专题 1.2 二次根式的性质（知识梳理 + 题型精析 +中考真题）- 2025-2026学年浙教版八年级数学下册基础知识专项突破讲练

专题 1.2 二次根式的性质（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的性质（1） 1 ★【题型 1】利用二次根的性质（1）求值 1 【知识点二】二次根式的性质（2） 3 ★【题型 2】利用二次根的性质（2）求值 3 【知识点三】二次根式的性质（3） 4 ★【题型 3】利用二次根的性质（3）求值 5 【知识点四】最简二次根式 6 ★【题型 4】最简二次根式的识别 6 ★【题型 5】化为最简二次根式 8 ★【题型 6】利用最简二次根式求参数 9 ★★【题型 7】二次根式的性质综合 11 二.中考真题 13 （一）单选题（7题） 13 （二）填空题（3题） 16 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的性质（1） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 1】利用二次根的性质（1）求值 【例题1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求和的值． 【答案】， 【分析】先根据非负性求出a，b的值，再进行化简求值即可求解． 本题主要考查二次根式的非负性以及绝对值的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 解：由题意得，， 解得，， 则， 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，积的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质即可求解． 解：∵ = × ， ∴ 结果为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·假期作业） ； ； 【答案】 20 / 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 解：∵， ∴，． 故答案为20；． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点二】二次根式的性质（2） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 2】利用二次根的性质（2）求值 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）化简 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简以及去绝对值，熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题的关键．先根据完全平方公式将被开方数写成平方形式，然后再根据二次根式的性质去根号得到，最后去绝对值即可，注意分类讨论． 解：原式， 当时，原式， 当时，原式， 或． 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期末）当时，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 解：， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 解：∵， ∴ ． 【知识点三】二次根式的性质（3） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 3】利用二次根的性质（3）求值 【例题3】（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质将根号内的分数分解，再有理化分母即可． 解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·北京平谷·期中）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，化简 . 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 被开方数分子和分母同乘以，再利用二次根式的性质化简即可． 解：∵， 有意义， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【知识点四】最简二次根式 一般地，二次根式有下面的性质： 在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式.特别提示：二次根式化简的结果应为最简二次根式. ★【题型 4】最简二次根式的识别 【例题4】（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意； B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意； C：，含平方因子，非最简，不符合题意； D：含分母，非最简，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． ★【题型 5】化为最简二次根式 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）当时，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ★【题型 6】利用最简二次根式求参数 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【变式1】（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． ★★【题型 7】二次根式的性质综合 【例题7】（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． ∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． （1）解：由题意可得，， 验证： ， ∴正确； （2）由（1）中的规律可知， ∴， 验证：；正确． 二.中考真题 （一）单选题（7题） 1．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】D 【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 解：，∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 解：； 故选C． 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 7．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． （二）填空题（3题） 8．（2023·江苏南京·中考真题）计算： ； 【答案】 2 2 【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可． 解：，， 故答案为：2，2． 9．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 10．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 解： 将，，代入上式： 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 1.2 二次根式的性质（知识梳理+题型精析+中考真题） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】二次根式的性质（1） 1 ★【题型 1】利用二次根的性质（1）求值 1 【知识点二】二次根式的性质（2） 3 ★【题型 2】利用二次根的性质（2）求值 3 【知识点三】二次根式的性质（3） 4 ★【题型 3】利用二次根的性质（3）求值 5 【知识点四】最简二次根式 6 ★【题型 4】最简二次根式的识别 6 ★【题型 5】化为最简二次根式 8 ★【题型 6】利用最简二次根式求参数 9 ★★【题型 7】二次根式的性质综合 11 二.中考真题 13 （一）单选题（7题） 13 （二）填空题（3题） 16 一.知识梳理与题型精析 【题型】前带★表示基础题，带★★表示基础题，带★★★表示基础题 【知识点一】二次根式的性质（1） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 1】利用二次根的性质（1）求值 【例题1】（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）已知，求和的值． 【答案】， 【分析】先根据非负性求出a，b的值，再进行化简求值即可求解． 本题主要考查二次根式的非负性以及绝对值的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 解：由题意得，， 解得，， 则， 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）计算的结果是（   ） A．2026 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，积的乘方，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质即可求解． 解：∵ = × ， ∴ 结果为． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·浙江·假期作业） ； ； 【答案】 20 / 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 根据二次根式的性质化简即可． 解：∵， ∴，． 故答案为20；． 【变式3】（25-26八年级上·上海杨浦·月考） ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，整式的化简，根据二次根式有意义的条件求出，然后在此条件下简化绝对值表达式和化简二次根式，再合并同类项即可得到答案． 解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【知识点二】二次根式的性质（2） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 2】利用二次根的性质（2）求值 【例题2】（2025八年级上·北京·专题练习）化简 【答案】或 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的化简以及去绝对值，熟练掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题的关键．先根据完全平方公式将被开方数写成平方形式，然后再根据二次根式的性质去根号得到，最后去绝对值即可，注意分类讨论． 解：原式， 当时，原式， 当时，原式， 或． 【变式1】（25-26八年级上·四川广安·期末）当时，化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式性质的应用以及绝对值化简．先根据的取值范围判断的正负性，再利用二次根式的性质化为绝对值，去掉绝对值符号后合并同类项即可． 解：， ，， ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式性质． 根据二次根式的性质，逐项计算判断即可. 解： A、 ，计算错误，不符合题意； B、 ，计算正确，符合题意； C、 ，计算错误，不符合题意； D 、，计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3】（25-26八年级上·上海黄浦·月考）当时，化简： 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式性质，熟练掌握二次根式性质，是解题的关键．根据，然后再根据二次根式性质，进行计算即可． 解：∵， ∴ ． 【知识点三】二次根式的性质（3） 一般地，二次根式有下面的性质： ★【题型 3】利用二次根的性质（3）求值 【例题3】（25-26八年级上·上海普陀·月考）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，利用算术平方根的性质，将根式内的乘积分解为各因数的算术平方根的乘积，并根据条件 简化表达式． 解：因为 ，所以 ， 则， 故答案为 ． 【变式1】（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）化简：＝ ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，掌握知识点是解题的关键． 利用二次根式的性质将根号内的分数分解，再有理化分母即可． 解： ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·北京平谷·期中）已知，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可，掌握二次根式的性质是解题的关键． 解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）已知，化简 . 【答案】/ 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 被开方数分子和分母同乘以，再利用二次根式的性质化简即可． 解：∵， 有意义， ∴ ∴ ， 故答案为：． 【知识点四】最简二次根式 一般地，二次根式有下面的性质： 在根号内不含分母，不含开得尽方的因数或因式，这样的二次根式我们就说它是最简二次根式.特别提示：二次根式化简的结果应为最简二次根式. ★【题型 4】最简二次根式的识别 【例题4】（25-26八年级上·上海金山·月考）下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式， 最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一分析各选项解答即可． 解：∵ A：被开方数含分母，不是最简； B:，可开方，不是最简； C:，被开方数含平方因数，不是最简； D:被开方数无分母且无平方因数，是最简． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）在下列二次根式中，最简二次根式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，根据最简二次根式的概念逐项判断即可；本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解题的关键． 解：A：，含平方因子9，非最简，不符合题意； B：被开方数为多项式，无平方因子且不含分母，为最简二次根式，符合题意； C：，含平方因子，非最简，不符合题意； D：含分母，非最简，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是 （填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． ★【题型 5】化为最简二次根式 【例题5】（25-26八年级上·全国·课后作业）把下列二次根式化为最简二次根式： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）把32写成，然后化简； （2）分子分母都乘以，然后化简． （3）先把小数写成分数，然后分子分母都乘以，然后化简； （4）分子分母都乘以，然后化简． （1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1】（25-26八年级上·广东深圳·期中）若一个正方形的面积是18，则它的边长为（　　） A． B． C．6 D．9 【答案】A 【分析】本题考查的是利用平方根的含义解方程，化为最简二次根式，根据正方形面积公式，面积等于边长的平方，因此边长等于面积的算术平方根，计算并化简即可． 解：设边长为a， ∴，而， ∴， 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）将二次根式化为最简二次根式，结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法是解决本题的关键．直接利用二次根式的性质化简求出答案． 解：， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·上海闵行·月考）当时，化简： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式有意义的条件以及二次根式的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再结合的正负化简二次根式． 解：∵二次根式有意义， ∴ 又∵， ∴，，则， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ★【题型 6】利用最简二次根式求参数 【例题6】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次根式是最简二次根式． 可取的最小正整数是 ． 可取的最小整数是 ． 【答案】 2 【分析】（1）要找可取的最小正整数，需满足两个条件：一是被开方数，二是不含能开得尽方的因数。我们从最小的正整数开始代入验证； （2）要找可取的最小整数，只需保证被开方数 且不含能开得尽方的因数，我们从满足不等式的整数开始依次验证． 解：①正整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小正整数是． ②先解不等式，得 整数依次为 当时，，不是最简二次根式； 当时，，不含能开得尽方的因数，此时，是最简二次根式． ∴可取的最小整数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了最简二次根式的定义，解题关键是牢记最简二次根式的两个条件：被开方数非负，且不含能开得尽方的因数． 【变式1】（2025·河北石家庄·模拟预测）若，其中为最简二次根式，为有理数， ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式性质化简，涉及最简二次根式定义、利用二次根式性质化简等知识，先得到，再由最简二次根式定义及题意即可得到答案．熟记最简二次根式定义、利用二次根式性质化简是解决问题的关键． 解：， 若，其中为最简二次根式，为有理数，则， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·吉林松原·期中）若与最简二次根式可以合并，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 解：依题意得：， 解得：， 故答案为：． ★★【题型 7】二次根式的性质综合 【例题7】（25-26八年级上·江苏南京·月考）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2) 【分析】本题考查了算术平方根与立方根的计算，算术平方根的性质等知识；掌握这些知识是关键； （1）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可； （2）根据算术平方根、立方根、算术平方根的性质依次计算即可． （1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级上·浙江·假期作业）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握，是解题的关键． 先根据有意义求出x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简即可． ∵有意义， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·福建福州·期末）若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（25-26八年级上·全国·假期作业）观察下列各式及其验证过程： ， 验证：． ， 验证：． (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，直接写出用n（n≥2，且n为整数）表示的等式． 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． （1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． （1）解：由题意可得，， 验证： ， ∴正确； （2）由（1）中的规律可知， ∴， 验证：；正确． 二.中考真题 （一）单选题（7题） 1．（2023·山东潍坊·中考真题）在实数1，－1，0，中，最大的数是（    ） A．1 B．－1 C．0 D． 【答案】D 【分析】正数大于0，负数小于0，两个正数；较大数的算术平方根大于较小数的算术平方根． 解：，∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查实数的大小比较，二次根式的化简，掌握二次根式的性质公式是解题的关键． 2．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算所得结果是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可． 解：； 故选C． 3．（2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 解；A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选；B． 4．（2024·四川乐山·中考真题）已知，化简的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先根据化简二次根式，然后再根据去绝对值即可． 解：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 5．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则的化简结果是（    ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得，，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可． 解∶由数轴知∶，， ∴， ∴ ， 故选：A． 6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（    ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键． 解：∵， ∴， ，得：， ∴的平方根是； 故选：C． 7．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． （二）填空题（3题） 8．（2023·江苏南京·中考真题）计算： ； 【答案】 2 2 【分析】本题主要考查了实数的有关计算．根据绝对值的性质和二次根式的性质，进行计算即可． 解：，， 故答案为：2，2． 9．（2023·内蒙古·中考真题）实数在数轴上对应点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解． 由数轴位置可知， ． 【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质是关键． 10．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键． 解： 将，，代入上式： 故答案为：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $