第三章　函　数 课件 2026年中考数学一轮专题复习（广西）

该初中数学中考复习课件全面覆盖一次函数的图象与性质、解析式确定、图象变换、与方程不等式关系等核心考点。通过表格归纳象限分布、步骤拆解待定系数法、口诀总结平移规律，精准对接中考要求，分析高频考点权重，归纳选择填空及解答题常考题型，备考针对性强。 课件亮点在于中考真题训练与应试技巧指导，如2025湖北开放性设问、跨学科物理题，培养学生抽象能力和推理意识。通过待定系数法步骤解析、平移口诀“左加右减”应用等典型题型突破，帮助学生掌握答题技巧。教师可依此设计专题复习，助力学生高效冲刺中考，提升得分率。

第10节　一次函数 课时1　一次函数的图象与性质 数学 一次函数的图象与性质(掌握) 大致图象 y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0).特别地，当b＝0时，y＝kx(k是常数，k≠0)是正比例函数 k＞0 k＜0  b＞0 b＝0 b＜0 b＞0 b＝0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 ① 一、二、四 ② 二、三、四 一、三、四 二、四 k决定图象的倾斜方向和增减性 ①从左向右看图象呈上升趋势“/”；  ②y随x的增大而③______   ①从左向右看图象呈下降趋势“\”；    ②y随x的增大而④________ b决定图象与y轴的交点位置 交在正半轴 交在原点 交在负半轴 交在正半轴 交在原点 交在负半轴 与坐标轴的交点  与x轴的交点坐标为⑤__________；与y轴的交点坐标为⑥_________      增大 减小 (0，b) 一次函数解析式的确定(待定系数法)(理解) 步骤 一设 设一次函数的解析式为y＝kx＋b 找出函数图象上的两个点，代入y＝kx＋b中，得到二元一次方程组 解这个二元一次方程组，得到k，b的值 将所求待定系数k，b的值代入y＝kx＋b中即可 二列 三解 四还原 拓展 两条直线的位置关系：在同一平面直角坐标系中，已知直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2. (1)若两直线平行⇔k1＝k2且b1≠b2. (2)若两直线相交⇔k1≠k2. (3)若两直线互相垂直⇔k1·k2＝－1 一次函数图象的变换 原解析式 平移方式(m>0) 平移后解析式 口诀 提示 y＝kx＋b (k≠0) 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b   左加右减， 上加下减   左右平移时，只给x加减m；上下平移时，等号右边整体加减m  向右平移m个单位长度 ⑦_______________ 向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 向下平移m个单位长度 ⑧_______________ y＝k(x－m)＋b y＝kx＋b－m 1．一次函数图象的平移 2.一次函数图象的对称 变换前的解析式 对称变换方式 变换后的解析式 y＝kx＋b(k≠0) －y＝kx＋b―→y＝－kx－b  y＝－kx＋b    －y＝k(－x)＋b―→y＝kx－b  一次函数与方程(组)、不等式的关系 与一元一次 方程的关系 方程kx＋b＝0的解是y＝kx＋b的图象与⑨____轴交点(点A)的横坐标 与一次不等式的关系 kx＋b＞0是y＝kx＋b的图象位于x轴上方对应x的取值范围； kx＋b＜0是y＝kx＋b的图象位于x轴下方对应x的取值范围 x 与一次不等式的关系 k1x＋b1＞k2x＋b2是y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2图象上方时x的取值范围； k1x＋b1＜k2x＋b2是y＝k1x＋b1的图象在y＝k2x＋b2图象下方时x的取值范围 与二元一次方程组的关系(体验) 一次函数与坐标轴围成的三角形的面积 已知一次函数y＝kx－1经过点(2，3). (1)k的值为__________； (2)该函数图象经过第________________象限； (3)若点C(x1，y1)，D(x2，y2)在函数图象上，且y1<y2，则x1______x2(填“＞” “＝”或“＜”)； (4)点(－1，3)________(填“在”或“不在”)函数图象上； 2 一次函数的图象与性质 一、三、四 ＜ 不在 (5)若该一次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，则点A的坐标为_______，点B的坐标为____________； (6)将该一次函数图象向上平移3个单位长度，向左平移2个单位长度后，所得一次函数的解析式为______________； (7)若一次函数的图象关于x轴对称，则所得一次函数的解析式为______________； (8)不等式kx－1≥0的解集是__________； (9)若－3≤x≤1，则y的最大值为________． (0，－1) y＝2x＋6 y＝－2x＋1 1 1．(2025湖北)【开放性设问】已知一次函数y＝kx＋b，y随x的增大而增大．写出一个符合条件的k的值是__________________． 【变式】 (2025广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x<－1时，y的值可以是_________________(写出一个合理的值即可). 2．(2024湖北)【跨学科·物理】铁的密度为7.9 g/cm3，铁块的质量m(单位：g)与它的体积V(单位：cm3)之间的函数关系式为m＝7.9V，当V＝10 cm3时，m＝______g. 1(答案不唯一) 1(答案不唯一) 79 2(答案不唯一) 5．直线y＝kx＋b是由直线y＝－2x平移得到的，且经过点P(2，0)，则k＋b的值为________． 6．在平面直角坐标系中，将一次函数y＝2x－1的图象沿y轴向上平移3个单位长度，则得到新的一次函数的图象与y轴的交点坐标是__________． 2 一次函数图象的平移 (0，2) x＜3 一次函数与方程(组)、不等式(组)的关系 7．(2025潍坊改编)如图，一次函数y＝k1x＋b经过点A(0，4)，与x轴交于点B，与正比例函数y＝k2x交于点P(1，2)，则下列结论正确的是(  )   A.k1－k2>0 B．P为AB的中点 C．方程k1x＋b＝k2x的解是x＝2 D．当x<1时，k1x＋b＜k2x B 8．【跨学科·物理】电子体重秤原理是利用力传感器在置物平台上放上重物后，使表面发生形变而引发了内置电阻的形状变化，电阻的形变必然引发电阻值的变化，电阻值的变化又使内部电流发生变化产生了相应的电信号，电信号经过处理后就成了可视数字．简易电子秤制作方法：制作一个装有踏板(踏板质量忽略不计)的可变电阻R1，已知R1与踏板上人的质量m之间的函数关系式为R1＝km＋b(其中k，b为常数，0≤m≤120)，如图所示．下列说法不正确的是(  )   A.b＝240 B．可变电阻R1随着踏板上人的质量m的增加而减小 C．当踏板上人的质量m每增加10千克，可变电阻R1减小20欧 D．当可变电阻R1为90欧时，对应测得人的质量m为60千克 D (－ eq \f(b,k)，0) 一次方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(y＝k1x＋b1，,y＝k2x＋b2)))的解是y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的图象的交点(点B)的坐标，即 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝m，,y＝n))) 类型 有两边在坐标轴上 有一边在x轴上 有一边在y轴上 三边都不在坐标轴上 图示 面积 eq \a\vs4\al\co1(S△AOB＝\f(1,2)AO·BO＝,\f(1,2)|xA|·|yB|) eq \a\vs4\al\co1(S△ABC＝\f(1,2)BC·AD＝,\f(1,2)|xC－xB|·|yA|) eq \a\vs4\al\co1(S△ABC＝\f(1,2)BC·AD＝,\f(1,2)|yB－yC|·|xA|) S△ABC＝S△ABD＋SACD＝ eq \f(1,2)BE· AD＋ eq \f(1,2)CF·AD＝ eq \f(1,2)m·AD ( eq \f(1,2)，0) x≥ eq \f(1,2) 3．(2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是________________(写出一个即可). 4．(2025南充)已知直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则 eq \f(n,m)＋ eq \f(m,n)的值是__________． － eq \f(5,2) 已知一次函数y＝－3x＋b与x轴的交点为( eq \f(13,3)，0)，与一次函数y＝kx＋1的图象的交点为P(3，4)，如图所示． (1)一元一次方程－3x＋b＝0的解是____________； (2)关于x，y的方程组 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝－3x＋b，,y＝kx＋1))的解是___________； (3)不等式－3x＋b＞kx＋1的解集是__________． x＝ eq \f(13,3) eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(x＝3,y＝4))) $第13节　二次函数的实际应用 矩形面积问题的解题方法：设一边长为x，结合题意用含x的代数式表示出另一边，利用S矩形＝长×宽，即可得出S与x之间的函数关系式，化为顶点式即可求得面积最大值，注意自变量x的取值范围． 面积最值问题 1．(2024湖北)如图，某校劳动实践基地用总长为80 m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42 m，栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x(单位：m)，与墙平行的一边长为y(单位：m)，面积为S(单位：m2). (1)直接写出y与x，S与x之间的函数解析式(不要求写x的取值范围)； (2)矩形实验田的面积S能达到750 m2吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由； (3)当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？ 最大面积是多少？ 解：(1)∵2x＋y＝80，∴y＝－2x＋80，∵S＝xy，∴S＝x(－2x＋80)＝－2x2＋80x； (2)能．∵0＜y≤42，∴0＜－2x＋80≤42，∴19≤x＜40，当S＝750时，－2x2＋80x＝750，x2－40x＋375＝0，(x－25)(x－15)＝0，∴x1＝25，x2＝15(不合题意，舍去)，∴当x＝25时，矩形实验田的面积S能达到750 m2； (3)∵S＝－2x2＋80x＝－2(x－20)2＋800，∴当x＝20时，面积S最大，最大面积是800 m2. 【解题步骤】(1)选择合适的位置建立坐标系；(2)根据题中数据确定抛物线的解析式；(3)将实际问题转化为二次函数问题，并利用抛物线的对称性、增减性、与坐标轴交点等解决问题；(4)将二次函数的解转化为实际问题的解． 抛物线形问题 2．(2025武汉)某校数学小组开展以“羽毛球飞行路线”为主题的综合实践活动． 【研究背景】羽毛球飞行路线所在的平面与球网垂直． 【收集数据】某次羽毛球飞行的高度y(单位：m)与距发球点的水平距离x(单位：m)的对应值如下表(不考虑空气阻力). 水平距离x/m 竖直高度y/m 0 1.1 2 2.3 3 2.6 5 2.6 6 2.3 … … 【探索发现】数学小组借助计算机画图软件，建立平面直角坐标系、描点、连线(如图)，发现羽毛球飞行路线是抛物线y＝ax2＋bx＋1.1的一部分． 【建立模型】求y与x的函数解析式(不要求写自变量取值范围). 【应用模型】 (1)羽毛球在此次飞行过程中，飞行的高度能否达到2.8 m？请说明理由． (2)保持羽毛球飞行路线对应的抛物线的形状不变，改变发球方式，使其解析式变为y＝ax2＋kx＋1.1，发球点与球网的水平距离是5 m．若羽毛球飞过球网正上方时，飞行的高度超过2.1 m，且球的落地点与球网的水平距离小于6 m．求k的取值范围． 【解题思路】 (1)根据题意找出函数关系式，明确自变量x代表销售单价还是上涨(下降)的量； (2)通过配方法将函数关系式化为顶点式，再根据函数的增减性求得最大值(可画函数草图方便判断)； (3)若函数自变量x代表上涨(下降)的量，则根据顶点式求得x的最大值，最后再确定销售单价时注意找准基础量． 利润最值问题 第9节　平面直角坐标系与函数 平面直角坐标系中点的坐标特征(掌握) 各象限内 点的特征       点P(x，y)在第一象限⇔x①____0，y②____0； 点P(x，y)在第二象限⇔x③____0，y④____0； 点P(x，y)在第三象限⇔x⑤____0，y⑥____0； 点P(x，y)在第四象限⇔x⑦____0，y⑧____0 > > < > < < > < 坐标轴及各象限角平分线上的点的特征 与坐标轴平行的直线上的点           点P(x，y)在x轴上⇔⑨____＝0； 点P(x，y)在y轴上⇔⑩____＝0； 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑪_______； 第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑫____________ 注意：坐标轴上的点不属于任何象限 与x轴平行的直线上的点的⑬____坐标相等； 与y轴平行的直线上的点的⑭____坐标相等； 如图，a＝⑮____，b＝⑯_____ y x 相等 互为相反数 纵 横 x2 y1 平面直角坐标系中点的坐标变换 向右平移a个单位长度 向下平移b个单位长度 口诀：左右平移，横坐标左减右加；上下平移，上加下减 向左平移a个单位长度  向上平移b个单位长度 口诀：左右平移，横坐标左减右加；上下平移，上加下减 轴对称与 中心对称    口诀：关于谁对称谁不变，另一个变号；关于原点对称都变号 拓展：旋转90°    口诀：横纵坐标换位，顺时针后面变相反数，逆时针前面变相反数 平面直角坐标系中的距离及中点坐标 点P(x，y)到x轴、y轴、原点的距离 点A(x1，y1)，B(x2，y2)之间的距离       到x轴的距离为⑰____； 到y轴的距离为⑱____； 到原点的距离为⑲_________ 在x轴或平行于x轴的直线上的两点间的距离是⑳__________；  在y轴或平行于y轴的直线上的两点间的距离是㉑___________ |y| |x| |x1－x2| |y1－y2| 函数及其图象 函数的 相关概念 (了解) 函数的 相关概念 (了解) 函数的 相关概念 (了解) 常量与 变量 函数 函数值 在某一变化过程中，保持不变的量叫做常量，发生变化的量叫做变量 一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们称y是x 的函数，其中x是自变量，y是因变量 在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值 自变量的 取值范围 (掌握) 自变量的 取值范围 (掌握) 自变量的 取值范围 (掌握) 自变量的 取值范围 (掌握) 函数的表示方法(了解) 画函数图象 的步骤(掌握) 分式型 二次根式型 分式＋二次根式型 注意：在实际问题中，自变量的取值范围还要使实际问题有意义  列表法、关系式法、图象法． 注意：一般地，函数的三种表示方法可以相互转换 (1)列表；(2)描点，自变量能取端点值时，图象端点画实心圆点；自变量不能取端点值时，图象端点画空心圆圈；(3)连线(用平滑的曲线连接) 分母≠0 被开方数≥0 被开方数≥0且分母≠0 注意：在实际问题中，自变量的取值范围还要使实际问题有意义  列表法、关系式法、图象法． 注意：一般地，函数的三种表示方法可以相互转换 (1)列表；(2)描点，自变量能取端点值时，图象端点画实心圆点；自变量不能取端点值时，图象端点画空心圆圈；(3)连线(用平滑的曲线连接) 在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－2，3). (1)点A所在的象限为_____________，与x轴的距离为_______，与原点的距离为_______； (2)点A关于x轴对称的点的坐标为_______________，关于y轴对称的点的坐标为__________，关于原点对称的点的坐标为_____________； (3)点A向右平移4个单位长度得到的点坐标为_____________；点A向下平移2个单位长度得到的点坐标为_____________； 第二象限 平面直角坐标系中的点的坐标特征 3 (－2，－3) (2，3) (2，－3) (2，3) (－2，1) (4)(易错题)将点A绕原点旋转90°后，点A的坐标为______________________； (5)点P(2－m，m)是平面直角坐标系中一点． ①若AP∥x轴，则m＝_______；    ②若AP∥y轴，则m＝_______； ③若m<0，则点P在第_______象限；    ④若点P在y轴上，则m＝_______； ⑤若点P在第一、三象限的角平分线上，则m＝_______． (3，2)或(－3，－2) 3 4 四 2 1 1．(2025成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 2．(2024自贡)如图，在平面直角坐标系中，D(4，－2)，将Rt△OCD绕点O逆时针旋转90°到△OAB位置，则点B的坐标为( ) A.(2，4) B．(4，2) C．(－4，－2) D．(－2，4) A 3．(2025辽宁)在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(3，0)，点B的坐标为(2，－2)，将线段AB平移得到线段CD，点A的对应点C的坐标为(3，5)，则点B的对应点D的坐标为( ) A．(7，－2) B．(2，3) C．(2，－7) D．(－3，－2) B A 函数自变量的取值范围 x≠3 D 【方法指导】 1．分析函数图象 (1)找起点：明确图象的横、纵坐标代表的量，结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，在对应的图象中找对应点． (2)找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；若图象与坐标轴相交，此时有一个量为0. (3)判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向等；向上倾斜的直线或曲线，表示函数值随自变量的增大而增大；平行于x轴的直线表示函数值随自变量的增大而保持不变(常为休息)；向下倾斜的直线或曲线，表示函数值随自变量的增大而减小． 函数图象的分析与判断 (4)若有两个函数时，各个分段图象中，图象在上方的函数值大于图象在下方的函数值． 2．判断函数图象 (1)观察型问题：一般情况下，图象上没有数据，只需根据运动状态判断增减或水平即可； (2)计算型问题：先根据自变量的取值范围对函数进行分段，再求出每段函数的解析式，最后判断每段函数图象的形状． 5．(2025成都)小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家(小明家、书店、体育馆依次在同一直线上)，如图表示的是小明离家的距离与时间的关系．下列说法正确的是( ) A.小明家到体育馆的距离为2 km B．小明在体育馆锻炼的时间为45 min C．小明家到书店的距离为1 km D．小明从书店到家步行的时间为40 min C 6．(2025湖北)如图①，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4 cm，AB＝n cm.动点P，Q均以1 cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA向点A运动．当点Q运动到点A时，两点都停止运动．△PCQ的面积S(单位：cm2)与运动时间t(单位：s)的关系如图②所示．(1)m＝________；(2)n＝________． 8 12 A 第12节　二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质(掌握) h k 增大 减小 已知情况 顶点＋任意一点 对称轴＋最大(小)值＋任意一点 与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)＋任意一点坐标 任意三点坐标 选用解析式的形式  顶点式：y＝⑦________________  顶点式：y＝⑦________________ 交点式：y＝⑧___________________ 一般式：y＝ax2＋bx＋c a(x－h)2＋k a(x－x1)(x－x2) 二次函数解析式的确定(掌握) 平移前的解析式 平移后的 解析式 平移后的 解析式 平移后的 解析式 平移后的 解析式 技巧点拨 平移前的解析式 向左平移m个单位长度 向右平移m个单位长度 向上平移m个单位长度 向下平移m个单位长度 (1)二次函数图象平移前后a不变．  (2)二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移过程中，先把一般式化成顶点式，再按照平移规律平移 y＝a(x－h)2＋k(a≠0) y＝a(x－h⑨______)2＋k y＝a(x－h⑩______)2＋k y＝a(x－h)2＋k⑪_______ y＝a(x－h)2＋k⑫_______ (1)二次函数图象平移前后a不变．  (2)二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移过程中，先把一般式化成顶点式，再按照平移规律平移 口诀 左加右减自变量，上加下减常数项 左加右减自变量，上加下减常数项 左加右减自变量，上加下减常数项 左加右减自变量，上加下减常数项 (1)二次函数图象平移前后a不变．  (2)二次函数的解析式为一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的平移过程中，先把一般式化成顶点式，再按照平移规律平移 ＋m －m ＋m －m 二次函数图象的平移(掌握) 小 y 左 右 二次函数图象与系数a,b,c的关系(掌握) > 负 两 二次函数与一元二次方程 【数】求ax2＋bx＋c＝0的根，就是求二次函数y＝ax2＋bx＋c＝0时x的值． 【形】二次函数图象与x轴交点的横坐标 (1)当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个⑳_______的实数根． (2)当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点(即顶点在x轴上)，方程有两个㉑_______的实数根． (3)当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点，方程㉒____________  不相等 相等 无实数根 二次函数与一元二次方程、不等式、一次函数的关系(了解) 二次函数与 不等式 (1)不等式ax2＋bx＋c>0的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴上方对应点的横坐标的取值范围． (2)不等式ax2＋bx＋c<0的解集⇔二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象位于x轴下方对应点的横坐标的取值范围 两 一 没有 已知二次函数y＝2x2－4x－6. 【基本问题】 (1)将该函数化成y＝a(x－h)2＋k的形式为___________________； (2)该函数的图象开口向____，对称轴为__________，顶点坐标为___________； (3)在如下的平面直角坐标系中画出该函数的图象； 二次函数的图象与性质 y＝2(x－1)2－8 上 直线x＝1 (1，－8) 【增减性】 (4)当x____－1时，y随x的增大而减小；当x____2时，y随x的增大而增大； (5)①若点(－4，y1)，(－1，y2)都在该函数的图象上，则y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)； ②若点(2，y1)，(5，y2)都在该函数的图象上，则y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)； ③若点(－3，y1)，(4，y2)都在该函数的图象上，则y1____y2(填“＞”“＜”或“＝”)； ＜ ＞ ＞ ＜ ＞ 【最值问题】 (6)当x＝______时，该函数有最____(填“大”或“小”)值，为______； (7)①当－2≤x≤0时，y的最小值为______，最大值为____； ②当3≤x≤5时，y的最小值为____，最大值为____； ③当－2≤x≤2时，y的最小值为______，最大值为______； ④当－2≤x≤5时，y的最小值为_____，最大值为_____； 【交点问题】 (8)该函数的图象与x轴的交点坐标为__________________，与y轴的交点坐标为___________；【方法指导】 －1 小 －8 －6 10 0 24 －8 10 －8 24 (－1，0)和(3，0) (0，－6) 【图形变换问题】 (9)该函数的图象先向右平移3个单位长度，再向上平移5个单位长度后所得图象的函数表达式为___________________． y＝2(x－4)2－3 1．(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( ) A．图象的开口向下 B．当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C．函数的最小值小于－3 D．当x＝2时，y<0 D 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，请回答下列问题(用不等号或数字填空)：  (1)a____0，b____0，c____0； (2)b2____4ac； (3)①当x＝____时，y＝a＋b＋c____0； ②当x＝_____时，y＝a－b＋c____0； ③当x＝____时，y＝4a＋2b＋c____0； ④当x＝____时，y＝9a＋3b＋c____0. (4)b＝－2a⇒y＝ax2______x＋c＝a(x2____x)＋c⇒当x＝_______时，y＝3a＋c____0； ＞ 二次函数的图象与字母系数a，b，c的关系 ＜ ＜ ＞ 1 ＜ －1 ＞ 2 ＜ 3 ＞ －2a －2 －1或3 ＞ 2．(2024湖北)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的顶点坐标为(－1，－2)，与y轴的交点在x轴上方，下列结论正确的是( ) A．a＜0 B．c＜0 C．a－b＋c＝－2 D．b2－4ac＝0 C C 二次函数解析式的确定 y＝x2＋3 y＝－x2＋2x＋3 如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)的部分图象．   (1)方程ax2＋bx＋c＝0的解是_________________； (2)方程ax2＋bx＋c＝2的解是_______________； (3)已知t＝1，则方程ax2＋bx＋c＝t的解有____个； (4)不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是____________； (5)不等式ax2＋bx＋c＜2的解集是_____________． x1＝－1，x2＝3 二次函数与一元二次方程的关系 x1＝0，x2＝2 2 －1＜x＜3 x＜0或x＞2 4．(2025武汉)已知二次函数y＝ax2＋(a－2)x－2(a为常数，且a≠0).下列五个结论：①该函数图象经过点(－1，0)；②若a＝－1，则当x＞－1时，y随x的增大而减小；③该函数图象与x轴有两个不同的公共点；④若a＞2，则关于x的方程ax2＋(a－2)x－2＝0有一个根大于0且小于1；⑤若a＞2，则关于x的方程|ax2＋(a－2)x－2|＝2的正数根只有一个．其中正确的是__________(填写序号). ①②④⑤ 第10节　一次函数 课时2　一次函数的实际应用 数学 【方法指导】 1．在实际问题中，求一次函数解析式的三种情况： (1)文字型：根据文字描述，应用基本关系式——路程＝速度×时间、总价＝单价×数量、利润＝售价－进价等，用含x的式子表示y，即可得到y与x的函数关系式． (2)图象型：从图象中选取两个点(一般是图象与坐标轴的交点，图象的起点、终点、转折点)，代入一次函数解析式，列方程组求解即可．若图象为分段函数或多条直线，需分别设出每一段或每一条直线的函数解析式，分段函数注意自变量x的取值范围． (3)表格型：根据表格中提供的数据，选择两组代入一次函数解析式中列方程组求解． 2．利润问题： 根据一次函数的增减性及自变量的取值范围确定函数的最大(小)值，从而解决利润问题． 注：一般自变量的端点处对应的函数值可能为最值． 3．方案问题： (1)当给定x值选取方案时，将x值代入解析式，比较结果大小． (2)当给定y值选取方案时，将y值代入解析式，比较结果大小． (3)当x，y值均未给定时，若为两种方案选取，分别求出y1＜y2，y1＝y2，y1＞y2时x的取值范围，根据结果选取方案． 1．商场有甲、乙两种商品，卖出一件甲商品比卖出一件乙商品多赚40元，卖出甲商品20件比卖出乙商品30件少赚2 000元． (1)甲、乙两种商品各卖出一件能赚多少钱； (2)甲、乙两种商品共卖出100件，卖出乙商品的数量不少于甲商品数量的四倍，求甲、乙两种商品总利润的最大值． 解：(1)设卖出一件乙商品赚x元，则卖出一件甲商品赚(x＋40)元．依题意，得30x－20(x＋40)＝2 000，解得x＝280，∴x＋40＝280＋40＝320.答：卖出一件甲商品赚320元，卖出一件乙商品赚280元； (2)设卖出甲商品m件，则卖出乙商品(100－m)件．依题意，得100－m≥4m，解得m≤20.设卖出甲、乙两种商品的总利润为w元，则w＝320m＋280(100－m)＝40m＋28 000.∵40＞0，∴w随m的增大而增大，∴当m＝20时，w取得最大值，最大值为40×20＋28 000＝28 800(元).答：甲、乙两种商品总利润的最大值为28 800元． 2．甲、乙两家商店以同样的价格出售品质相同的樱桃，樱桃单价均为40元/kg且包邮．在直播带货活动中，甲商店的优惠方案是一律打九折；乙商店的优惠方案如下表(a为常数)： 设购买樱桃x kg，y甲，y乙(单位：元)分别表示顾客到甲、乙两家商店购买樱桃的费用． (1)写出y甲，y乙关于x的函数表达式； (2)在此次活动中，小丽在两家商店分别购买10 kg的樱桃，结果费用相同，求a的值; (3)请你帮助顾客设计一个购买方案，选择哪家商店更合算？ 方案择优问题 一次性购买质量x(kg) 优惠方案 x≤a 不优惠 x>a 超过a kg的部分打七五折 行程问题 4．【跨学科·物理】在测量某种液体密度的实验中，根据测得的该种液体和烧杯的总质量m(g)与该种液体的体积V(cm3)，绘制了如图所示的函数图象(图中为一线段)，则72 g该种液体的体积为________cm3. 80 解：(1)根据题意得y甲＝40×0.9x＝36x；当x≤a时，y乙＝40x，当x>a时，y乙＝40a＋40×0.75(x－a)＝30x＋10a，∴y乙关于x的函数表达式为y乙＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(40x(x≤a)，,30x＋10a(x>a)；))　 (2)小丽在甲商店购买10 kg樱桃的费用为36×10＝360(元)，小丽在乙商店购买10 kg樱桃的费用为y＝ eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(400(x≤a)，,300＋10a(x>a)；))∵小丽在两家商店分别购买10 kg的樱桃的费用相同，∴300＋10a＝360，解得a＝6；　 (3)由(2)可知，当x<10时，到甲商店购买更合算；当x＝10时，到甲、乙两家商店购买费用相同；当x>10时，到乙商店购买更合算． 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶 eq \f(1,12) 小时，再立即减速以另一速度匀速行驶(减速时间忽略不计)，当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程y(千米)与在此路段行驶的 时间x(时)之间的函数图象如图所示． (1)a的值为__________； (2)当 eq \f(1,12)≤x≤a时，求y与x之间的函数关系式； (3)通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．(此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时) eq \f(1,5) 解：(2)设当 eq \f(1,12)≤x≤ eq \f(1,5)时，y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).将点( eq \f(1,6)，17)，( eq \f(1,5)，20)分别代入，得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\f(1,6)k＋b＝17，,\f(1,5)k＋b＝20，))解得 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝90，,b＝2，))∴y＝90x＋2( eq \f(1,12)≤x≤ eq \f(1,5))；　 (3)当x＝ eq \f(1,12)时，y＝90× eq \f(1,12)＋2＝9.5，∴先匀速行驶 eq \f(1,12) 小时的速度为9.5÷ eq \f(1,12)＝114(千米/时).∵114＜120，∴该辆汽车减速前没有超速． $第11节　反比例函数 表达式 k的范围 k＞0 k＜0 大致图象 所在象限 第①______ 象限 第③______ 象限 增减性 在每一个象限内，y的值随x值的增大而②______ 在每一个象限内，y的值随x值的增大而④______ 图象特征 (1)对称性：关于直线y＝x，y＝－x成⑤________，关于原点成⑥_________． 渐进趋势：图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0 (1)对称性：关于直线y＝x，y＝－x成⑤________，关于原点成⑥_________． 渐进趋势：图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永不相交，即x≠0，y≠0 一、三 二、四 减小 增大 轴对称 中心对称 反比例函数的图象与性质(掌握) k的几何意义 技巧点拨 过反比例函数图象上任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，则S矩形PMON＝PN·PM＝|x|·|y|＝⑦____ 已知面积求k值时，可考虑利用k的几何意义，由面积得|k|，再结合图象所在的象限判断k的正负，从而得出k的值．也可以用此方法求反比例函数的解析式 |k| 反比例函数系数k的几何意义(体验) 反比例函数解析式的确定(掌握,待定系数法) k＜0 反比例函数的图象与性质 1 一、三 减小 ③若点Q(a，b)在反比例函数图象上，则点Q1(－a，－b)____(填“在”或“不在”)该反比例函数图象上； ④若点(－6，y1)，(－2，y2)，(1，y3)在反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“＞”连接). 在 y3＞y1＞y2 C D 1(答案不唯一) 反比例函数中k的几何意义 2 4 8 反比例函数的实际应用 4．(2025湖北)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是( ) A．3 A B．4 A C．5 A D．6 A A 5．【跨学科·物理】某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小康通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：(动力×动力臂＝阻力×阻力臂) C 动力臂(L/m) 动力(F/N) … … 0.5 600 1.0 302 1.5 200 2.0 a 2.5 120 … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0 m时，所需动力最接近的是( ) A．300 N B．180 N C．150 N D．120 N 反比例函数与一次函数综合题