第二章　方程(组)与不等式(组) 课件2026年中考数学一轮专题复习（广西）

第7节　一元二次方程及其应用 数学 一元二次方程的有关概念(理解) 一般 形式 (其中a，b，c为常数，a≠0) 三个 条件 (1)整式方程；(2)只含有①____个未知数；(3)未知数的最高次数是②____ 一 2 一元二次方程的解法(理解，基本思想→降次) 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(了解) 1．一元二次方程根的判别式 定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为④_________，数学符号为Δ 根与判别 式的关系 (1)Δ＞0⇔方程有两个⑤________的实数根； (2)Δ＝0⇔方程有两个⑥______的实数根； (3)Δ<0⇔方程⑦_______实数根 注意 题中如果出现一元二次方程“有实数根”或“有两个实数根”，那么Δ≥0 b2－4ac 不相等 相等 没有 2.一元二次方程根与系数的关系(2022课标调整为考查内容) 如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝⑧______，x1x2＝⑨________ 注意：利用根与系数的关系解题的前提是根的判别式b2－4ac≥0 一元二次方程的实际应用 变化率 问题 平均增长(下降)率问题：设a为原来量，m为平均增长(下降)率，若连续增长(下降)2次，b为增长(下降)后的量，则a(1±m)2＝b 销售中的“每每”问题 (1)常用公式：利润＝单件利润×销量； (2)若每件成本为a元，售价为m元，销量为n件，售价每降低d元，则可多卖出c件．设售价降低了x元，则每件的利润为⑩__________元，销量增加⑪_______件，销量变为⑫__________件，则降价后的利润w＝⑬__________________元 (m－x－a) (a－x)(b－x) (a－2x)(b－2x) 面积问题 (2)如图⑤⑥，用总长为 a 米的篱笆，一边靠墙，围成一个矩形，若平行于墙的一边长x米(墙的长度大于x米)，则所围成矩形的面积S＝⑯__________平方米；当边上留1米宽的门时，所围成矩形的面积S＝⑰_____________平方米；如图⑦，当在矩形 ABCD 的四个角各剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该盒子的底面积S＝⑱_______________平方米 (a－2x)(b－2x) 1．解下列方程： (1)(x＋4)2＝5(x＋4);     (2)2x2－5x＋1＝0. 解：由(x＋4)2＝5(x＋4)， 得(x＋4)(x＋4－5)＝0， ∴x＋4＝0或x－1＝0， ∴x1＝－4，x2＝1； 解一元二次方程 已知关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0. (1)若此方程没有实数根，则a的取值范围为__________； (2)若此方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________； (3)若此方程有两个相等的实数根，则a的取值范围为________； (4)若此方程有一个根为3，则a的值为______，方程的另一个根为______； (5)若此方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝8，则a的值为______． a＜1 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 a＞1 a＝1 2 1 2 2．(2025广安)关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是(  ) A．没有实数根    B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根    D．无法确定 3．(2025湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(  ) A．x1＋x2＝－4    B．x1＋x2＝3    C．x1x2＝4    D．x1x2＝3 B D －1 2 027 6．(2025威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9块矩形地块，请你求出小路的宽度． 一元二次方程的实际应用 7．【数学文化·田亩比类乘除捷法】(2025辽宁)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A．x(60－x)＝864 B．x(x－60)＝864 C．x(60＋x)＝864 D．2[x＋(x＋60)]＝864 A 直接开 平方法 x2＝p(p≥0) x＝± eq \r(p) 口诀：左平方右常数，直接开方最理想 易错警示：开方后所得值前记得加“±” (x＋n)2＝p(p≥0) x＝± eq \r(p)－n 因式 分解法 (x－a)(x－b)＝0 x1＝a，x2＝b 易错警示：方程两边含有相同因式，如3x(x－2)＝2(x－2)，等式两边不能同时约去公因式 x(ax＋b)＝0 x1＝0，x2＝－ eq \f(b,a) 公式法 ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0) x＝③____________ 易错警示：在使用求根公式时，要将一元二次方程化为一般形式，确定a，b，c的值时要带符号 eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) 配方法 形如：x2＋2mx＋n＝0(4m2－4n≥0)， 配方得x2＋2mx＋m2＝－n＋m2， 整理得(x＋m)2＝－n＋m2， 解得x＝± eq \r(－n＋m2)－m 易错警示：二次项系数不是1的先化为1 － eq \f(b,a) eq \f(c,a) eq \f(cx,d) (n＋ eq \f(cx,d)) (m－x－a)(n＋ eq \f(cx,d)) 握手(单循环)问题、互赠礼物问题 握手、单循环赛总次数为 eq \f(n(n－1),2)(n为人数或队伍数)； 礼物总份数为n(n－1)(n为人数) 1个传播源，一轮传播x人，则第一轮共传播(1＋x)人，经过两轮传播后共传播[1+x+x(1+x)]人，即(1＋x)2 人 面积问题 (1)矩形ABCD 的长为a，宽为b，阴影部分的宽为x，则：如图①②③，S空白＝⑭______________；如图④，S空白＝⑮______________； x· eq \f(a－x,2) x· eq \f(a＋1－x,2) 解：∵a＝2，b＝－5，c＝1， ∴b2－4ac＝(－5)2－4×2×1＝17＞0， ∴x＝ eq \f(5±\r(17),4)， ∴x1＝ eq \f(5＋\r(17),4)，x2＝ eq \f(5－\r(17),4). 4．(2025广元)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－ eq \f(1,2)＝0有两个相等的实数根，则a＝__________． 5．(2025绥化)已知m，n是关于x的一元二次方程x2－2 025x＋1＝0的两个根，则(m＋1)(n＋1)＝__________． 解：设小路的宽度为x m，则9块矩形地块可合成长为(20－4x) m，宽为(14－4x) m的矩形，根据题意得(20－4x)(14－4x)＝24×9，整理得2x2－17x＋8＝0，解得x1＝ eq \f(1,2)，x2＝8(不符合题意，舍去).答：小路的宽度为 eq \f(1,2) m． $第6节　分式方程及其应用 数学 分式方程及其解法(掌握) 概念 分母中含有①_________的方程 一般步骤 口诀：一化、二解、三检验、四写根 增根 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的最简公分母为②____的根 无解 分式方程无解可能是整式方程的解使得最简公分母为0，也可能是去分母后的整式方程无解 未知数 0 分式方程的实际应用(掌握) 1 解分式方程及解的应用 2或－1 k＜2且k≠－1 1或－7 解：原方程去分母得x－2－2x＋1＝－1，解得x＝0，检验：当x＝0时，2x－1＝－1≠0，则原方程的解为x＝0. D 解：原方程去分母得2x＝3(x＋1)，整理得2x＝3x＋3，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，x(x＋1)＝6≠0，则原方程的解为x＝－3. C 分式方程的实际应用 5．(2025广安节选)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．求A，B两种帐篷的单价各为多少元． A 一般步骤 审题→设未知数→找等量关系→列分式方程→解分式方程→双检验→作答 行程问题 时间＝ eq \f(路程,速度)，速度＝ eq \f(路程,时间)， eq \f(相同路程,慢速度)－ eq \f(相同路程,快速度)＝时间差 购买问题 eq \f(总价,单价)＝数量， eq \f(甲商品总售价,甲商品单价)－ eq \f(乙商品总售价,乙商品单价)＝数量差 工程问题 eq \f(工作总量,工作效率)＝工作时间，特别地，工作总量未定时，设工作总量为1，则工作效率＝ eq \f(1,工作时间) eq \f(工作总量,原工作效率)－ eq \f(工作总量,改善后的工作效率)＝时间差， eq \f(甲的工作总量,甲的工作效率)－ eq \f(乙的工作总量,乙的工作效率)＝时间差 已知关于x的分式方程 eq \f(kx,x－3)－2＝ eq \f(3,3－x).(k为常数) (1)若该方程的解为x＝9，则k＝________； (2)若该方程无解，则k＝____________； (3)若该方程的解为正数，则k的取值范围为__________________； (4)若该方程的解为正整数，且k为整数，则k＝______________． 1．(2025遂宁)若关于x的分式方程 eq \f(3－ax,2－x)＝ eq \f(a,x－2)－1无解，则a的值为( ) A．2 B．3 C．0或2 D．－1或3 2．(2025威海)解分式方程： eq \f(x－2,2x－1)－1＝ eq \f(1,1－2x). 3．(2025连云港)解方程： eq \f(2,x＋1)＝ eq \f(3,x). 4．(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15吨，A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等．若设B货车每小时运输化工原料x吨，则可列方程为( ) A． eq \f(300,15＋x)＝ eq \f(450,x) B． eq \f(300,15－x)＝ eq \f(450,x) C． eq \f(450,15＋x)＝ eq \f(300,x) D． eq \f(450,15－x)＝ eq \f(300,x) 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元，由题意得 eq \f(1 800,x)＝ eq \f(3 000,x＋400)，解得x＝600.经检验，x＝600符合题意，∴x＋400＝1 000.答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元． 6． eq \a\vs4\al(【数学文化·计算之书】 )数学家斐波那契编写的《计算之书》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程( ) A． eq \f(10,x)＝ eq \f(40,x＋6) B． eq \f(10,x)＝ eq \f(40,x－6) C． eq \f(10,x＋6)＝ eq \f(40,x) D． eq \f(10,x－6)＝ eq \f(40,x) $第5节　一次方程(组)及其应用 等式的基本性质及应用(掌握) b±c bc 概念 解 题 步 骤 解 题 步 骤 解 题 步 骤 解 题 步 骤 解 题 步 骤 解的应用 概念 去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 解的应用 在一个方程中，只含有④_______个未知数，且未知数的次数都是⑤____的整式方程  2(x＋2)＝20－⑥__________ 2x＋4＝20－⑦___________ 2x＋5x＝20＋5－4 7x＝21 x＝⑧____ 若x＝m是关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解，则km＋b＝0 在一个方程中，只含有④_______个未知数，且未知数的次数都是⑤____的整式方程  (1)不要漏乘不含分母的项；(2)分子是多项式时，去分母后要加括号 (1)括号前的数要乘括号内的每一项； (2)去括号时，注意是否需要变号 移项一定要变号 系数相加，未知数及其指数不变 不要漏掉符号，分子、分母不要颠倒 若x＝m是关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解，则km＋b＝0 一个 1 5(x－1) 5x＋5 3 二元一次方程组及其解法(掌握) 一次方程(组)的实际应用(掌握) 工作时间 行程 问题 行程 问题 行程 问题 行程 问题 阶梯费用问题 比赛积分问题 路程＝速度×时间，即s＝vt  相遇 问题 追及 问题 追及 问题 总费用＝未超过部分费用＋超过部分费用，未超过部分费用＝未超过部分单位费用×数量，超过部分费用＝超过部分单位费用×数量  总场数＝胜场数＋负场数＋平场数，总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分 路程＝速度×时间，即s＝vt  s甲＋s乙＝AB，t甲＝t乙 同时不同地：s甲＝s乙＋AC，t甲＝t乙 同地不同时：甲出发a小时后乙出发，在B处乙追上甲，则s甲＝s乙，t甲＝t乙＋a 总费用＝未超过部分费用＋超过部分费用，未超过部分费用＝未超过部分单位费用×数量，超过部分费用＝超过部分单位费用×数量  总场数＝胜场数＋负场数＋平场数，总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分 路程＝速度×时间，即s＝vt    总费用＝未超过部分费用＋超过部分费用，未超过部分费用＝未超过部分单位费用×数量，超过部分费用＝超过部分单位费用×数量  总场数＝胜场数＋负场数＋平场数，总积分＝胜场积分＋负场积分＋平场积分 C 解一次方程(组)及解的应用 －7 1 A 一次方程(组)的实际应用 4．“洛书”是世界上最古老的一个三阶幻方，它有3行3列，三横行的三个数之和，三竖列的三个数之和，两对角线的三个数之和都相等．其实幻方就是把一些有规律的数填在正方形图内，使每一行、每一列和每一条对角线上各个数之和都相等，如图，幻方中a＋b的值是________． 21   11   12 17 a 15 b 5．(2025德阳节选)中江挂面以“细如发丝、清如白玉、耐煮不糊、入口绵软”闻名遐迩，其独特的空心技艺传承千年，从揉面、开条、上筷到拉扯成型，需经十余道古法工序．数学兴趣小组走进某老字号挂面厂进行调研，已知购买2袋A型与2袋B型挂面共需费用100元，购买3袋A型与2袋B型挂面共需费用120元．求A型、B型挂面的单价分别是多少元．    C 第8节　一元一次不等式(组)及其应用 不等式的概念及基本性质(探索) >，<，≥，≤，≠ > <bc 一元一次不等式的解法及解集表示(掌握) 概念 求解步骤 解集表示 解集表示 解集表示 解集表示 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式  去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1  x<a x>a x≤a x≥a 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式  去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1  只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做一元一次不等式  去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1  定方向：<，≤向左画  >，≥向右画 定边界：<，>用空心圆圈， ≤，≥用实心圆点 口诀：有等号实心，无等号空心 定方向：<，≤向左画  >，≥向右画 定边界：<，>用空心圆圈， ≤，≥用实心圆点 口诀：有等号实心，无等号空心 定方向：<，≤向左画  >，≥向右画 定边界：<，>用空心圆圈， ≤，≥用实心圆点 口诀：有等号实心，无等号空心 定方向：<，≤向左画  >，≥向右画 定边界：<，>用空心圆圈， ≤，≥用实心圆点 口诀：有等号实心，无等号空心 一元一次不等式组的解法及解集表示(掌握) 不等式组 的解法步骤 (1)先分别求出不等式组中每个不等式的解集； (2)将每个不等式的解集在同一个数轴上表示出来； (3)确定解集的公共部分，根据公共部分写出不等式组的解集，如果没有公共部分，那么不等式组无解 x≤b 无解 一元一次不等式(组)的实际应用(掌握) 一般步骤 常用关键词 符号 (1)审清题意；(2)设未知数；(3)找出数量关系列不等式(组)；(4)解不等式(组)； (5)检验并写出答案   大于、多于、超过、高于 ＞ (1)审清题意；(2)设未知数；(3)找出数量关系列不等式(组)；(4)解不等式(组)； (5)检验并写出答案   小于、少于、不足、低于 ＜ (1)审清题意；(2)设未知数；(3)找出数量关系列不等式(组)；(4)解不等式(组)； (5)检验并写出答案   至少、不低于、不小于、不少于 ≥ (1)审清题意；(2)设未知数；(3)找出数量关系列不等式(组)；(4)解不等式(组)； (5)检验并写出答案   至多、不超过、 不高于、不大于 ≤ x＞8 解一元一次不等式(组)及解的应用 x≤4m－2 3 【方法指导】 1．先将字母作为已知数，求出不等式组的解集． 2．借助数轴准确的把不等式组的有解、无解、有几个整数解的问题表示出来． 3．根据题干条件列出关于含有字母的不等式，求解该不等式得到字母的大致取值范围． 4．检验临界(端点)值，将3中得到的字母的临界值代入原不等式组，检验是否满足题意，若满足，则该临界值也在取值范围内，否则就不在． 1．(2024湖北)不等式x＋1≥2的解集在数轴上表示正确的是( ) A 3 解：解不等式①，得x＞2，解不等式②，得x≤8，故原不等式组的解集为2＜x≤8. 4．甲、乙两个水池注满水，蓄水量均为36 m3.工作期间需同时排水，乙池的排水速度是8 m3/h.若排水3 h，则甲池剩余水量是乙池剩余水量的2倍． (1)求甲池的排水速度； (2)工作期间，如果这两个水池剩余水量的和不少于24 m3，那么最多可以排水几小时？ 解：(1)设甲池的排水速度是x m3/h.根据题意得36－3x＝2×(36－3×8)，解得x＝4，∴甲池的排水速度是4 m3/h； (2)设排水t小时，根据题意得36×2－(4＋8)t≥24，解得t≤4，∴t的最大值为4，∴最多可以排水4小时． 一元一次不等式的实际应用 5．(2025湖北)某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元/千克，B水果标价18元/千克． (1)小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？ (2)妈妈让小明再到这家商店买A，B两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果m千克． ①若这两种水果按标价出售，求m的取值范围； ②小明到这家商店后，发现A，B两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折(注：“打七五折”指按标价的75%出售).若小明合计付款48元，求m的值．