第六章 圆 课件2026年中考数学一轮专题复习（广西）

该初中数学中考复习课件聚焦“与切线有关的证明与计算”核心考点，对接中考对切线判定、性质及综合计算的考查要求。通过梳理等腰三角形、双切线、角平分线、弦切角四大常考模型，分析各模型在中考中的权重占比，归纳证明切线、线段计算等典型题型，体现备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“模型归类+真题变式+素养提升”的复习模式，如结合2025湖北中考变式题，示范切线证明中“连半径证垂直”的技巧，培养学生的推理能力与几何直观。通过类型1等腰三角形模型例题，解析利用等腰性质与勾股定理解决线段计算问题，帮助学生掌握解题策略。教师可依托此资料实施专题突破，助力学生在中考中高效得分。

第23节　与圆有关的位置关系 位置 关系 数量 关系 图示 点与圆的位置关系(掌握) 点在圆外 d①_____r   点与圆的位置关系(掌握) 点在圆上 d②_____r   点与圆的位置关系(掌握) 点在圆内 d③____r   直线与圆的位置关系(了解) 相离 d④______r   没有公共点 直线与圆的位置关系(了解) 相切 d⑤______r 有一个公共点  直线与圆的位置关系(了解) 相交 d⑥______r 有两个公共点  ＞ ＝ ＜ ＞ ＝ ＜ 点、直线与圆的位置关系 性质定理 圆的切线⑦________于过切点的半径(或直径) 圆的切线⑦________于过切点的半径(或直径) 判定定理 经过半径外端点且⑧________于半径的直线是圆的切线 经过半径外端点且⑧________于半径的直线是圆的切线 判定方法 直线与圆有公共点 口诀：公共点明确，连半径，证垂直 判定方法 直线与圆无公共点 口诀：公共点不明确，作垂直，证半径 垂直 垂直 切线的性质及判定(运用) 切线长 *切线长定理 拓展 过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 从圆外一点可以引圆的两条切线，这两条切线长⑨________，并且这点和圆心的连线⑩________两条切线的夹角．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，则有PA＝⑪________，∠APO＝⑫__________＝⑬________∠APB 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．如图，PC是⊙O的切线，切点为C，则PC2＝PA·PB 过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长 相等 平分 PB ∠BPO 切线长及切线长定理 相等 相等 三角形的内切圆和外接圆(了解) 微专题　与切线有关的证明与计算 类型1　等腰三角形模型 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交边BC于点D，DE⊥AC于点E，延长CA交⊙O于点F. (1)求证：DE是⊙O的切线； (2)若AE＝3，DE＝6，求AF的长． 【变式】 (2025湖北)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F.过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G. (1)求证：FD＝FG； (2)若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 类型2　双切线模型 类型3　角平分线模型 3.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. (1)求证：AC平分∠BAD； (2)若AD＝4，CD＝3，求⊙O的半径长． 类型4　弦切角模型 4.如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E. (1)求证：∠A＝∠BCE； (2)若AB＝10，BC＝6，求CE的长． 第22节　圆的基本性质 CD，BD BD ∠BDC ∠AOB 圆的有关概念及性质(理解) 相等 相等 弦、弧、圆心角的关系(理解) 相等 相等 相等 相等 平分 垂直 平分 平分 垂径定理及其推论(运用) ∠ABC 直角 直径 圆周角定理及其推论(了解、运用) 性质 性质 拓展 圆内接四边形的对角㉓________，即∠BAD＋∠BCD＝㉔________ 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，即∠ADE＝㉕____________ 连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，即△AFD∽△BFC，△AFB∽△DFC  互补 180° ∠ABC 圆内接四边形及性质 圆的基本性质 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上任一点，连接CD交AB于点E，连接OC，AD，BD. (1)∠ACB＝________； (2)若∠BAC＝26°，则∠ACO＝_______，∠BOC＝_________； (3)若∠ABD＝54°，OC∥BD，则∠ACO＝_________； 90° 26° 52° 27° 30° 60° 60° 30° 8 8 80 1．(2025泸州)如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径．若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(  ) A．40°    B．50°    C．60°    D．70° B A 3．(2025广安)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，⊙O的半径为6，则BD的长为________． 4．【新情境·传统文化】如图①所示的筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，其侧面示意图如图②所示，筒车⊙O与水面分别交于点A，B，筒车上均匀分布着若干盛水筒，点P表示筒车的一个盛水筒，PC是⊙O的直径，连接PA，PB，点D在AB的延长线上．若∠PBD＝110°，则∠APC的度数为(  ) A．20°    B．30°    C．55°    D．70° A 5．【数学文化·九章算术】“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为____寸． 26 微专题　阴影部分面积的计算 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在边AB上，OA＝2，以O为圆心，OA长为半径作半圆，恰好与BC相切于点D，交AB于点E，则阴影部分的面积为_____________． 4.如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积是(  ) A．9    B．6    C．3    D．12 A 5．如图，AB为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若AB＝8，则阴影部分的面积为___________． 6．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A′B′C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形(阴影部分)的面积为________． 第24节　与圆有关的计算 数学 2πr πr2 扇形的相关计算(掌握) 圆锥的相关计算 正多边形与圆(了解) 与弧长有关的计算   (1)若一个扇形的圆心角为60°，半径为9，则该扇形的弧长为______； (2)若一个扇形的半径为4，弧长为2π，则该扇形的圆心角的度数为_______； (3)若一个扇形的圆心角为108°，弧长为6π，则该扇形的半径为____． 3π 90° 10 π 与圆锥有关的计算   (1)圆锥的侧面积是10π cm2，底面半径是2 cm，则圆锥的母线长为____cm； (2)用半径为30 cm，圆心角为120°的扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为____cm，高为_________cm. 5 10 3．(2025云南)若一个圆锥的侧面展开图的圆心角度数为90°，母线长为40 cm，则该圆锥的底面圆的半径为(  ) A．9 cm    B．10 cm    C．11 cm    D．12 cm 4．(2025潍坊)如图，圆锥的底面圆心为O，顶点为A，母线l长为4，母线l与高AO的夹角为30°，那么圆锥侧面展开图的面积为____． B 8π 圆与正多边形   (1)若正方形的边长为8，则其外接圆的半径是______； (2)若一个圆内接正六边形的边长是4 cm，则这个正六边形的中心角为_______度，边心距为_______cm，面积为_______cm2； (3)圆的内接正多边形中，正多边形的一条边所对的圆心角是72°，则正多边形的边数是_______． 60 5 5．(2025宿迁)如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接AC，则∠ACD的度数为____°. 72 6．(2025资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心，CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是________． C 圆的周长 圆的面积 扇形弧长 扇形面积 r为圆的半径，n°为 eq \o(AB,\s\up20(︵))所对的圆心角的度数，l为扇形AOB的弧长 C＝ ①________ S＝ ②_________ l＝ ③__________ S＝ ④__________＝ eq \f(1,2)lr eq \f(nπr,180) eq \f(nπr2,360) 底面圆的面积 S底＝πr2 l为母线长，r为底面圆的半径，h为圆锥的高，n°为侧面展开扇形的圆心角度数 底面圆的周长 C底＝2πr＝ eq \f(nπl,180) 圆锥的高 h＝⑤____________ 侧面积 S侧＝ eq \f(nπl2,360)＝πrl 全面积 S表＝S侧＋S底＝ eq \f(nπl2,360)＋πr2＝πrl＋πr2 体积 V＝⑥______________ 提示 圆锥底面圆的半径与它侧面展开图(扇形)的半径不是同一个半径，计算时不要混淆 eq \r(l2－r2) eq \f(1,3)πr2h 中心角 正n边形的每个中心角θ＝ ⑦___________ 以正六边形为例，如图： 中心角：θ　　　边长：a 边心距：d　　　半径：r 边心距 正n边形的边心距d＝ eq \r(r2－(\f(a,2))2) 周长 正n边形的周长l＝na 面积 正n边形的面积S＝ eq \f(1,2)ld＝ eq \f(1,2)nad eq \f(360°,n) 1．(2025凉山州)如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°，若BC＝2 eq \r(2)，则 eq \o(BC,\s\up28(︵))的长为____． 2．(2024湖北)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC上，以CE为直径的⊙O经过AB上的点D，与OB交于点F，且BD＝BC. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若AD＝ eq \r(3)，AE＝1，求 eq \o(CF,\s\up28(︵))的长． (1)证明：如图，连接OD，在△OBD和△OBC中， eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BD＝BC，,OD＝OC，,OB＝OB，)) ∴△OBD≌△OBC(SSS)，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，∴OD⊥AB，∵OD是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线； (2)解：设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中，AD＝ eq \r(3)，AE＝1，AO＝AE＋OE＝1＋r，OD＝r，AD2＋OD2＝AO2，∴( eq \r(3))2＋r2＝(1＋r)2，解得r＝1，∴OD＝1，∴tan ∠AOD＝ eq \f(AD,OD)＝ eq \r(3)，∴∠AOD＝60°，∴∠COD＝120°，由(1)知△OBD≌△OBC，∴∠BOD＝∠BOC＝ eq \f(1,2)∠COD＝60°，∴ eq \o(CF,\s\up8(︵))的长为 eq \f(60π×1,180)＝ eq \f(π,3). 20 eq \r(2) 4 eq \r(2) 2 eq \r(3) 24 eq \r(3) 4 eq \r(3)－ eq \f(4π,3) 7． eq \a\vs4\al(【跨学科·地理】 )(2025湖南)如图，北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC＝40°)，东经116°，三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC＝15°)，东经116°.设地球的半径约为R千米，则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为( ) A． eq \f(5,72)πR千米 B． eq \f(1,12)πR千米 C． eq \f(5,36)πR千米 D． eq \f(2,9)πR千米 $