的位置关系，分析即可判断A的正误；根据四点共面的定理，可判断B的正误；根据夹角公式，即可判断C的正误；根据投影向量的求法，代入数据，即可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以，则 ，故A错误； 选项B：因为，且， 所以P，A，B，C四点共面，故B正确； 选项C：若，则， 所以与夹角为钝角或平角，故C错误； 选项D：在上的投影向量为，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 已知直线和以，为端点的线段相交，则实数k的取值范围为 B. 经过点且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为 C. 当直线l：与圆C：相交所得弦长最短时，m的值为-1 D. 直线与直线互相平行，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据直线与线段相交、直线与圆相交、直线截距式方程、直线平行条件逐项分析判断即可. 【详解】选项A：直线可整理为，所以直线恒过点. ，， 因为直线与线段相交，所以的取值范围为或，故A错误； 选项B：设直线在x轴和y轴上截距为. 当时，设直线方程为，代入点可解得，此时方程为，即； 当时，设直线方程为，代入点可解得，此时方程为，即. 综上，所求直线方程为或，故B错误； 选项C：圆的方程可整理为，圆心，半径. 直线： 恒过定点，所以当直线时，弦长最短. ，所以，即，解得，故C正确； 选项D：当时，两条直线可化为，，不满足题意； 当时，直线可化为， 直线可化为， 因为两条直线平行，所以，解得，故D正确. 故选：CD. 11. 双曲线的光学性质为：，是双曲线的左､右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过（如图1）；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分（如图2）.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ） A. 射线所在直线的斜率为，则 B. 当时，的面积为 C. 当时，若，则双曲线的离心率为 D. 存在点，使双曲线在点处的切线经过原点 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线与双曲线的位置关系判断A，利用双曲线的定义求解焦点三角形面积判断B，构造齐次方程求解离心率判断C，利用反证法判断D即可. 【详解】因为双曲线的方程为，所以渐近线方程为， 对于A选项，因为直线与双曲线有两个交点，所以，故A正确； 对于B选项，由双曲线的定义知，， 若，则 因为， 所以， 解得， 所以的面积为，故B正确； 对于C选项，当时，因为， ，，， 所以，求得，故C正确； 对于D选项，假设双曲线在点处的切线经过原点，因为平分， 由角分线定理知，，所以， 又，所以假设不成立，故D错误； 故选：ABC. 第II卷（非选择题） 三､填空题（15分） 12. 已知圆与圆交于，两点，则公共弦长____． 【答案】 【解析】 【分析】将两圆的方程进行相减，然后结合几何知识进行求解即可. 【详解】由题得，，，两方程相减得， ，则圆心到此直线距离为， 所以． 故答案为：. 13. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 【答案】14 【解析】 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 14. 已知抛物线的焦点为F，点A，B，D均在抛物线C上．若的重心恰为点F，则______． 【答案】18 【解析】 【分析】先根据三角形的重心求得，再结合抛物线的焦半径公式求的值. 【详解】由题意知，． 设点A，B，D的横坐标分别为，，，则，所以． 由抛物线的定义得． 故答案为：18 四､解答题 15. 已知平面直角坐标系中定点为坐标原点．动点满足，记的轨迹为曲线 （1）求曲线的方程 （2）过点的直线被曲线所截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，结合两点间距离公式代入化简即可求解； （2）由弦长公式，通过直线斜率存在和不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设， 由， 可得：， 平方可得：， 化简可得， 即， 故曲线的方程是； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线方程为， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 此时弦长为，符合； 当直线的斜率存在时，设直线方程为：， 则圆心到直线的距离， 则弦长， 化简可得：， 解得：， 直线方程为：， 综上：直线的方程为或. 16. （1）已知数列前项和为，求数列的通项公式； （2）已知是公差为正的等差数列，且，，求数列的通项公式. 【答案】（1），（2）； 【解析】 【分析】（1）利用与的关系求解；（2）在等差数列中，利用性质由的值得到的值，的等式与解方程组，求出，求出公差，利用公式求出. 【详解】（1），当时，； 当时，，也满足； 故数列的通项公式. （2）是公差为正的等差数列，公差， ，， ，联立，解得，， ， 故数列的通项公式. 17. 等差数列的前项和记为，已知，且成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）当取最小值时，求序号的值，并求出的最小值； （3）求数列的前项的和． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算即可求解； （2）根据等差数列求和公式可得，结合二次函数性质即可求解； （3）结合（2）的及的符号，按照和分情况讨论求出即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为d， 由题可得：， 解得， ； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 由二次函数性质可知，当时，取最小值， 此时最小值为； 【小问3详解】 ， 由， 当时，；当时，， 所以当时，； 当时， . 综上，. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，且，，点为棱的中点. （1）在棱上是否存在一点，使得平面？如果存在，确定点N的位置，如果不存在，请说明理由； （2）若二面角的余弦值为时，求棱的长度. 【答案】（1）存在，点N为的中点 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可得平面平面，根据面面平行的性质可得，进而可得结果； （2）建系标点，设，分别求平面、平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求得，从而得到的长度. 【小问1详解】 取的中点，连接，， 因为分别为的中点，则， 且平面，平面，可得平面， 又因为平面，，平面， 可得平面平面， 且平面平面，平面平面，可得， 由题意可知：，则四边形为平行四边形， 可得，即点为的中点， 所以棱上是存在一点，使得平面，此时点为的中点. 【小问2详解】 取的中点，连接， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，可得， 又因为底面，则可以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， 可得，，， 设平面的法向量，则， 令，则，，可得， 且平面的法向量， 由题意可得：， 解得（舍去负值），所以. 19. 已知椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆的左、右顶点分别为，过点的直线与椭圆交于两点（异于）． ①若的面积为，求直线的方程； ②若直线与直线交于点，证明：点在一条定直线上． 【答案】（1） （2）① ； ②由①知，， 直线，直线， 联立直线，整理得， 由①知，， ， 即，解得， 点在直线上． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件得出的值，进而得出求出椭圆方程； （2）①设直线的方程及，联立椭圆方程，利用韦达定理，表示出弦长，结合点到直线的距离公式和三角形面积公式建立方程求解； ②联立直线得出代数关系式，结合韦达定理构造方程，化简计算求解． 【小问1详解】 椭圆上的点到其右焦点的最大距离为3， ，故， ， 椭圆的方程为； 【小问2详解】 ①设过点的直线方程为，点， 联立，得， 则， 则， 又点到直线的距离， 令，化简整理得 ，，，解得， 直线的方程为． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $