第2章 相交线与平行线练习卷（提高篇）2025-2026学年北师大版七年级数学下册

北师版七年级下册第2章 相交线与平行线练习卷（提高篇） 一．选择题（共7小题） 1．如图，AB∥CD，EB平分∠FED，若∠1＝36°，则∠2的度数为（　　） A．108° B．106° C．100° D．96° 2．现有一张长方形彩带，将其沿BC折叠成如图所示图形，若∠1＝122°，则∠2的度数为（　　） A．56° B．58° C．64° D．66° 3．如图，AB∥EF，设∠C＝90°，那么x、y和z的关系是（　　） A．y＝x+z B．x+y﹣z＝90° C．x+y+z＝180° D．y+z﹣x＝90° 4．下列说法正确的有（　　） ①两点之间的所有连线中，线段最短； ②相等的角叫对顶角； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤两点之间的距离是两点间的线段； ⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，已知长方形纸片ABCD，点E，H在AD边上，点F，G在BC边上，分别沿EF，GH折叠，使点B和点C都落在点P处，若∠FEH+∠EHG＝118°，则∠FPG的度数为（　　） A．54° B．55° C．56° D．57° 6．如图，在下列给出的条件中，不能判定AB∥DF的是（　　） A．∠A＝∠3 B．∠A+∠2＝180° C．∠1＝∠4 D．∠1＝∠A 7．如图，CD∥AB，BC平分∠ACD，CF平分∠ACG，点G、C、D共线，点B、E、A、F共线，∠BAC＝40°，∠1＝∠2，则下列结论：①CB⊥CF；②∠1＝70°；③∠3＝2∠4；④∠ACE＝2∠4．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题（共5小题） 8．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝　 　 °． 9．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　 ． 10．如图，将一副三角板按如图放置，则下列结论：①∠1＝∠3；②如果∠2＝30°，则有AC∥DE；③如果∠2＝30°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，必有∠4＝∠C．其中正确的有 　 　 ．（填序号） 11．如图，将长方形ABCD沿EF翻折，再沿ED翻折，若∠FEA″＝105°，则∠CFE＝　 　 度． 12．图1是一张足够长的纸条，其中PN∥QM，点A、B分别在PN、QM上，记∠ABM＝α（0°＜α＜90°）．如图2，将纸条折叠，使BM与BA重合，得折痕BR1，如图3，将纸条展开后再折叠，使BM与BR1重合，得折痕BR2，将纸条展开后继续折叠，使BM与BR2重合，得折痕BR3…依此类推，第n次折叠后，∠ARnN＝　 　 （用含a和n的代数式表示） 三．解答题（共22小题） 13．已知，如图，EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C，求证：AB∥MN． 14．如图，已知∠ABC+∠ECB＝180°，∠P＝∠Q．求证：∠1＝∠2． 15．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 16．已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 17．如图：已知，∠HCO＝∠EBC，∠BHC+∠BEF＝180°． （1）求证：EF∥BH； （2）若BH平分∠EBO，EF⊥AO于F，∠HCO＝64°，求∠CHO的度数． 18．如图，AC∥FE，∠1+∠3＝180°． （1）判定∠FAB与∠4的大小关系，并说明理由； （2）若AC平分∠FAB，EF⊥BE于点E，∠4＝78°，求∠BCD的度数． 19．如图，在三角形ABC中，点D，F在边BC上，点E在边AB上，点G在边AC上，EF与GD的延长线交于点H，∠1＝∠B，∠2+∠3＝180°． （1）判断EH与AD的位置关系，并说明理由． （2）若∠DGC＝58°，且∠H＝∠4+10°，求∠H的度数． 20．如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG＝90°，∠E＝35°，求∠EFB的度数． 21．如图，E点为DF上的点，B为AC上的点，∠1＝∠2，∠C＝∠D． 试说明：AC∥DF． 22．（1）【问题解决】如图1，已知AB∥CD，∠BEP＝36°，∠CFP＝152°，求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】如图2，若AB∥CD，点P在AB的上方，则∠PFC，∠PEA，∠EPF之间有何数量关系？