第三章　函　数 课件 2026年中考数学一轮专题复习（安徽）

第三章　函　数 3.4　二次函数的图象与性质 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 1.[2025·蚌埠三模]已知P(－2，y1)，Q(1，y2)两点都在抛物线y＝mx2＋2mx－4(m＞0)上，则y1与y2的大小关系是( ) A.y1＜y2 B.y1＞y2 C.y1≤y2 D.y1≥y2 A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- A B C D 2.[2025·六安二模]已知反比例函数y＝(a≠0)的图象与一次函数y＝bx＋c(b≠0)的图象的交点在第一、三象限，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可能为( ) A 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 3. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a＜0)的图象过点(－3，m)，(－2，c)，(－1，n)，则下列说法正确的是( ) A.m－n＞0 B.若c－m＞2，则－1＜a＜0 C.若c－n＞－1，则m－n＞－2 D.若c－n＜－1，则m－n＜－4 D 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 4.[2025·蚌埠模拟]已知抛物线y＝－x2＋2x＋m－1(m为常数)与x轴的一个交点在3和4之间(不包含3和4)，则下列结论错误的是( ) A.关于x的方程－x2＋2x＋m－1＝0(m为常数)有两个不相等的实数根 B.4＜m＜9 C.若点M(－2，y1)，N，P(3，y3)在该函数图象上，则y1＜y3＜y2 D.将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为y＝－(x＋1)2＋m D 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 【解析】∵y＝－x2＋2x＋m－1＝－(x－1)2＋m，∴抛物线对称轴为直线x＝1.∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间(不包含3和4)，∴抛物线与x轴的另一个交点在－2和－1之间(不包含－2和－1)，∴关于x的方程－x2＋2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根，A项正确；∵抛物线开口向下且与x轴的一个交点在3和4之间(不包含3和4)，∴解得4＜m＜9，B项正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∴点M(－2，y1)到对称轴的距离最大，点N到对称轴的距离最小，∴y1＜y3＜y2，C项正确；将该抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的表达式为y＝－(x－1＋2)2＋m－2＝－(x＋1)2＋m－2，D项错误. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 5.已知实数a，b满足a－b2＝4，则代数式a2－3b2＋a－14的最小值是　 　.  　6　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 6.如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(3，0)， B(0，3)两点，顶点为C. (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把点A(3，0)，B(0，3)代入，得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋3. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- (2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积. (2)由(1)易知点C的坐标为(，4). 过点C作CD⊥y轴于点D， ∴S△ABC＝S梯形CDOA－S△CDB－S△OAB＝×4－×(4－3)××3×3＝8＝3. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 7.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且对称轴为直线x＝1，点A的坐标为(－1，0).下列结论：①2a＋b＝0；②abc＜0；③当y＜0时，－1＜x＜3；④3a＋c＞0；⑤a＋b≤n(an＋b)(n为任意实数).其中正确的结论有( )  A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 B 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 8.[2025·合肥四十二中三模]对于一个函数，自变量x取m时，函数值y等于2m，则称点A(m，2m)是这个函数的“二倍点”，已知二次函数y＝x2＋3x＋k. (1)若点A(1，2)是此函数的“二倍点”，则此函数另一个“二倍点”B的坐标是　 　；  (2)若此函数有两个相异的“二倍点”A(m，2m)，B(n，2n)，且m＜1＜n，则k的取值范围为　 　.  (－2，－4) k＜－2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 【解析】(1)把点A(1，2)代入y＝x2＋3x＋k中，得2＝12＋3×1＋k，解得k＝－2，∴y＝x2＋3x－2，令x2＋3x－2＝2x，解得x1＝1，x2＝－2，当x＝－2时，y＝－4，∴点B(－2，－4). 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- (2)解法1：∵二次函数y＝x2＋3x＋k图象上有两个相异的“二倍点”A(m，2m)，B(n，2n)，∴二次函数y＝x2＋3x＋k与直线y＝2x有两个交点A(m，2m)，B(n，2n)，联立得x2＋x＋k＝0，解得m＝，n＝.∵Δ＝1－4k＞0，∴k＜.∵m＜1＜n，∴＜1，＞1，解得k＜－2，综上可知，k的取值范围是k＜－2. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 解法2：∵点A(m，2m)，B(n，2n)是两个相异的“二倍点”，令x2＋3x＋k＝2x，∴x2＋x＋k＝0，由题意得二次函数y＝x2＋x＋k与x轴的两个交点横坐标分别为m，n，且m＜1＜n，把x＝1代入y＝x2＋x＋k，得y＝2＋k，∴2＋k＜0，∴k＜－2. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 9. [2025·安庆模拟]抛物线y1＝x2＋mx＋n的顶点纵坐标与抛物线y2＝－x2－mx的顶点纵坐标之和为4. (1)求n的值. 解：(1)∵y1＝x2＋mx＋n＝，y2＝－x2－mx＝－， ∴抛物线y1的顶点坐标为，抛物线y2的顶点坐标为. ∵两抛物线的顶点纵坐标之和为4， ∴＝4，即n＝4. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- (2)已知A(s，t)为抛物线y1＝x2＋mx＋n上一点，B(p，q)为抛物线y2＝－x2－mx上一点. (ⅰ)若仅存在一个正数s，使得s＋t＝0，求p＋q的最大值； (2)(ⅰ)由(1)知n＝4，∴抛物线y1＝x2＋mx＋4， ∵A(s，t)为抛物线y1＝x2＋mx＋n上一点， ∴t＝s2＋ms＋4. ∵s＋t＝0，即t＝－s， ∴－s＝s2＋ms＋4，即s2＋(m＋1)s＋4＝0. ∵仅存在一个正数s，使得s＋t＝0， ∴关于s的一元二次方程s2＋(m＋1)s＋4＝0有两个相等的正数根， ∴Δ＝(m＋1)2－4×1×4＝0，即(m＋1)2＝16，解得m1＝3，m2＝－5. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 当m＝3时，s2＋4s＋4＝0，解得s＝－2＜0(不符合题意，舍去)； 当m＝－5时，s2－4s＋4＝0，解得s＝2＞0(符合题意). ∴m＝－5，∴y2＝－x2＋5x， ∵B(p，q)为抛物线y2＝－x2－mx上一点， ∴q＝－p2＋5p，∴p＋q＝－p2＋6p＝－(p－3)2＋9， ∵－1＜0，∴当p＝3时，p＋q有最大值，为9. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -- 3.4　二次函数的图象与性质 -- $第三章　函　数 3.2　一次函数及其应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 1.[2025·合肥琥珀中学三模]已知直线y＝2x＋1经过点(a，b)，则必经过另一个点( ) A.(a＋1，b＋1) B.(a＋1，b＋2) C.(2a，2b) D.(a，2b) B 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 2.[2025·合肥包河区三模]已知A(2，3)是一次函数y＝kx＋1(k≠0)的图象上一点，若B(x0，y0)是该直线上另一点，且y0＜2，则x0的取值范围在数轴上表示为( ) A　 　B C　 　D A 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- A　　 B C　　　 D 3.直线y1＝mx＋n和y2＝－nx－m在同一平面直角坐标系中的图象可能是( ) A 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 4.[2025·铜陵三模]已知一次函数y＝ax＋c与正比例函数y＝bx的图象的交点在第四象限，且横坐标是1，则下列判断正确的是( ) A.ac＞0且b2－4ac＜0 B.b＜0且b2－4ac≥0 C.ac＜0且b2－4ac≥0 D.b＜0且b2－4ac的符号不能确定 B 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 5.[2025·淮北相山区三模]今年是蛇年，生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(单位：cm)是尾长x(单位：cm)的一次函数，部分数据如表所示，则当蛇的尾长为10 cm时，它的体长为　 　cm.  　75.5　 尾长x/cm 4 8 20 体长y/cm 30.5 60.5 150.5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 6.如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y1＝k1x＋b1与x轴相交于点B(12，0)，与直线l2：y2＝k2x相交于点A(6，3). (1)分别求出直线l1和直线l2的函数表达式； 解：(1)直线l1的函数表达式为y1＝－x＋6. 直线l2的函数表达式为y2＝x. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- (2)直接写出不等式k1x＋b1＜k2x的解集； (2)由图象可知不等式k1x＋b1＜k2x的解集为x＞6. (3)若D是直线l2上一点，且S△COD＝S△AOC，求点D的坐标. (3)∵△COD与△AOC同底(OC)，且S△COD＝S△AOC，∴|xD|＝xA＝3，解得xD＝±3， ∴点D的坐标为. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 7.[2025·亳州利辛月考]如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点(不包括端点)，过点P分别作PD⊥x轴，PC⊥y轴，垂足分别为点D，C，则四边形PDOC的周长是( )   A.12 B.6 C.10 D.6 A 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 8. 在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－3，3)，(3，1)，P是y轴上一点，如图. (1)若PA＋PB的值最小，则点P的坐标为　 　；  (2)若S△PAB＝2S△AOB，则点P的坐标为　 　.  (0，2) (0，6)或(0，－2) 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 【解析】(1)由题意得直线AB的函数表达式为y＝－x＋2.当A，P，B三点共线时，PA＋PB的值最小，此时点P的坐标为(0，2).(2)由(1)可知S△AOB＝×2×(3＋3)＝6，故S△PAB＝2S△AOB＝12.设点P的坐标为(0，t)，则S△PAB＝|t－2|×(3＋3)＝12，解得t＝6或t＝－2，∴点P的坐标为(0，6)或(0，－2). 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 9.为支持美丽乡村建设，某大学主动承担绿水县的高标准农田改造工程.第一批任务要求在第50天完成，待改造的高标准农田y(亩)与工作时间x(天)满足一次函数关系，已知30天后还有4000亩高标准农田待改造.(亩：地积单位，1亩等于666.7平方米) (1)求第一批任务中需改造的高标准农田的亩数. 解：(1)设待改造的高标准农田y(亩)与工作时间x(天)的一次函数关系式为y＝kx＋b. 由题意，得解得 ∴y＝－200x＋10000，令x＝0得y＝10000， ∴第一批任务中需改造的高标准农田为10000亩. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- (2)为进一步加大支持力度，第二批任务比第一批增加20%，且每亩改造价格比第一批少100元，这两批任务的改造总价相同.求第二批任务的改造总价.(结果用科学记数法表示) (2)设第二批任务中每亩改造价格为a元. 由题意，得10000(a＋100)＝10000(1＋20%)a， 解得a＝500， ∴10000(1＋20%)a＝6000000＝6×106(元). 答：第二批任务的改造总价为6×106元. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 10.[2025·蚌埠二模]某品牌烤箱新增一种安全烤制模式，即在烤箱内温度匀速升至240 ℃时烤箱停止加热，随后烤箱内温度下降至初始温度.如图所示的是该品牌烤箱安全烤制模式下烤箱内温度y(℃)随时间x(min)变化的函数图象. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- (1)求该图象的函数表达式； 解：(1)设AB段的函数表达式为y1＝k1x＋b1. 将点A(0，20)和点B(10，240)代入， 得解得 设BC段的函数表达式为y2＝k2x＋b2. 将点B(10，240)和点C(15，20)代入， 得解得 综上所述，该图象的函数表达式为 y＝ 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.2　一次函数及其应用 -- $第三章　函　数 3.3　反比例函数及其应用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 1.[2025·合肥长丰一模]反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象如图所示，若点A(1，a)，B(3，b)都在该反比例函数的图象上，则a与b的大小关系是( ) A.a＞b B.a＝b C.a＜b D.无法确定 A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 2.点(－2，3)在反比例函数y＝图象上，则下列各点在此函数图象上的是( ) A.(1，6) B.(－1，6) C.(－3，－2) D.(－6，2) B 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- A　 B　 C　 D 3. 某气球内充满了一定质量为m的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(单位：kPa)是气体体积V(单位：m3)的反比例函数：p＝，能够反映两个变量p和V函数关系的图象是( ) B 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 4.[2025·芜湖模拟]如图，正比例函数y＝x与反比例函数y＝的图象交于点A，B，过点A作AP∥x轴，交反比例函数y＝于点P.若S△ABP＝6，则k＝　 　.  　－2　 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 第5题图 5.如图，一次函数y＝mx＋n(m，n是常数，m≠0)与反比例函数y＝(k≠0)的第二象限的图象交于点A(－1，a)，B两点，与x轴，y轴分别交于点C，D，且OC＝OD＝3，则k的值为　 　.  　－2　 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 6.[2024·江苏扬州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为　 　.  第6题图 2 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 7. 在探究“反比例函数的图象与性质”时，小明先将直角边长为5个单位长度的等腰直角三角板ABC摆放在平面直角坐标系中，使其两条直角边AC，BC分别落在x轴负半轴、y轴正半轴上(如图所示)，然后将三角板向右平移a个单位长度，再向下平移a个单位长度后，小明发现A，B两点恰好都落在函数y＝的图象上，则a的值为( )   A.3 B.4 C.2或3 D.3或4 C 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 8.[2025·池州三模]已知A为第一象限内一点，B，C为y轴上两点，且△ABC为等边三角形，经过点A的反比例函数y＝(x＞0)的图象与边AB相交于点D.若D为AB的中点，点C的坐标为(0，－2)，则k的值为　 　.  8 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 9.[2025·安庆二模]如图，已知反比例函数y＝－与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和 点B的纵坐标都是－2，直线AB交x轴于点M. (1)求一次函数的表达式； 解：(1)由题意得点A(－2，4)，B(4，－2). ∵一次函数y＝kx＋b的图象过A，B两点， 代入，得解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋2. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- (2)求△AOB的面积； (2)令y＝＝－x＋2＝0，得x＝2， ∴点M(2，0)，∴OM＝2， ∴S△AOB＝S△ABM＋S△BOM＝×2×4＋×2×2＝6. (3)请直接写出反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围. (3)当－2＜x＜0或x＞4时，反比例函数图象在一次函数图象的上方. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 10.[2025·芜湖南陵一模]如图，反比例函数y＝(x＞0)与一次函数y＝2x＋m的图象交于点A(1，6)，BC⊥y轴于点D，分别交反比例函数与一次函数图象于点B，C.连接AB，AD. (1)求反比例函数y＝与一次函数y＝2x＋m的表达式； 解：(1)将点A(1，6)代入y＝，得k＝1×6＝6， ∴反比例函数的表达式为y＝. 将点A(1，6)代入y＝2x＋m，得m＝4， ∴一次函数的表达式为y＝2x＋4. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -- 3.3　反比例函数及其应用 -- $第三章　函　数 3.1　坐标系与函数图象 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 1.在平面直角坐标系中，点P(2，－3)所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 2.[2025·黄山期中]在平面直角坐标系中，若点A(2a－5，4－a)在x轴上，则点A的坐标为( ) A. B.(5，－1) C.(0，3) D.(3，0) D 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 第3题图 3.下图反映了某地春季的某天一段时间内的气温T(℃)随时间t(h)变化而变化的关系，观察图象得到下列信息，其中错误的是( ) A.该段时间内的最低气温为18 ℃ B.从6时至15时，气温一直上升 C.该段时间内15时达到最高气温 D.从6时至20时，气温一直下降 D 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 第4题图 4. [2024·合肥新站区一模]小明探究甲、乙、丙、丁四种物质的密度，将测量结果数据绘制成如图所示的图象，则四种物质中密度最大的是( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 A 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 5.在平面直角坐标系中，将点(－b，－a)称为点(a，b)的“关联点”.例如点(－2，－1)是点(1，2)的“关联点”.如果一个点和它的“关联点”在同一象限内，那么这个点所在的象限为( ) A.第一或第二象限 B.第一或第三象限 C.第二或第三象限 D.第二或第四象限 D 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 6.函数y＝自变量的取值范围为　 　.  x≤2且x≠－1 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 7. 在平面直角坐标系中，点A的坐标是(2，－1)，若AB∥y轴，且AB＝9，则点B的坐标是 __________ 　 　.  (2，8)或(2，－10) 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 8.在平面直角坐标系中，已知点A(6m＋7，4m－1)，试分别根据下列条件，求出点A的坐标. (1)点A在y轴上； 解：(1)由题意，得6m＋7＝0，解得m＝－， ∴4m－1＝4×－1＝－， ∴点A的坐标为. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- (2)点A的纵坐标比横坐标小2； (2)由题意，得4m－1＝6m＋7－2，解得m＝－3， ∴6m＋7＝－11，4m－1＝－13， ∴点A的坐标为(－11，－13). (3)点A在第一、三象限的角平分线上. (3)由题意，得4m－1＝6m＋7，解得m＝－4， ∴4m－1＝－17，∴点A的坐标为(－17，－17). 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- A B C D 9.[2025·蚌埠三模]如图，在等腰△ACB中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P为△ACB直角边上一动点，PD⊥AB于点D，连接PB.当点P从点A出发沿直角边运动到点B时，设点P运动的路程为x，y＝PD·BD，则y随x变化的大致函数图象为( ) A 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 【解析】根据题意，得∠A＝45°，AB＝2，当点P沿A→C运动，即0≤x≤2时，易得△ADP是等腰直角三角形，∴PD＝AD＝AP＝x，BD＝AB－AD＝2x，∴y＝PD·BD＝＝－x2＋2x＝－(x－2)2＋2，函数图象是抛物线的一部分，且开口向下，排除C项、D项；当点P沿C→B运动，即2≤x≤4时，同理可得PD＝BD，∵AC＝BC＝2，∴PB＝4－x，∴y＝PD·BD＝PD2＝PB2＝(4－x)2＝(x－4)2，函数图象是抛物线的一部分，且开口向上，排除B项，∴A项正确. 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 10.[2025·阜阳三模]如图，已知点A(1，0)，将线段OA逆时针旋转45°并扩大倍得到OA1，连接AA1，得到第一个等腰Rt△OAA1；将线段OA1逆时针旋转45°并扩大倍得到OA2，连接A1A2，得到第二个等腰Rt△OA1A2；将线段OA2逆时针旋转45° 并扩大倍得到OA3，连接A2A3，得到第三个等腰Rt△OA2A3；……如此进行下去. (1)点A1的坐标为　 　，点A8的坐标为　 　；  (2)点A2025的坐标为　 　.  (1，1) (16，0) (21012，21012) 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 【解析】(1)∵点A(1，0)，∴OA＝1，∵△OAA1为等腰直角三角形，∴AA1＝1，∴点A1(1，1)，∴OA2＝＝2，∴点A2(0，2)，∴A2A3＝2，∴点A3(－2，2)，∴OA4＝2＝4，∴点A4(－4，0)，∴A4A5＝4，∴点A5(－4，－4)，∴OA6＝4＝8，∴点A6(0，－8)，∴A6A7＝8，∴点A7(8，－8)，∴OA8＝8＝16，∴点A8(16，0).(2)由上述规律可得点An分布的象限为8个一循环，2025÷8＝253……1，∴点A2025在第一象限，且横、纵坐标相等为()2025－1＝21012，∴点A2025的坐标为(21012，21012). 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 11. 已知学生宿舍、超市、书店依次在同一条直线上，超市离宿舍0.8 km，书店离宿舍2 km.李明从宿舍出发，先匀速骑行了10 min到书店买书，在书店停留了30 min，之后匀速骑行6 min到超市购买生活用品，在超市停留了14 min后，用了16 min匀速散步返回宿舍.下面图中x表示时间，y表示离宿舍的距离.图象反映了这个过程中李明离宿舍的距离与时间之间的对应关系. 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 请根据相关信息，解答下列问题： (1)(ⅰ)填表： (ⅱ)填空：李明从超市返回宿舍的速度为　 　km/min；  (ⅲ)当10≤x≤46时，请直接写出李明离宿舍的距离y关于时间x的函数表达式； 李明离开宿 舍的时间/min 5 10 30 50 李明离宿舍 的距离/km 2 解：(1)(ⅲ)李明离宿舍的距离y关于时间x的函数表达式为y＝ 1 2 0.8 0.05 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -- 3.1　坐标系与函数图象 -- $第三章　函　数 3.6　二次函数综合问题 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- A B C D 1.[2025·滁州二模]如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为AB的中点，点F，G分别在边AD，DC上(不与端点重合)，且EF⊥FG.设AF＝x(0＜x＜4)， DG＝y，则y关于x的函数图象为( ) A 1 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 2.[2025·合肥寿春中学二模]在平面直角坐标系中，已知点A(0，1)，B(2，2)，下列函数的图象中，与线段AB没有公共点的是( ) A.y＝5x B.y＝－x＋4 C.y＝ D.y＝－x2＋4 C 2 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 3.[2025·蚌埠二模]已知点A(x1，0)和B(x2，0)是二次函数y1＝x2＋bx＋c图象上两个不同的点，一次函数y2＝2x＋m的图象经过点A. (1)若b＋c＝－1，且x2＞1，则m的值为　 　；  (2)若函数y＝y1＋y2的图象与x轴仅有一个交点(－1，0)，则x2的值为　 　.  　1　 　－2　 3 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 4.[2025·池州三模]已知抛物线y＝－x2－3mx－4m与x轴负半轴交于点A，且经过点B(2，6)，C(m＋1，n). (1)n的值为　 　；  (2)若P为第一象限内抛物线上的一点，且S△PAB＝S△PAC，则点P的坐标为　 　.  4 (3，4)或 4 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 【解析】(1)把点B(2，6)代入y＝－x2－3mx－4m，得m＝－1，∴抛物线的表达式为y＝－x2＋3x＋4，把点C(m＋1，n)代入，得n＝4.(2)令y＝－x2＋3x＋4＝0，解得x1＝－1，x2＝4.∵点A位于x轴负半轴上，∴A(－1，0).由点B(2，6)，C(0，4)得直线BC的表达式为y＝x＋4.①当PA∥BC时，S△PAB＝S△PAC，设直线PA的表达式为y＝x＋b，将点A(－1，0)代入，得b＝1，∴直线PA的表达式为y＝x＋1，由－x2＋3x＋4＝x＋1得x1＝－1，x2＝3，把x2＝3代入得y＝4，∴点P(3，4)；②当直线AP经过BC的中点M时，S△PAB＝S△PAC，由点B(2，6)，C(0，4)得M(1，5)，由点A(－1，0)，M(1，5)，得直线AM的表达式为y＝x＋，由－x2＋3x＋4＝x＋，解得x1＝－1，x2＝，把x2＝代入，得y＝，∴点P.综上可知，点P的坐标为(3，4)或. 4 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 5.[2025·蚌埠三模]已知抛物线y＝ax2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1，且与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C. (1)求抛物线的表达式及顶点坐标； 解：(1)由题意得－＝1，即b＝－2a，把点A(－1，0)代入y＝ax2－2ax＋3，得0＝a＋2a＋3，解得a＝－1，∴b＝2，∴y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点坐标为(1，4). 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- (2)已知P为抛物线对称轴上一点，若S△PCA＝4，求点P的坐标； (2)由(1)知点C(0，3).设直线PA与y轴交于点D，∴S△PCA＝CD·OA＋CD·xP＝4，又∵点A(－1，0)，对称轴为直线x＝1，∴OA＝1，xp＝1，∴CD＝4，∴点D(0，－1)或D(0，7).设直线AD的表达式为y＝kx＋m.由点A(－1，0)，D(0，－1)得直线AD的表达式为y＝－x－1，当x＝1时，y＝－x－1＝－2，∴点P(1，－2)；由点A(－1，0)，D(0，7)得直线AD的表达式为y＝7x＋7，同理得点P(1，14).综上可知，点P的坐标为(1，－2)或(1，14). 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- (3)若抛物线y＝ax2＋(b＋m)x＋3＋n上仅存在一个点Q(x1，y1)，使得2x1＋y1＝0，且0≤m≤2，求n的最大值. (3)由题意得y＝－x2＋(2＋m)x＋3＋n，∵仅存在一个点Q(x1，y1)，使得2x1＋y1＝0，∴抛物线y＝－x2＋(2＋m)x＋3＋n与直线y＝－2x仅有一个交点，令－x2＋(2＋m)x＋3＋n＝－2x，整理得x2－(4＋m)x－3－n＝0，∴Δ＝(4＋m)2－4(－3－n)＝0，∴n＝－(m＋4)2－3.∵－＜0，∴当m＞－4时，n随m的增大而减小，∵0≤m≤2，∴当m＝0时，n取最大值，最大值为－(0＋4)2－3＝－7. 5 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 6.[2024·合肥蜀山区二模]在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a＞0)与x轴交于点A，B(点A在点B左边)，下列命题中不成立的是( ) A.A，B两点之间的距离为4个单位长度 B.若线段PQ的端点为P(4，5)，Q(8，5)，当抛物线与线段PQ有交点时，则≤a≤1 C.若点(m－4，y1)，(m，y2)在该抛物线上，当y1＜y2时，则m≥3 D.若a＝1，当t≤x≤4时，y的最大值与最小值的差为4，则t＝1＋ C 6 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 【解析】解法1：令y＝0，即ax2－2ax－3a＝a(x－3)(x＋1)＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1，0)，B(3，0)，∴A，B两点之间的距离为4个单位长度，A项正确；将P(4，5)，Q(8，5)分别代入y＝ax2－2ax－3a，解得a＝1和a＝，∴当抛物线与线段PQ有交点时，≤a≤1，B项正确；由A选项得抛物线与x轴的交点为A(－1，0)，B(3，0)，距离为4，∴当m＝3时，y1＝y2＝0，当m＞3时，y1＜y2，C项错误；若a＝1，即y＝x2－2x－3，当x＝4时，y＝5，∵t≤x≤4，且y的最大值与最小值的差为4，∴y的最小值为1，令y＝1，即t2－2t－3＝1，解得t＝1±，当t＝1－时，y的最小值位于顶点，故舍去，∴t＝1＋，D项正确. 解法2：C选项，由题意，得y1＝a(m－4－3)(m－4＋1)＝a(m－7)(m－3)，y2＝a(m－3)(m＋1)，若y1＜y2，则a(m－7)(m－3)＜a(m－3)(m＋1)，且a＞0，整理得8m－24＞0，∴m＞3. 6 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 7.[2025·淮南三模]已知抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＜0)与x轴交于点A(－1，0)，B. (1)点B的坐标为　 　；  (2)当a＝－1时，点P(m，y1)，Q(m＋2，y2)是抛物线上的动点，其中－1＜m＜3，PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N，以P，Q，M，N为顶点的四边形的面积为S，若S随m的增大而增大，则m的取值范围是_______________ 　　.  (3，0) －1＜m≤0或1＜m＜3 7 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 【解析】(1)由题意知，抛物线的对称轴是直线x＝1，点A，B关于直线x＝1对称，∴点B的坐标为(3，0).(2)当a＝－1时，抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋k，将点A(－1，0)代入，得－(－1－1)2＋k＝0，解得k＝4，∴y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.当－1＜m＜1时，点P，Q都在x轴的上方，如图1，∴S＝(PM＋QN)·MN＝×2[－m2＋2m＋3－(m＋2)2＋2(m＋2)＋3]＝－2m2＋6.∵－2＜0，∴当－1＜m≤0时，S随m的增大而增大；当1＜m＜3时，点P在x轴的上方，点Q在x轴的下方，如图2，∴S＝(PM＋QN)·MN＝×2[－m2＋2m＋3＋(m＋2)2－2(m＋2)－3]＝4m.∵4＞0，∴当1＜m＜3时，S随m的增大而增大.综上可知，当S随m的增大而增大时，m的取值范围是－1＜m≤0或1＜m＜3. 图1 图2 7 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 8.[2025·马鞍山二模]在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝－x＋3与x轴交于点B，与y轴交于点C.已知抛物线y＝ax2＋2x＋c经过B，C两点，且与x轴交于另一点A. 图1 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 解：(1)由题可得点B(3，0)，C(0，3)，将点B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3. (1)求二次函数的表达式. 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- (2)(ⅰ)由题意得点M(m，－m2＋2m＋3)，则点N(m，－m＋3)，∴MN＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m＝－(0＜m＜3)，∵－1＜0，0＜＜3，∴当m＝时，线段MN取最大值. (2)若M是直线BC上方抛物线上的一个动点(不与点C，B重合)，过点M作MD⊥x轴于点D，交直线BC于点N， 设点M的横坐标为m. (ⅰ)如图2，当m为何值时，线段MN取最大值? 图2 8 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 7 8 -- 3.6　二次函数综合问题 -- $第三章　函　数 3.5　二次函数的实际应用 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 1.[2025·湖南模拟]某拱桥呈抛物线形，水面宽度AB为8 m时，拱顶C离水面4 m.当水面上升2 m后，宽度变为( )   A.4 m B.4 m C.4 m D.6 m B 1 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 2.弗里热(Phryge)是2024年巴黎奥运会和残奥会的官方吉祥物.某特许经销店销售一种弗里热造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量y(件)与每件售价x(元)之间存在一次函数关系(其中x为整数).当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件.若该商店销售这种玩偶每天获得的利润为w元，则w与x之间的函数表达式为( ) A.w＝－5x2＋150x B.w＝－5x2－1200 C.w＝－5x2＋190x－1200 D.w＝5x2－190x＋1200 C 2 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 第3题图 3.[2025·滁州期中]某养殖户用80 m长的隔离网在某湖泊中间围成一个长方形养殖区域用来饲养某种大米虾.如图，该长方形养殖区域中间有两条隔离网，则围成的养殖区域最大面积是　 　m2.  　200　 3 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 4.[2025·亳州模拟]如图，一辆宽为2 m的货车要通过跨度为8 m、拱高为4 m的单行抛物线形隧道(从正中通过)，抛物线满足表达式y＝－x2＋4.为了保证安全，车顶离隧道的顶部至少要有0.6 m的距离，则货车的限高应是 　m.  第4题图 3.15 4 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 5.[2025·阜阳期末]某公司在2024年初上市了一款新款手机，该款手机自上市以来产生的利润y(万元)与销售时间x(月份)之间满足二次函数的关系，其部分图象如图所示.根据图象提供的信息， 解答下列问题. (1)求y与x之间的函数表达式； 解：(1)由图可知二次函数图象过点(0，0)，顶点坐标为(2，－2)， 设y与x之间的函数表达式为y＝a(x－2)2－2. 将点(0，0)代入，得0＝a(0－2)2－2，解得a＝， ∴y与x之间的函数表达式为y＝(x－2)2－2. 5 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- (2)求几月份该公司所获得的利润恰好为16万元； (2)把y＝16代入y＝(x－2)2－2，得16＝(x－2)2－2， 解得x1＝8，x2＝－4(不符合题意，舍去)， ∴8月份该公司所获得的利润恰好为16万元. (3)2024年12月份该公司所获得的利润是多少万元? (3)将x＝12代入y＝(x－2)2－2， 得y＝×(12－2)2－2＝48， ∴2024年12月份该公司所获得的利润是48万元. 5 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 6. [2025·合肥蜀山区三模]问题情境：如图1，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分， 以种植不同花卉，学校面向全体 同学征集设计方案. 图1 6 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 方案设计：如图2，AB＝8 m，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO＝16 m.玥玥同学设计的方案如下所示. 第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB＝90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红； 第二步：在线段CP上取点F(不与点C，P重合)，过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE， CF将线段AC，BC与抛物线围成的 区域分隔成三部分，分别种植不同花色的月季. 图2 6 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9 m篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完9 m材料，需确定DE与CF的长.为此，建立如图3所示的平面直角坐标系.解决问题： 图3 6 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- (1)求抛物线的表达式； 解：(1)∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB＝8， ∴OA＝OB＝AB＝×8＝4， ∴点B的坐标为(4，0). ∵OP＝16，∴点P的坐标为(0，16). 设抛物线的表达式为y＝ax2＋16. 将点B(4，0)代入，得16a＋16＝0，解得a＝－1， ∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋16(－4≤x≤4). 6 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- (2)当9 m材料恰好用完时，分别求DE与CF的长； (2)由点D，E在抛物线y＝－x2＋16上， 不妨设点E的坐标为(m，－m2＋16). ∵DE∥AB，交y轴于点F， ∴DF＝EF＝m，OF＝－m2＋16，∴DE＝2m. ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴OC＝AB＝×8＝4. ∴CF＝OF－OC＝－m2＋16－4＝－m2＋12. 根据题意，得DE＋CF＝9， ∴－m2＋12＋2m＝9，解得m＝3(负值舍去)， ∴DE＝2m＝6，CF＝－m2＋12＝3. 答：DE的长为6 m，CF的长为3 m. 6 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- 谢谢观看 微信扫码加数学专属客服， 及时获取一手优质教学资源。 数学教师专属客服 进入安徽数学教研服务群，与省内一线优秀教师实时交流教学教研信息…… 安徽数学教研群 1 2 3 4 5 6 -- 3.5　二次函数的实际应用 -- $