四川攀枝花市2025-2026学年上学期教学质量监测样卷高二数学

2025-2026学年度(上)教学质量监测卷 高二数学 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1．已知直线在x轴上的截距为1,则k=( ) A. B.1 C. D.2 2．已知平面、的法向量分别为、,若,则( ) A. B.4 C. D.5 3.数列1,,,,…的第6项是( ) A. B. C. D. 4．已知,两点,以线段为直径的圆的标准方程是( ) A. B. C. D. 5.如图,在直三棱柱中,,,,则直线与平面所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. 6．直线与圆交于,两点,则的最小值为 A. B.2 C. D.4 7.长度为1,3,7,9,()的5条线段,它们长度的平均数与中位数相同．现从中任取3条线段,则这3条线段能构成一个三角形的概率为( ) A. B. C. D. 8.设是双曲线:的右焦点,为坐标原点,过的直线交双曲线的右支于点,直线PO交双曲线于另一点,若,且,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 9.下列说法中正确的是( ) A.若事件与事件是互斥事件,则 B.若事件与事件是对立事件,则 C.某人打靶时连续射击三次,则事件“至少两次中靶”与事件“至多一次中靶”是对立事件 D.把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人,每人分得1张,则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件 10.设等差数列的前项和为,,公差为,,,则( ) A. B.当时,取得最大值 C. D.使得成立的最大自然数是9 11.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合,点,为抛物线上异于原点的两个动点,且,作交直线于点,则( ) A.当直线的斜率为2时,线段的中点在直线上 B.直线恒过定点 C.存在一个定点,使得为定值 D. 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.假设,,且,相互独立,则____________. 13.如图,二面角的棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱.若二面角的平面角为,且,,,则___________. 14.在平面直角坐标系中,和分别是与x轴和y轴方向相同的单位向量,向量满足,向量满足,则的最大值为_________________. 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.(13分) 已知数列中,,.数列的前项和为,且. (1)求数列,的通项公式; (2)设,求数列的前n项和. 16.(15分) 已知双曲线:()过点(2,1),渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程; (2)若直线与双曲线交于两点,且,求的值. 17.(15分) 某校对高二上学期期中数学考试成绩(单位：分)进行分析,随机抽取100名学生,将他们的分数按照[30,50),[50,70),[70,90),[90,110),[110,130),[130,150]分成6组,制成了如图所示的频率分布直方图. (1)估计该校高二上学期期中数学考试成绩的平均分; (2)估计该校高二上学期期中数学考试成绩的第80百分位数; (3)为进一步了解学生对数学科学习的情况,在分数为和的两组中,用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生,再从这5名学生中随机抽取2名学生进行问卷调查,求抽取的这2名学生中至少有1名学生数学考试成绩在内的概率. 18.(17分) 如图,在矩形ABCD中,,,为AB的中点,将△ADE沿直线DE折起到△DE,使得平面DE⊥平面,连接B,C,CE. (1)求证:平面平面; (2)求平面与平面夹角的余弦值; (3)点,C,D,E均在球G的球面上,求三棱锥的体积. 19.(17分) 设椭圆:的离心率为,上顶点为,右焦点为,且. (1)求椭圆C的方程; (2)设为椭圆上两个不同的动点(均不与重合). (i)若直线过点,求面积的最大值: (ii)若是的角平分线,试问直线是否过定点?若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由. 2025-2026学年度(上)教学质量监测卷 高二数学(参考答案) 一、单项选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 C B A D A C B C 二、多项选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分．在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分． 题号 9 10 11 选项 ABC AB ACD 三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分． 12． 13． 14． 四、解答题：本题共5小题,共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分) 解：(1)由知：, ∴数列是以为首项,以为公差的等差数列.……………………2分 ∴.……………………4分 , 当时,.……………………6分 又当时,也满足上式.……………………7分 数列的通项公式为.……………………8分 (2)由(1)知：.……………………10分 故.………………11分 所以.………………13分 16．(15分) 解：(1)由题设可知.……………………2分 解得,故双曲线的标准方程为.……………………5分 (2)设,,由题可知 联立.……………………7分 所以.……………………9分 所以 .………………………………12分 令,化简得,解得或.……………………14分 所以或.……………………15分 17．(15分) 解：(1)由, 解得.……………………2分 数学成绩在各组的频率为：,,,,,.……………………4分 故样本中数学成绩的平均值为：, 据此可以估计该校高二上学期期中数学考试成绩的平均分为分.……………………5分 (2)由(1)知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为, 在分以下所占比例为.……………………7分 因此,第百分位数一定位于内,由. 据此可以估计该校高二上学期期中数学考试成绩第百分位数约为分.……………………9分 (3)由题意可知,分数段的人数为 (人), 分数段的人数为 (人) .……………………10分 用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生,则需在分数段内抽人,分别记为,,需在分数段内抽人,分别记为,,.……………………12分 设“抽取的这名学生中至少有名学生数学考试成绩在内”为事件, 则样本空间共包含个样本点 而事件的包含个样本点.……………………14分 所以.……………………15分 18．(17分) (1)证明：法一：∵,则 ∴.……………………2分 ∵平面平面,且交线为 ∴平面.……………………4分 ∵平面 ∴平面平面.……………………6分 法二：取中点,连接, ∵ ∴.……………………1分 ∵平面平面,且交线为 ∴平面 ∴.……………………3分 ∵,则 ∴ ∵平面, ∴平面.……………………5分 ∵平面 ∴平面平面.……………………6分 (2)解：由(1)知,平面,取中点,连接, 则,从而. 以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.……………………7分 则,,, 所以,, 设平面的法向量为, 则,可取.……………9分 设平面的法向量为, 则,可取.………………11分 故. 所以平面与平面夹角的余弦值为.……………………12分 (3)由(2)及为等腰直角三角形,可知球心在直线上, 又由为等腰直角三角形,可知球心在过点且垂直于平面的直线上, 故球心在点.……………………15分(通过计算距离相等求解相应给分) 所以 .……………………17分 19．(17分) 解：(1)由题可知,所以.……………………2分 解得,故椭圆的方程为.……………………4分 (2)(ⅰ)设直线的方程为, 由,消去得. 设,则有.……………………6分 所以 当且仅当,即时,.……………………8分 所以的面积.……………………9分 (ⅱ)设,则 因为直线的斜率必存在,所以直线,即.……………11分 设到直线与的距离均是,则.……………………12分 平方得, 又由于,故. 整理得, 即点在直线上.……………………14分 同理：点也在直线上 故直线的方程为.……………………15分 将其按照参数进行整理：.……………………16分 令,解得,从而定点坐标为.……………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $