8.2 特殊的平行四边形（2）----矩形（2）课件2025-2026学年苏科版八年级数学下册

执教： 张二平 苏科版八年级数学下册 8.2 特殊的平行四边形（2）----矩形（2） 学习目标 1、掌握四边形是矩形的条件，进一步获得判定矩形的方法，积累经验， 形成解决问题的能力。 2、经历矩形的判定方法的探索过程，初步掌握说理的基本方法， 发展有条理表达的能力。 3、通过设置问题情境，丰富学生的生活经验，激发学生学习数学 应用数学的兴趣和意识。 学习重点：探索四边形是矩形的条件及矩形判定方法的应用。 学习难点：探索四边形是矩形的条件及矩形判定方法的应用。 一、情境引入： 问题： 矩形的四个角都是直角，对角线相等，反过来， 一个四边形满足哪些条件就一定是矩形呢? 你认为矩形还有 其他判定方法吗？ 有一个角直角的平行四边形是矩形，矩形的定义既是矩形的性质， 也是矩形的判定方法。 3 二、新知探索： 问题：四个角都是直角的四边形是矩形吗? 如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D=90°， 可得∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°， 于是AD//BC,AB//DC，而∠A=90°， 所以四边形ABCD是矩形。 小结： 矩形的判定定理1： 三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 4 问题： 对角线相等的平行四边形一定是矩形吗? 观察下图可以发现，在对角线相等时，平行四边形看上去像是矩形。 如图，在□ABCD中，AC=DB， 由AB=DC，BC=CB，,AC=DB, 可得△ABC≌△DCB，于是∠ABC=∠DCB. 又因为AB//CD,所以∠ABC+∠DCB=180°， 所以∠ABC=90°。所以□ABCD是矩形。 小结： 矩形的判定定理2： 对角线相等的平行四边形是矩形 几何语言： 如图，在□ABCD中，∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形。 5 讨论： 如图，11//l2，A，D是l1上的任意两点，AB⊥l2，DC⊥l2， 垂足分别为B，C。线段AB，DC相等吗?为什么? 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离叫作两条平行线之间的距离。 两条平行线间的距离处处相等。 6 试一试： 1.如图，a∥b,下列线段的长度是a,b之间的距离的是 (　　) A.AB B.AE C.EF D.BC 2.下列给出的条件中不能判定一个四边形是矩形的是 (　　) A.一组对边平行且相等,一个角是直角 B.对角线互相平分且相等 C.有三个角是直角 D.一组对边平行,另一组对边相等,且对角线相等 C D 7 二、例题讲解 例1、已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，DE、DF分别是△BDC、△ADC的角平分线，求证：四边形DECF是矩形。 证明：∵∠ACB=90°,D是AB的中点， ∴CD= AB=DA=DB. ∵DF平分∠ADC，∴DF⊥AC, 即∠DFC=90°.同理可得DEC=90°. ∴四边形DECF是矩形(矩形的判定定理1). 例2、如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,E，F是对角线AC上的两个动点，分别从A，C两点同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为ts,0≤t≤5. (1)AE= ,EF= (用含t的代数式表示)； (2)若G，H分别是AB,DC的中点，连接GE,GF,FH,HE, 求证:四边形 EGFH是平行四边形； (3)在(2)的条件下，当t为何值时，四边形EGFH为矩形? t 5-2t(0≤t≤2.5)或2t一5(2.5<t≤5） (3)如图,连接GH.由(1)(2),得四边形EGFH是平行四边形, EF=5一2t 或2t一5.∵ G，H分别是矩形ABCD 的边AB,DC 的中点，所以易得GH=BC=4.要使平行四边形EGFH 是矩形,则EF=GH=4. (2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD，AB//CD, 即∠GAF=∠HCE.∵G,H分别是AB,DC的中点, ∴AG=AB,CH=CD，即AG=CH.∵AE=CF, ∴AE+EF=CF+EF(或 AE-EF=CF-EF),即 AF=CE. ∴△AFG≌△CEH(SAS).∴∠AFG=∠CEH,GF=HE.∴GF//HE. ∴四边形EGFH是平行四边形. 分类讨论如下: ①当0≤t≤2.5 时,EF=5一2t,所以5一2t=4,解得t=0.5； ②当2.5<t≤5时,EF=2t一5,所以2t一5=4，解得t=4.5. 综上，当t=0.5或4.5时，四边形EGFH为矩形. 9 1、如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求 （即门框是否为矩形），在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC、BD的长度，然后看它们是否相等的就可判断了。 （1）当AC BD（填“等于”或“不等于”）时，门框符合要求； （2）这种做法的根据是 。 三、基础强化： = 对角线相等的平行四边形是矩形 2、已知平面直角坐标系中的四点A(0，0)， B(4,0),C(4,2),D(0,2),直线y=mx-m+2 将四边形ABCD分成面积相等的两部分， 则m的值为 。 3、如图,在△ABC 中,AB=6,AC=8,BC=10,P为边BC上一动点(且点P不与B,C两点重合)，PE上AB于点E,PF⊥AC于点F,连接EF,M为EF的中点, 连接AM.设AM的长为x，则x的取值范围为 。 1=2m-m+2,m=-1 E(2,1) -1 AP≥AD且AP＜AC 2.4≤x＜4 AD⊥BC AD=4.8 2x≥4.8且2x＜8 11 4、如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，垂足为E，点F在CD上， 且CF=AE.求证：四边形DEBF是矩形. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=DC,AB∥DC. ∵AE=CF,∴AB-AE=DC-CF, 即DF=EB.又∵AB∥DC, ∴四边形DEBF是平行四边形. ∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°, ∴四边形DEBF为矩形. 12 5、如图，已知平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，P是四边形外一点， 且∠APC＝∠BPD＝90°，求证：四边形ABCD是矩形。 证明：连接OP， ∵平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O， ∴OA=OC, OB=OD ∵∠APC＝∠BPD＝90°， ∴OP= AC, OP= BD. ∴AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形。 四、拓展提高： 如图.在△ABC中，∠ABC=90°，0是AC的中点,延长BO至点D.使OD=OB.连接AD.CD,记AB=a.BC=b.△AOB的周长为l1.△BOC的周长为12.四边形 ABCD的周长为13. (1)求证:四边形ABCD是矩形； (2)若12一11=2，13=28.求AC的长. 14 1、矩形的判定定理1： 五、总结反思： 几何语言：如图，在四边形ABCD中， ∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴四边形ABCD是矩形. 三个角是直角的四边形是矩形。 2、矩形的判定定理2： 几何语言：如图，在□ABCD中，∵AC=BD,那么四边形ABCD是矩形。 对角线相等的平行四边形是矩形 15 六、达标检测： 1、下列说法正确的是 （　 　） A、有一个角是直角的四边形是矩形 B、有一组对边平行，有一个内角是直角的四边形是矩形 C、两条对角线相等的四边形是矩形 D、两组对角分别相等，且有一个角是直角的四边形是矩形 2、对于四边形ABCD，给出下列4组条件： ①∠A＝∠B＝∠C＝∠D； ②∠A＝90°，∠B＝∠C＝∠D； ③∠A＝∠B＝90°，∠C＝∠D； ④∠A＝∠B＝∠C＝90°. 其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有 （　 ） A、1组　　 B、2组　　 C、3组　 　D、4组 D D 16 3、如图，已知l1∥l2. (1)△ABC与△BCD的面积相等吗？为什么？ (2)你还能画出一个与△ABC面积相等的三角形吗？ $