并说明理由； （3）【联想拓展】如图3，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，求∠G的度数（结果用含α的式子表示）． 23．如图，点D、E在AB上，点F、G分别在BC、CA上，且DG∥BC，∠1＝∠2． （1）求证：DC∥EF； （2）若EF⊥AB，∠1＝55°，求∠ADG的度数． 24．如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°． （1）试证明∠B＝∠ADG； （2）求∠BCA的度数． 25．如图，直线CD、EF交于点O，OA，OB分别平分∠COE和∠DOE，且∠1+∠2＝90°． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠2：∠3＝2：5，求∠AOF的度数． 26．如图，已知AB∥CD，现将一直角三角形PMN放入图中，其中∠P＝90°，PM交AB于点E，PN交CD于点F （1）当△PMN所放位置如图①所示时，则∠PFD与∠AEM的数量关系为 　 　 ； （2）当△PMN所放位置如图②所示时，求证：∠PFD﹣∠AEM＝90°； （3）在（2）的条件下，若MN与CD交于点O，且∠DON＝30°，∠PEB＝15°，求∠N的度数． 27．已知：如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1＝∠2，求证：CD⊥AB． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知）． ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义）， ∴DG∥AC（　 　 ）， ∴∠2＝　 　 （　 　 ）， ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠　 　 （等量代换）， ∴EF∥CD（　 　 ）， ∴∠AEF＝∠　 　 （　 　 ）， ∵EF⊥AB（已知）， ∴∠AEF＝90°（　 　 ）， ∴∠ADC＝90°（　 　 ）， ∴CD⊥AB（　 　 ）． 28．（1）【问题】 如图1，若AB∥CD，∠BEP＝25°，∠PFC＝150°．求∠EPF的度数； （2）【问题迁移】 如图2，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； （3）【联想拓展】 如图3所示，在（2）的条件下，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，用含有α的式子表示∠G的度数． 29．如图，已知点A在EF上，点P，Q在BC上，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ． （1）求证：EF∥BC； （2）若FP⊥AC，∠2+∠C＝90°，求证：∠1＝∠B； （3）若∠3+∠4＝180°，∠BAF＝3∠F﹣20°，求∠B的度数． 30．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　 　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 31．如图，∠BAP+∠APD＝180°，∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2． （1）若∠1＝55°，求∠2的度数； （2）求证：AE∥FP． 32．已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图1，若α＝80°，直接写出∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图2，点N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，，，∠DFM＝20°，求∠ENF的度数；（结果可用含α的式子表示） （3）如图3，点N是AB下方一点，连接NE、NF，若MF的延长线FP是∠CFN的三等分线，EN平分∠AEM交FP于点G，2∠ENF+∠EMF＝110°，求∠CFN的度数． 33．阅读并理解下面的证明过程，并在每步后的括号内填写该步推理的依据． 已知：如图，∠ADC＝∠ABC，BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC，且∠1＝∠2． 求证：∠A＝∠C． 证明：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴∠1∠ADC　 　 ， ∵∠ABC＝∠ADC（已知）． ∴∠ADC　 　 ， ∴∠1＝∠3　 　 ， 又因为∵∠1＝∠2　 　 ， ∴∠2＝∠3　 　 ． ∴AB∥CD　 　 ， ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°　 　 ． ∴∠A＝∠C　 　 ． 34．如图，已知：∠1与∠2互补，∠A＝∠D，求证：AB∥CD． 参考答案与试题解析 一．选择题（共7小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 A B B B C D A 一．选择题（共7小题） 1．【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， ∵EB平分∠FED，且∠1＝36°， ∴∠FED＝2∠1＝72°， ∴∠3＝180°﹣∠FED＝108°． ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠3＝108°． 故选：A． 2．【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：如图所示， 因为长方形的对边平行， 所以∠3+∠1＝180°． 因为∠1＝122°， 所以∠3＝58°． 由折叠可知， ∠2＝∠3＝58°． 故选：B． 3．【分析】过C作CM∥AB，延长CD交EF于N，根据三角形外角性质求出∠CNE＝y﹣z，根据平行线性质得出∠1＝x，∠2＝∠CNE，代入求出即可． 【解答】解：过C作CM∥AB，延长CD交EF于N， 则∠CDE＝∠E+∠CNE， 即∠CNE＝y﹣z ∵CM∥AB，AB∥EF， ∴CM∥AB∥EF， ∴∠ABC＝x＝∠1，∠2＝∠CNE， ∵∠BCD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∴x+y﹣z＝90°． 故选：B． 4．【分析】①根据两点之间线段最短判断． ②对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． ③根据平行公理进行判断． ④根据垂线的性质进行判断． ⑤距离是指的长度． ⑥根据在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系． 【解答】解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确． ②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误． ③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误． ④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误． ⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误． ⑥在同一平面内，直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：B． 5．【分析】根据四边形ABCD是长方形，可得AD∥BC，得∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH，所以可得∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°，由折叠可得EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线，可得∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°，进而可得∠FPG的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠FEH＝∠BFE，∠EHG＝∠CGH， ∴∠BFE+∠CGH＝∠FEH+∠EHG＝118°， 由折叠可知： EF，GH分别是∠BFP和∠CGP的角平分线， ∴∠PFE＝∠BFE，∠PGH＝∠CGH， ∴∠PFE+∠PGH＝∠BFE+∠CGH＝118°， ∴∠BFP+∠CGP＝2（∠BFE+∠CGH）＝236°， ∴∠PFG+∠PGF＝360°﹣（∠BFP+∠CGP）＝360°﹣236°＝124°， ∴∠FPG＝180°﹣（∠PFG+∠PGF）＝180°﹣124°＝56°． 故选：C． 6．【分析】利用平行线的判定定理，逐一判断，容易得出结论． 【解答】解：A、因为∠A＝∠3，所以AB∥DF（同位角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． B、因为∠A+∠2＝180，所以AB∥DF（同旁内角互补，两直线平行），故本选项不符合题意． C、因为∠1＝∠4，所以AB∥DF（内错角相等，两直线平行），故本选项不符合题意． D、因为∠1＝∠A，所以AC∥DE（同位角相等，两直线平行），不能证出AB∥DF，故本选项符合题意． 故选：D． 7．【分析】根据角平分线的意义和平角的定义即可判断①；根据两直线平行，内错角相等和外角的性质得出∠AFC＝∠4＝∠ACF＝20°，∠BCD＝∠2，再根据角的和差即可判断②；根据三角形内角和定理即可判断③；根据外角的性质即可判断④． 【解答】解：∵BC平分∠ACD，CF平分∠ACG， ∴， ∵∠ACD+∠ACG＝180°， ∴， ∴CB⊥CF，①正确； ∵CD∥AB，∠BAC＝40°＝∠AFC+∠ACF， ∴∠AFC＝∠4＝∠ACF＝20°，∠BCD＝∠2， ∴∠BCD＝90°﹣∠4＝70°＝∠2， ∴∠1＝∠2＝70°，②正确； ∵∠1+∠2+∠3＝180°， ∴∠3＝180°﹣∠1﹣∠2＝40°， ∴∠3＝2∠4，③正确； ∵∠1＝∠BAC+∠ACE， ∴∠ACE＝∠1﹣∠BAC＝30°≠2∠4，④错误； 故选：A． 二．填空题（共5小题） 8．【分析】先根据∠DEF＝72°求出∠EFC的度数，进而可得出∠EFB和∠BFH的度数，根据∠H＝90°和三角形的内角和可得∠HMF的度数，再由折叠的性质可得∠GMN． 【解答】解：∵AD∥CB， ∴∠EFC+∠DEF＝180°，∠EFB＝∠DEF， 即∠EFC＝180°﹣72°＝108°，∠EFB＝72°， ∴∠BFH＝108°﹣72°＝36°． ∵∠H＝∠D＝90°， ∴∠HMF＝180°﹣90°﹣36°＝54°． 由折叠可得：∠NMF＝∠HMF＝54°， ∴∠GMN＝72°． 故答案为：72． 9．【分析】先根据角平分线的定义，得出∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC，再根据三角形内角和定理，推理得出∠BAD+∠BCD＝2∠E，进而求得∠E的度数． 【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴∠BAD+∠BCD＝2∠E， ∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°， ∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°． 故答案为：55°． 10．【分析】根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． 【解答】解：①∵∠CAB＝∠EAD＝90°， ∴∠1＝∠CAB﹣∠2，∠3＝∠EAD﹣∠2， ∴∠1＝∠3． ∴①正确． ②∵∠2＝30°， ∴∠1＝90°﹣30°＝60°， ∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE． ∴②正确． ③∵∠2＝30°， ∴∠3＝90°﹣30°＝60°， ∵∠B＝45°， ∴BC不平行于AD． ∴③错误． ④由②得AC∥DE． ∴∠4＝∠C． ∴④正确． 故答案为：①②④． 11．【分析】利用角的和差关系及对折后对应角的特点，先用含∠DEF的代数式表示出∠A′EF，再用含∠A″EF、∠DEF表示出∠A′ED，最后根据∠A′EF＝∠AEF得关于∠DEF的方程，先求出∠DEF，再求出∠CFE． 【解答】解：由四边形ABFE沿EF折叠得四边形A′B′FE， ∴∠A′EF＝∠AEF． ∵∠A′EF＝∠A′ED+∠DEF，∠AEF＝180°﹣∠DEF． ∴∠A′ED+∠DEF＝180°﹣∠DEF． 由四边形A′B′ME沿AD折叠得四边形A″B″ME， ∴∠A′ED＝∠A″ED． ∵∠A″ED＝∠A″EF+∠DEF＝105°+∠DEF， ∴∠A′ED＝105°+∠DEF． ∴105°+∠DEF+∠DEF＝180°﹣∠DEF． ∴∠DEF＝25°． ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB＝25°． ∴∠CFE＝180°﹣∠EFB ＝180°﹣25° ＝155°． 故答案为：155． 12．【分析】由折叠的性质折叠n次可得∠Rn﹣1RnB，然后根据四边形内角和及补角性质可得答案． 【解答】解：由折叠可知∠AR1B， ∠AR2Bα， .....． ∠ARn﹣1Bα， ∴∠MAR1＝∠AR1B+∠ABR1＝α， 同理∠MR1R2α， ∠MR2R3α， .....． ∠MRn﹣1Rnα， ∴∠ARnN＝180°； 故答案为：180°． 三．解答题（共22小题） 13．【分析】由于EF⊥AC，DB⊥AC得到EF∥DM，根据平行线的性质得∠2＝∠CDM，而∠1＝∠2，则∠1＝∠CDM，根据平行线的判定得到MN∥CD，所以∠C＝∠AMN，又∠3＝∠C，于是∠3＝∠AMN，然后根据平行线的判定即可得到AB∥MN． 【解答】证明：∵EF⊥AC，DB⊥AC， ∴EF∥DM， ∴∠2＝∠CDM， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠CDM， ∴MN∥CD， ∴∠C＝∠AMN， ∵∠3＝∠C， ∴∠3＝∠AMN， ∴AB∥MN． 14．【分析】先判定AB∥CD，则∠ABC＝∠BCD，再由∠P＝∠Q，则∠PBC＝∠QCB，从而得出∠1＝∠2． 【解答】证明：∵∠ABC+∠ECB＝180°， ∴AB∥DE， ∴∠ABC＝∠BCD， ∵∠P＝∠Q， ∴PB∥CQ， ∴∠PBC＝∠BCQ， ∵∠1＝∠ABC﹣∠PBC，∠2＝∠BCD﹣∠BCQ， ∴∠1＝∠2． 15．【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠FAC，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠BDC； （2）根据角平分线的定义得到∠FAD＝2∠FAC，即∠FAD＝2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 16．【分析】（1）求出AE∥GF，求出∠2＝∠A＝∠1，根据平行线的判定推出即可； （2）根据平行线的性质得出∠D+∠CBD+∠3＝180°，求出∠3，根据平行线的性质求出∠C即可． 【解答】（1）证明：∵AE⊥BC，FG⊥BC， ∴AE∥GF， ∴∠2＝∠A， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠A， ∴AB∥CD； （2）解：∵AB∥CD， ∴∠D+∠CBD+∠3＝180°， ∵∠D＝∠3+60°，∠CBD＝70°， ∴∠3＝25°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠3＝25°． 17．【分析】（1）要证明EF∥BH，可通过∠E与∠EBH互补求得，利用平行线的性质说明∠EBH＝∠CHB可得结论． （2）要求∠CHO的度数，可通过平角和∠FHC求得，利用（1）的结论及角平分线的性质求出∠FHB及∠BHC的度数即可． 【解答】证明：（1）∵∠HCO＝∠EBC， ∴EB∥HC． ∴∠EBH＝∠CHB． ∵∠BHC+∠BEF＝180°， ∴∠EBH+∠BEF＝180°． ∴EF∥BH． （2）解：∵∠HCO＝∠EBC， ∴∠HCO＝∠EBC＝64°， ∵BH平分∠EBO， ∴∠EBH＝∠CHB∠EBC＝32°． ∵EF⊥AO于F，EF∥BH， ∴∠BHA＝90°． ∴∠FHC＝∠BHA+∠CHB＝122°． ∵∠CHO＝180°﹣∠FHC ＝180°﹣122° ＝58°． 18．【分析】（1）由已知可证得∠2＝∠3，根据平行线的判定得到FA∥CD，根据平行线的性质即可得到∠FAB＝∠4； （2）根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【解答】解：（1）∠FAB＝∠4， 理由如下： ∵AC∥EF， ∴∠1+∠2＝180°， 又∵∠1+∠3＝180°， ∴∠2＝∠3， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠4； （2）∵AC平分∠FAB， ∴∠2＝∠CAD， ∵∠2＝∠3， ∴∠CAD＝∠3， ∵∠4＝∠3+∠CAD， ∴， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠3＝51°． 19．【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得AB∥GD，从而得∠2＝∠BAD，则可求得∠BAD+∠3＝180°，即可证得EH∥AD； （2）由平行线的性质可得∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC，可得∠BAC＝58°，再利用平行线的性质可求得∠H＝∠BAD，则可求∠4的度数，从而求∠H的度数． 【解答】解：（1）EH∥AD，理由如下： ∵∠1＝∠B， ∴AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD， ∵∠2+∠3＝180°， ∴∠BAD+∠3＝180°， ∴EH∥AD； （2）由（1）得AB∥GD， ∴∠2＝∠BAD，∠DGC＝∠BAC， ∵∠DGC＝58°， ∴∠BAC＝58°， ∵EH∥AD， ∴∠2＝∠H， ∴∠H＝∠BAD， ∴∠BAC＝∠BAD+∠4＝∠H+∠4＝58°， ∵∠H＝∠4+10°， ∴∠4+10°+∠4＝58°， 解得：∠4＝24°， ∴∠H＝34°． 20．【分析】依据三角形内角和定理可得∠FGH＝55°，再根据GE平分∠FGD，AB∥CD，即可得到∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°，再根据∠FHG是△EFH的外角，即可得出∠EFB＝55°﹣35°＝20°． 【解答】解：∵∠EFG＝90°，∠E＝35°， ∴∠FGH＝55°， ∵GE平分∠FGD，AB∥CD， ∴∠FHG＝∠HGD＝∠FGH＝55°， ∵∠FHG是△EFH的外角， ∴∠EFB＝55°﹣35°＝20°． 21．【分析】根据已知条件∠1＝∠2及对顶角相等求得同位角∠2＝∠3，从而推知两直线DB∥EC，所以同位角∠C＝∠ABD；然后由已知条件∠C＝∠D推知内错角∠D＝∠ABD，所以两直线AC∥DF． 【解答】解：∵∠1＝∠2（已知） （1分） ∠1＝∠3（ 对顶角相等 ） （2分） ∴∠2＝∠3（等量代换） （3分） ∴DB∥EC （ 同位角相等，两直线平行 ） （5分） ∴∠C＝∠ABD （ 两直线平行，同位角相等 ） （7分） 又∵∠C＝∠D（已知） （8分） ∴∠D＝∠ABD（ 等量代换 ） （10分） ∴AC∥DF（ 内错角相等，两直线平行 ） （12分） 22．【分析】（1）过点P作PG∥AB，利用猪脚模型即可解答； （2）过点P作PG∥AB，从而可得∠EPG＝∠PEA，PG∥CD，然后利用平行线的性质可得∠PFC＝∠FPG，从而利用角的和差关系以及等量代换即可解答； （3）根据角平分线的定义可得∠GFC∠PFC，∠GEA∠AEP，然后利用（2）的结论进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点P作PG∥AB， ∴∠BEP＝∠EPG＝36°， ∵AB∥CD， ∴GP∥CD， ∴∠FPG＝180°﹣∠CFP＝28°， ∴∠EPF＝∠EPG+∠FPG＝64°， ∴∠EPF的度数为64°； （2）∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA， 理由：过点P作PG∥AB， ∴∠EPG＝∠PEA， ∵AB∥CD， ∴PG∥CD， ∴∠PFC＝∠FPG， ∵∠EPF＝∠FPG﹣∠EPG， ∴∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA； （3）∵FG平分∠PFC，EG平分∠AEP， ∴∠GFC∠PFC，∠GEA∠AEP， 由（2）可得：∠G＝∠GFC﹣∠GEA， ∵∠EPF＝∠PFC﹣∠PEA＝α ∴∠G＝∠GFC﹣∠GEA ∠PFC∠AEP （∠PFC﹣∠PEA） α， ∴∠G的度数为α． 23．【分析】（1）欲证明DC∥EF，只要证明∠2＝∠DCB即可． （2）由DG∥BC，可知∠ADG＝∠B，求出∠B即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵DG∥BC， ∴∠1＝∠DCB， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠DCB， ∴DC∥EF． （2）解：∵EF⊥AB， ∴∠FEB＝90°， ∵∠1＝∠2＝55°， ∴∠B＝90°﹣55°＝35°， ∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B＝35°． 24．【分析】（1）由CD⊥AB，FE⊥AB，则CD∥EF，则∠2＝∠BCD，从而证得BC∥DG，即∠B＝∠ADG； （2）由CD∥EF，则∠3＝∠BCG． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB， ∴CD∥EF， ∴∠2＝∠BCD， ∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BCD， ∴BC∥DG， ∴∠B＝∠ADG； （2）解：∵DG∥BC， ∴∠3＝∠BCG， ∵∠3＝80°， ∴∠BCA＝80°． 25．【分析】（1）先利用角平分线的定义可得∠AOC∠COE，∠2∠DOE，从而利用平角定义可得∠AOC+∠2＝90°，然后利用同角的余角相等可得∠AOC＝∠1，再利用平行线的判定可得AB∥CD，即可解答； （2）利用（1）的结论可得∠DOE：∠3＝4：5，然后利用平角定义可得∠DOE＝80°，∠3＝100°，然后利用对顶角相等可得∠COE＝∠3＝100°，再利用角平分线的定义可得∠AOE＝50°，从而利用平角定义进行计算即可解答． 【解答】（1）证明：∵OA，OB分别平分∠COE和∠DOE， ∴∠AOC∠COE，∠2∠DOE， ∵∠COE+∠DOE＝180°， ∴∠AOC+∠2∠COE∠DOE＝90°， ∵∠1+∠2＝90°， ∴∠AOC＝∠1， ∴AB∥CD； （2）解：∵∠2：∠3＝2：5，∠2∠DOE， ∴∠DOE：∠3＝4：5， ∵∠DOE+∠3＝180°， ∴∠DOE＝180°80°，∠3＝180°100°， ∴∠COE＝∠3＝100°， ∵OA平分∠COE， ∴∠AOE∠COE＝50°， ∴∠AOF＝180°﹣∠AOE＝130°， ∴∠AOF的度数为130°． 26．