6.2平面向量的运算教案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

课题 6.2.1向量的加法运算 课时安排 1 年级 高一 科目 数学 主备人 教学目标 （核心素养目标） 1.通过类比数的加法运算，提出向量的加法的概念，以物理中力、位移、速度的合成为背景，引入向量加法的三角形法则和平行四边形法则；在学习向量加法运算法则的过程中，体会研究向量加法运算的方法，发展直观想象和逻辑推理的核心素养； 2、通过类比数的加法运算律，猜想并作图证明向量加法的运算律；能利用向量加法的三角形法则，得出向量三角不等式；会利用向量加法解决简单的问题。在研究向量加法性质的过程中体会数形结合、分类讨论的数学思想和方法，发展数学运算和逻辑推理的素养。 学情分析 学生在上节课中学习了向量的定义及表示方法、相等向量、平行向量等概念，知道向量可以自由移动，这是学习本节内容的基础．学生对数的运算了如指掌，并且在物理中学过位移的合成和力的合成等矢量的加法，所以向量的加法可通过类比数的加法、以所学的物理模型为背景引入，这样做有利于学生更好地理解向量加法的意义，准确把握两个加法法则的特点，但是向量的加法的定义是用作图语言来刻画的，对直接通过作图定义向量运算的这种处理方法，学生是第一次接触，在理解上会有一定的困难。 教材分析 重难点 重点：向量加法的运算法则和运算律 难点：平面向量加法的运算法则的构建过程，证明向量加法运算律 教具 智慧中小学平台、 多媒体、PPT 课前学习任务 同步练习册P5问题式预习 教学 过 程 教学活动 设计意图 一、复习回顾 1.向量:既有大小又有方向的量 2.量的几何表示: 有向线段 3.相等向量:长度相等且方向相同的向量 4.平行向量:方向相同或相反的向量 （共线向量） 5.零向量:长度为零的向量,用0表示 6.单位向量：长度（模）等于1个单位长度的向量 二、情景导入 （创设情景，明确研究对象） 我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷.那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中受到启发，引进了向量的运算，本节课我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用。下面来学习向量的加法运算。 三、问题探究 探究一：1.向量加法的三角形法则 （借助背景，得到概念） 如图，某质点从点A经过点B到点C，则这个质点的位移怎么表示？ 已知非零向量a，b，怎样计算a＋b？ 答：在平面内任取一点A，作=a，=b，则向量叫做a和b的和，记作a＋b．即a＋b=+=。 求两个向量和的运算叫做向量的加法. 根据向量加法的定义得出的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 【口诀】首尾相连连端点。 位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型. 探究一：2.向量加法的四边形法则（多角度思考,优化认知） 如图6.2−3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 F1 和 F2 的作用，你能做出这个物体所受的合力 F 吗？ 我们把这种两个向量和的方法叫做向量的平行四边形法则。 口诀：“起点相同连对角“ 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。 例1：如图6.2−5，已知向量a，b，求作向量a＋b 。 解： 分析平行四边形法则和三角形法则的区别与联系 区别 联系 三角形法则 (1)首尾相接 (2)适用于任何向量求和 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点 (2)仅适用于不共线的两个向量求和 规定：a+0=0+a=a 探究二：探索 |a＋b|与|a|，|b| 之间的关系.（联系对比，巩固新知） 1.当向量a，b 是共线向量时 2.当向量a，b 不共线时 探究三：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律与结合律呢？（从定义出发研究） 结论：向量加法的交换律和结合律 ， 例2：长江两岸之间没什么大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图6.2−8，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15km/h，同时江水的速度为向东6km/h. (1)用向量表示江水速度、船速以及船实际的 航行速度； (2)求船实际航行的速度大小(结果保留小数点后一位)与(用与江水速度间的夹角表示，精确到1O) 通过复习上节所学，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括。 用具有较大的开放性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去。 由质点的位移引入向量加法的三角形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。体现了数学抽象的核心素养。 引导学生归纳概括出三角形法则的有关特征：首尾相连连端点。通过口诀，让学生更容易识记。 由力的合成引入向量加法的平行四边形法则，提高学生的解决问题、分析问题的能力。体现了数学抽象的核心素养。 例题讲解，让学生理解怎样用向量的三角形法则与平行四边形法则求向量的和，明确向量加法的作图方法，理解其几何意义培养学生作图能力能力。体现了直观想象素养。 通过分析，进一步理解向量加法的三角形法则和平行四边形法则的区别和联系，培养学生理解和归纳总结能力。 让学生学会用向量的加法法则进行作图运算，并根据三角形两边之和大于第三边得出向量加法的三角不等式。激发学生学习数学的兴趣，培养数学思维。体现了数学逻辑推理，直观想象的核心素养。 类比数的加法运算律，确立研究向量加法运算律的途径，并通过寻找结论成立的依据，使学生获得研究运算律的经验。提高学生类比推理的能力和逻辑推理能力。 例2体现向量加法在实际生活中的应用，要求学生能够把它转化为向量的加法运算，发展学生解决实际问题的能力，学以致用。体现数学建模和数学运算的核心素养。 1. 根据图示填空： 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识和概括能力。 数学核心素养 数学抽象：通过位移和力的合成这两种物理模型，抽象出向量的加法概念。 逻辑推理：通过几何作图，推导出两个向量和的模与向量模的和之间关系以及运算律。 数学建模：例题让学生体会向量在解决实际问题中的应用。直观想象：通过几何作图，体会向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 数学运算：在习题中熟练运用向量加法运算法则和运算律。 指导学生学会自主概括、归纳知识，构建自己的知识体系。提升表达能力水平 板书设计 第一节向量的加法 1、向量的加法 2、三角不等式：||≤||+|| （1）三角形法则 3、运算律： （1）交换律：= += （2）结合律：= 口诀：首尾相连连首尾 例1、 （2）平行四边形法则 例2、 += 例3、 口诀：作平移，共起点，四边形，对角线。 课后作业布置 1：习题6.2第17题 2.素养评价 教学反思 课题 6.2.2向量的减法运算 课时安排 1课时 年级 高一年级 科目 数学 主备人 教学目标 （核心素养目标） 1.数学抽象：相反向量和向量减法的概念； 2.逻辑推理：利用已知向量表示未知向量； 3.直观想象：向量减法运算； 学情分析 1.认知基础： 学生在上节课已经学习了平面向量的加法运算及几何意义,会运用三角形法则和平行四边形法则求两个向量的和向量,具备了一定的作图能力，这为学习向量的减法运算打下了很好的基础。 2.认知障碍： 类比数的减法运算，让学生注意对“被减数”的理解。 教材分析 重难点 重点：理解并掌握向量减法的三角形法则; 难点：向量减法的几何意义及运算律. 教具 智慧中小学平台 ppt 课前学习任务 同步练习册P9问题式预习 教学 过 程 （一）温故知新 1.向量加法的三角形法则？ 注意：各向量“首尾相连"，和向量由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点. 2.向量加法的平行四边形法则？ 注意：两个向量共起点，和向量为对角线向量 3. 交换律 4. 结合律 （二）新课建构 探究一:向量减法定义 问题1 向量的减法与加法有什么关系？如何定义向量的减法法则？ 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反数，如:5−1=5+(−1)，类比数的运算中减法与加法之间的关系，引导学生思考可以如何定义向量的减法. 问题2 （1）类比实数的相反数是，对于向量，你能定义“相反向量”吗？它有哪些性质？ （2）你认为向量的减法可以怎样定义？ 类比相反数的定义，可得相反向量的定义： 定义1 与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作. 相反向量的图形表示以及字母表示如下： 由定义可得如下性质： (1)； (2)规定零向量的相反向量仍然是零向量，即：； (3) ； (4)如果互为相反向量，那么，，. 