27.2.3 相似三角形应用举例 同步练 2025--2026学年人教版九年级数学下册

第二十七章 相似 27.2 相似三角形 27.2.3 相似三角形应用举例 第1 课时 相似三角形应用举例(一) 易错点睛 (教材 改编)如图，三角尺在灯泡O 的照射下在墙上形成影子，若OA=20cm,OA'=50cm,，则这个三角尺的面积与它在墙上所形成影子图形的面积之比是 . 【点睛】先求相似比，进而可以得出面积比. A 基础题夯实 知识点1 利用影长、成像测量长度 1.如图，小张在测量旗杆的高度时发现，自己在操场上的影长EF 恰好等于自己的身高DE.此时，小组同学测得旗杆AB 的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为 m. 2.如图是幻灯机的工作原理图，其中幻灯片与屏幕平行，光源到幻灯片的距离是20cm，幻灯片与屏幕间的距离是1.8m，幻灯片上的图案的高度是8cm，屏幕上图案的高度是() A.80 cm B.8m C.72 cm D.7.2m 3.如图，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8m,，窗户下檐距地面的距离BC=1m ,EC=1.2m,则窗户的高AB 为 m. 知识点2 利用相似测量长度 4.如图,A,B 两点被池塘隔开,在AB 外任选一点C,连接AC,BC,分别在AC,BC上取点M,N,使AM=2MC,BN=2NC,量得MN=18m,,则AB 的长为 m. 5.如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳(两条尺长AC 和BD 相等)可测量零件的内孔直径AB.如果(OA:OC=OB:OD=3,，且量得(CD=3cm,,则x的值为 cm. 6.如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150cm，阻力臂(OB=50cm,BD=20cm,则AC的长度是 cm. B中档题运用 7.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法.如图，燃烧的蜡烛(竖直放置)AB 经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A'B',设AB=36cm,A'B'=24cm,,小孔O到AB 的距离为30cm,则小孔O到A'B'的距离为 cm. 8.如图，阳光通过窗口照射到室内(太阳光线是平行光线)，在地面上留下2.7m宽的亮区，若亮区到窗口下墙脚的距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m.求窗口底边离地面的高BC 的长. 9.如图，有座塔在河流北岸的点 E 处，一棵树位于河流南岸的点 A 处，从点 A 处开始，在河流南岸立4 根标杆，以这4根标杆为顶点，组成边长为10m的正方形ABCD，且A，D，E 三点在一条直线上，在标杆 B 处观察塔E，视线 BE 与边 DC 相交于点F，测得FC=4m..求塔与树的距离. C 综合题探究 10.如图，纪念碑AB 位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A 的影子落在点D 处，同一时刻，竖直放置的标杆DE 顶端E 的影子落在点 F 处，位于点 M 处的观测者眼睛所在位置为点N，点N，E，A在一条直线上，点F，M，D，C在同一水平线上，纪念碑底部点 B 在观测者的水平视线上，测得DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MN=1.2m .求纪念碑AB 的高度. 第2课时 相似三角形应用举例(二) 易错点睛 如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边 DF 保持水平，并且边 DE 与点B在同一直线上.已知纸板的两条直角边 DE=40cm，EF=20cm，测得边 DF 离地面的高度AC=1.5m,CD=8m,则树高AB 为 m. 【点睛】注意对应边不要搞错，不要忘了加AC. A基础题夯实 知识点 借助标杆或镜面反射测量物体高度 1.如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m ,测得AB=1m,BC=9 m,则建筑物CD 的高是 m. 2.如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板 DEF 来测量操场旗杆AB 的高度，他们通过调整测量位置，使斜边 DF 与地面保持平行，并使边 DE 与旗杆顶端A 在同一直线上.已知DE=0.5m,EF=0.25m,目测点 D 到地面的距离DG=1.5m ,到旗杆的水平距离DC=20m,则旗杆的高度为 m. 3.如图，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在 D 点立一根高2m 的标杆CD，现测量者从E 处可以看到杆顶C与树顶A 在同一直线上.如果测得 BD=20m,FD=4m,EF=1.8m,则树AB 的高度为 m. 4.在数学综合与实践活动课上，小南提出利用现有的小尺来测量学校旗杆的高度.如图，小南把手臂水平向前伸直，手持小尺保持竖直，瞄准小尺的两端E，F，不断调整站立的位置，使站在点 D 处正好看到旗杆的底部A 和顶部B，如果小南的手臂长l=50cm,，小尺的长a=15cm,点 D 到旗杆底部的距离AD=40m,则旗杆的高度为 m. 5.如图，已知小明身高1.6米，他测得C地与树AB 相距10米，在C 处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB 的顶端A.求树AB 的高度.(结果保留整数) B中档题运用 6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示，在某一时刻，他们在阳光下,分别测得该建筑物OB 的影长OC 为16 m,OA 的影长OD 为20m,小明的影长 FG为2.4m ,其中O,C,D,F,G五点在同一直线上,A,B,O三点在同一直线上,且 已知小明的身高EF 为1.8m，求旗杆的高AB. 7.如图所示，小明欲测量一座古塔的高度，他拿来一根竹竿竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹竿的顶端刚好看到塔顶.若小明眼睛离地面1.6m，竹竿顶端离地面2.4m，小明到竹竿的距离DF=2m，竹竿到塔底的距离DB=33m,，求这座古塔的高度. C 综合题探究 8.如图，AB 和CD 为两个同高的晾衣柱，AB 高2.2m，一无弹性的绳子一端系在A 点，另一端P 系在柱子CD上(不计绳结的长度)，现有一裤子晾在上面，已知挂钩挂在绳子的O 点处，竖直方向上O点到裤子最下方的距离为1m，绳子长度为2.5m ，两个柱子间距BD=2m,，某位同学通过课外物理知识对图中衣服进行受力分析，并且得到一个结论： ，为了保证裤子不沾地，求点 P 离地面的距离至少为多少米? 第1课时 相似三角形应用举例(一) 易错点睛 4:25 基础题夯实 1.11.3 2. A 3.1.5 4.54 5.0.5 6.60 中档题运用 7.20 8.解:∵AE∥BD, ∴△AEC∽△BDC, 即 ∴BC=4. 即窗口底边离地面的高 BC 的长为4m. 9.解:∵四边形ABCD 为正方形, ∴AD=CD=BC=10, FD=CD-CF=6, ∵DF∥AB, ∴△EDF∽△EAB, ∴AE=25. 答:塔与树的距离AE 为25 m. 综合题探究 10.解:令 BN 与 DE 的交点为 H,则四边形 BCDH 和 MNHD 是矩形,由题意,CD=BH,BC= DH =MN=1.2,NH=DM=1, ∴EH=DE-DH=0.9, 设AB=x m,则AC=AB+BC=1.2+x, ∴BH=CD=1.2+x, ∴NB=BH+NH=2.2+x, ∵EH∥AB, ∴△NEH∽△NAB, 解得x=19.8. 答:纪念碑AB 的高度为19.8 m. 第2课时 相似三角形应用举例(二) 易错点睛 5.5 基础题夯实 1.15 2.11.5 3.3 4.12 5.解:由题意得:CE=2,BC=10,DE=1.6,∠E=∠B=90°,∠DCE=∠ACB, ∴△ABC∽△DEC, 即 解得AB=8. 答：树AB 的高度为8米. 中档题运用 6.解:∵AD∥EG, ∴∠ADO=∠EGF, ∵∠AOD=∠EFG=90°, ∴△AOD∽△EFG, 即 ∴AO=15, 同理得△BOC∽△AOD, 即 ∴BO=12, ∴AB=AO-BO=3. 答:旗杆的高AB 是3m. 7.解：∵小明、竹竿、古塔均与地面垂直,EH⊥AB, ∴BH=DG=EF=1.6m ,EG=DF=2m,GH=DB=33m. ∵小明眼睛离地面1.6m，竹杆顶端离地面2.4m, ∴CG=CD-EF=2.4-1.6=0.8(m). ∵CD∥AB, ∴△EHA∽△EGC, 即 解得AH=14. ∴AB=AH+BH=14+1.6=15.6(m), ∴古塔的高度是15.6m. 综合题探究 8.解:过点O作EF∥BD,分别交 AB,CD 于点E,F. 依题意,∠B=∠D=90°, 由条件可知∠BEF=∠EFD=90°,∴EF=BD=2. 设AO= xm,EO= ym, ∴OP=2.5-x,OF=2-y, ∵∠BAO=∠OPD, ∠AEF=∠EFC=90°, ∴△AEO∽△PFO, 则 ∴x=1.25y，当保证裤子恰好沾地时,则AE=AB-EB=1.2, 在Rt△AEO中, ∵x=1.25y, ∴解得y=1.6, ∴PF=0.3, ∴1+0.3=1.3. 答：为了保证裤子不沾地，点P 离地面的距离至少为1.3m. 学科网（北京）股份有限公司 $