类比数的减法与减法之间的关系，可以利用相反向量从加法的角度定义减法： 定义2：向量加上的相反向量，叫做与的差，即.求两个向量差的运算叫做向量的减法. 探究二：向量减法的几何意义 问题3 向量减法的几何意义是什么？ 引导学生利用向量加法的运算法则作图探究向量减法的几何意义 (1)如图，设向量，， 连接，由向量减法的定义知， ， 在四边形中，，所以是平行四边形，所以. 问题4：不借助向量的加法法则，你能直接作出吗？ （2）如图，已知向量，，在平面内任取一点O，作，，则. 的几何意义：表示从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义. 引导学生注意减法作图法则的两个要点： （1）共起点；（2）终点相连指向被减向量的终点。 问题5： （1）如果从的终点指向终点作向量，所得向量是什么呢？ （2）当，共线时，怎样作呢？ （3）三者的大小关系如何？ （三）知识巩固 例1：如图，已知向量，求作向量. 作法： 1.在平面内任取一点，作； 2.作，，则为所求. 例2.如图，在中，，用表示向量. 由向量加法的平行四边形法则可知， 由向量的减法可得. 练习： 2.化简： （四）课堂小结 板书设计 6.2.2 向量的减法运算 1.减法定义 2.减法作图 3.减法几何意义 知识巩固 课堂小结 课后作业布置 1.习题6.2 第4题 2.素养评价 教学反思 课题 6.2.3向量的数乘运算 课时安排 2 年级 科目 主备人 教学目标 （核心素养目标） 1.数学抽象：利用有向线段将平面向量的数乘运算具体化； 2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力. 3.数学运算：利用实数与向量积的运算律进行有关的计算； 4.直观形象：通过有向线段直观判断平面向量的数乘运算. 学情分析 学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，并且初步体会了研究向量运算的一般方法，即先由特殊模型抽象出概念，然后再从概念出发，还在与实数运算类比的基础上研究了向量加法的运算律.这为学生学习向量的数乘运算做了很好的铺垫，使学生更容易接受. 教材分析 重难点 教学重点：实数与向量的积的定义、几何意义及其运算律； 教学难点：向量共线定理的探究及其应用。 教具 智慧中小学平台 ppt 课前学习任务 同步练习册P12问题式预习,P15问题式预习 教学 过 程 （一）【情景引入】 问题：一只兔子向东1秒的位移对应的向量为，那么它在同一方向上按照相同的速度行走 3秒的位移对应的向量怎样表示？是3吗？兔子在相反方向上按照相同的速度行走3秒的位移对应的向量又怎样表示？是−3吗? 你能用图形表示吗？ 知识探究（一）： 已知非零向量，作出++和(−)+(−)+(−). 问题： 1.相加后，和的长度和方向有什么变化？ 2.这些变化与那些因素有关？ 学生：思考讨论. 教师：如图，=++=++，类比数的乘法，可知=++=3.显然3的方向与的方向相同，3的长度是的长度的3倍，即|3|=3||；. 类似地，=++=(−)+(−)+(−)，同类可知=(−)+(−)+(−)=−3.显然−3的方向与的方向相反，−3的长度是的长度的3倍，即|−3|=3||. （二）【新课讲解】 1.实数与向量的积的定义： 一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作， 它的长度与方向规定如下： （1）||=||||； （2）当>0时，的方向与的方向相同；当<0时，的方向与的方向相反. 由（1）可知，当时，. 由（1）（2）可知，. 教师：如果把非零向量的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量，向量该如何表示?向量，之间的关系是怎样的? 学生：=3.5，向量与向量的方向相同，向量的模是向量的模的3.5倍. 知识探究（二）：向量共线定理 教师：引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗? 学生：实数与向量的积与原向量共线. 事实上，对于向量，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线. 反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有. 综上，有如下定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使=. 根据这一定理，设非零向量位于直线L上，那么对于直线L上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 知识探究（三）：数乘运算的运算律 教师：设为非零向量，求作向量3(2)和6并进行比较；求作向量(2+3)和2+3并进行比较；求作向量与向量并进行比较，结果相等吗?（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）. 学生：3(2)=6,(2+3)=2+3，=. 根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的. 设，为实数，那么： （1） （结合律） ；　 （2） （第一分配律）；　 （3）. （第二分配律）。 教师：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.对于任意向量,，以及任意实数，，，恒有(±)＝+ 例题讲解： 例1.计算 （1）； （2）； （3） 解析 (1) 原式； (2)原式； (3) 原式 方法归纳：向量的线性运算类似于代数多项式的运算，主要是“合并同类项” “整理系数”. 例2：如图C, 点 A是边BC的中点，点D是线段OB靠近B 的一个三等分点，， DC和OA交于点E，设，． （1）用和表示向量，； （2）若，求证：C、D、E三点共线． （3）若向量与共线，求m的值． 解：； ． （2）分析：证明三点共线，只要证其中一点在另外两点所确定的直线上即可。本题中，应该用向量知识证明C,D,E三点共线，可以先证明三点中的任意两点确定的两个向量（比如 ）共线，再说明这两个向量共点即可。证明 共线，即证是否存在λ，使得 解：由（1）知 又DE与DC有公共点D，因此C、D、E三点共线. （3）由Ⅰ，得， 与共线,设， 即， 整理得: . 板书设计 §6.2.3 向量的数乘运算 1.向量的数乘； 例1. 例2.（1） （2） （3） 2.向量数乘的运算律； 3.向量共线定理. 课后作业布置 1.习题6.2第8题 2.素养评价 教学反思 课题 6.2.4向量的数量积 课时安排 2 年级 科目 主备人 教学目标 （核心素养目标） 学习目标： 1、理解平面向量数量积的定义 2、明确其物理背景和几何意义 3、能够熟练运用平面向量数量积进行计算 核心素养： 通过对平面向量数量积定义的探究过程，培养学生的观察、分析、归纳和抽象概括能力。在运用数量积解决问题的过程中，提高学生的逻辑推理能力和运算求解能力；让学生体会数学与物理等学科的紧密联系，感受数学的应用价值；培养学生的合作交流意识和探索精神。 学情分析 学生已经在前面对平面向量的实际背景与概念、向量的几何表示有了基本的理解，并对向量的加法运算、向量的减法运算和向量的数乘有了基本的掌握，为本节课积累了足够多的知识；通过前面的学习也基本建立了合作探究意识，为本节课的学习提供了认识准备。 教材分析 重难点 教学重点 理解平面向量数量积的定义及几何意义 教学难点 1、平面向量数量积定义的深度理解与应用 运用平面向量数量积解决复杂的实际问题 教具 智慧中小学平台 ppt 课前学习任务 同步练习册P18问题式预习 教学 过 程 教学 环节 主要教学活动 设计 意图 创设 问题 情境 引出 新课 前面我们类比实数学习了向量，类比实数的加法学习了向量的加法，类比实数的减法学习了向量的减法，知道了向量加法、减法和数乘运算，统称为向量的线性运算．向量的加法运算是向量与向量相加的运算，结果是向量，向量的减法运算是向量与向量相减的运算，结果仍是向量，向量的数乘运算可以看作是实数与向量相乘的运算，结果也是向量，自然我们会类比实数的乘法提出问题：向量与向量能否相乘呢？相乘的结果还是向量吗？ 激发学生探究新知的兴趣， 引出新课． 探究向量 数量 积的 概念 问题1：回顾之前学习向量线性运算的过程，我们都是按照怎样的路径学习的？ 物理模型→概念→性质→运算律→应用． 问题2：物理知识中，有没有关于两个矢量相乘的背景? 一起回顾物理中学过的功的概念： 如图所示，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的的功为 , 其中是F与s的夹角． 观察这个公式的特点， 等号左边的W（功）是标量，等号右边的力F和位移s都是矢量． 问题3：功是一个标量，由力和位移两个向量来确定，能否把“功”看成两个“向量”相乘的结果呢？受此启发，要定义向量的乘法，我们需要先定义什么？ 观察力做功的计算公式，其中除了涉及力和位移两个向量，还涉及力与位移的夹角，所以我们先定义向量夹角． 已知两个非零向量，，O是平面上的任意一点，作， ，则 叫做向量与的夹角． 注意：向量夹角遵循“同起点”原则. 思考 如图，在中，你能指出向量与的夹角吗？向量与的夹角呢？ 向量与的夹角为， 向量与的夹角为. 问题4：根据以往的学习经验，两个向量有哪些特殊的位置关系？这些特殊的位置关系时，两个向量的夹角是什么？ （1）当向量与同向时，，当时，向量与同向； （2）当向量与反向时，，当时，向量与反向； （3）当向量与垂直时，，反之，若，则向量与垂直，记作． 定义向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积（inner product）），记作，即 ． 对定义进行说明： （1）首先注意：“”中间的“· ”不可以省略，也不可以用“ ”代替； （2）“规定”：零向量与任何向量的数量积为零． 问题5：对比向量的加减法，两个非零向量的数量积是向量还是数量？它与哪些量有关？数量积运算结果的符号由什么决定？ （1）两个向量的数量积是数量，而不是向量； （2）这个数量的大小与两个向量的长度及夹角有关. ； ； ． 通过物理中功的模型引出向量夹角概念及向量数量积概念． 例题 讲解 巩固 新知 例1 已知，，与的夹角，求. 解： . 例2 已知，，，求与的夹角. 解：由得 . 因为，所以. 注意：（1）求向量夹角时，注意夹角范围； （2）已知，，，中任意三个量，可求另外一个量. 通过例题，巩固加深对数量积定义的理解，在知三求一过程中体会方程思想． 深化理解定义 探究投影向量的表示 问题6：我们在研究力F所做的功W时得到，力F在位移方向上的分力对功W起到最关键的作用，如何做力F在位移方向上的分力? 找力在位移方向的分力的过程抽象成数学问题就是通过投影找投影向量的过程，接下一起认识向量投影和投影向量． 如图1，设,是两个非零向量，，,我们考虑如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，向量叫做向量在向量上的投影向量. 如图2，我们可以在平面内任取一点O，作，，过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量. 图1 图2 追问1:投影向量是向量，它的大小和方向如何表示呢？ 数乘运算中得到如下结论：任一向量都可表示为它的模与它同方向的单位向量的乘积： =| | （是与同向的单位向量）. 追问2：投影向量有类似结论吗？ 问题7：如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与，，之间有怎样的关系？ 显然，与共线，于是 . 下面我们探究与，的关系，进而给出的明确表达式. 我们分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论. 当为锐角时，与方向相同，， ，所以 ； 当为直角时，，所以 ； 当为钝角时，与方向相反，，所以 ， 即. 当时，，所以 ； 当时，，所以 ； 从以上的讨论可知，对于任意的，都有 . 借助力做功模型，引出向量投影与投影向量的概念，通过分类讨论，探究投影向量的明确表达式，加深对投影向量意义的理解. 探究向量的数量积的性质 在探究投影向量的表达式时，我们发现当两个非零向量处于特殊位置关系时，投影向量也具有特殊性，那它们的数量积又有怎样的特殊性？ 问题8：当向量特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 特殊向量：零向量、单位向量. 零向量与任一向量的数量积为0. 追问：设为任一非零向量， 是单位向量，与的数量积有怎样的特殊性？ . 证明：因为； ； 所以. 此性质体现了单位向量与任一向量数量积的可交换性. 问题9：当两向量的位置关系特殊时，它们的数量积有怎样的特殊性？ 设，是非零向量，它们的夹角是，若与垂直，它们的数量积有怎样的特殊性？ . 证明：当向量时，， ， 所以. 反之当时，由于， 则， ，因此. 设，是非零向量，它们的夹角是，若与共线，它们的数量积有怎样的特殊性？ 当与同向时，； 当与反向时，. 特别地，或. 问题10：设，是非零向量，与有怎样的大小关系？ 由可以得到. 证明：由数量积的定义， 可以导出， 由于， 即， 所以. 通过对特殊向量及向量特殊位置关系时数量积的探究，总结向量数量积的性质，深化理解向量的数量积. 总结 1．向量与的夹角； 2．向量与的数量积； 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量的数量积（或内积（inner product）），记作，即 ． 3．向量在向量上的投影向量：； （是与方向相同的单位向量） 4．数量积的重要性质： 设,是非零向量，它们的夹角是，是与方向相同的单位向量，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，； 当与反向时，. 特别地，或； 此外，由还可以得到 （4）. 对本节课知识进行总结回顾，构建向量数量积的知识体系. 板书设计 课后作业布置 1.习题6.2 第11题 2.素养评价 教学反思 / 学科网（北京）股份有限公司 $