【分析】（1）由平行线的性质得出∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM，即可得出结果； （2）由平行线的性质得出∠PFD+∠1＝180°，再由角的互余关系即可得出结果； （3）由角的互余关系求出∠PHE，再由平行线的性质得出∠PFC的度数，然后由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】解：（1）作PG∥AB，如图①所示： 则PG∥CD， ∴∠PFD＝∠1，∠2＝∠AEM， ∵∠1+∠2＝∠P＝90°， ∴∠PFD+∠AEM＝∠1+∠2＝90°， 故答案为：∠PFD+∠AEM＝90°； （2）证明：如图②所示： ∵AB∥CD， ∴∠PFD+∠BHF＝180°， ∵∠P＝90°， ∴∠BHF+∠2＝90°， ∵∠2＝∠AEM， ∴∠BHF＝∠PHE＝90°﹣∠AEM， ∴∠PFD+90°﹣∠AEM＝180°， ∴∠PFD﹣∠AEM＝90°； （3）如图③所示： ∵∠P＝90°， ∴∠PHE＝90°﹣∠PEB＝90°﹣15°＝75°， ∵AB∥CD， ∴∠PFC＝∠PHE＝75°， ∵∠PFC＝∠N+∠DON， ∴∠N＝75°﹣30°＝45°． 27．【分析】灵活运用垂直的定义，注意由垂直可得90°角，由90°角可得垂直，结合平行线的判定和性质，只要证得∠ADC＝90°，即可得CD⊥AB． 【解答】解：证明过程如下： 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC（已知） ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直定义） ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行） ∴∠2＝∠ACD（两直线平行，内错角相等） ∵∠1＝∠2（已知） ∴∠1＝∠ACD（等量代换） ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行） ∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等） ∵EF⊥AB（已知） ∵∠AEF＝90°（垂直定义） ∴∠ADC＝90°（等量代换） ∴CD⊥AB（垂直定义）． 28．【分析】（1）过点P作PQ∥AB，根据平行线的性质可得∠FPQ＝30°，∠BEP＝∠EPQ＝25°，进而可求解； （2）过P点作PN∥AB，则PN∥CD，根据平行线的性质可得∠PEA＝∠NPE，即可得∠FPN＝∠PEA+∠FPE，结合PN∥CD可求解； （3）过点G作AB的平行线GH．由平行线的性质可得∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG，结合角平分线的定义，利用角的和差可求解． 【解答】解：（1）如图1，过点P作PQ∥AB， ∵PQ∥AB，AB∥CD， ∴CD∥PQ． ∴∠CFP+∠FPQ＝180° ∴∠FPQ＝180°﹣150°＝30°， 又∵PQ∥AB， ∴∠BEP＝∠EPQ＝25°， ∴∠EPF＝∠EPQ+∠FPQ＝25°+30°＝55°； （2）∠PFC＝∠PEA+∠P， 理由：如图2，过P点作PN∥AB，则PN∥CD， ∴∠PEA＝∠NPE， ∵∠FPN＝∠NPE+∠FPE， ∴∠FPN＝∠PEA+∠FPE， ∵PN∥CD， ∴∠FPN＝∠PFC， ∴∠PFC＝∠PEA+∠FPE，即∠PFC＝∠PEA+∠P； （3）如图3，过点G作AB的平行线GH． ∵GH∥AB，AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠HGE＝∠AEG，∠HGF＝∠CFG， 又∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠HGE＝∠AEG∠AEP，∠HGF＝∠CFG∠CFP， 同（1）易得，∠CFP＝∠P+∠AEP， ∴∠HGF（∠P+∠AEP）（α+∠AEP）， ∴∠EGF＝∠HGF﹣∠HGE（α+∠AEP）﹣∠HGEα∠AEP﹣∠HGEα． 29．【分析】（1）根据，∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，结合对顶角相等可得∠E＝∠BQM，利用内错角相等两直线平行可证明结论； （2）根据垂直的定义可得∠PGC＝90°，由两直线平行同旁内角互补可得∠EAC+∠C＝180°，结合∠2+∠C＝90°，可求得∠BAC＝90°，利用同位角相等两直线平行可得AB∥FP，进而可证明结论； （3）根据同旁内角互补可判定AB∥FP，结合∠BAF＝3∠F﹣20°可求解∠F的度数，根据平行线的性质可得∠B＝∠F，即可求解． 【解答】（1）证明：∵∠E＝∠EMA，∠BQM＝∠BMQ，∠EMA＝∠BMQ， ∴∠E＝∠BQM， ∴EF∥BC； （2）证明：∵FP⊥AC， ∴∠PGC＝90°， ∵EF∥BC， ∴∠EAC+∠C＝180°， ∵∠2+∠C＝90°， ∴∠BAC＝∠PGC＝90°， ∴AB∥FP， ∴∠1＝∠B； （3）解：∵∠3+∠4＝180°，∠4＝∠MNF， ∴∠3+∠MNF＝180°， ∴AB∥FP， ∴∠F+∠BAF＝180°， ∵∠BAF＝3∠F﹣20°， ∴∠F+3∠F﹣20°＝180°， 解得∠F＝50°， ∵AB∥FP，EF∥BC， ∴∠B＝∠1，∠1＝∠F， ∴∠B＝∠F＝50°． 30．【分析】（1）根据平行线的性质以及直角三角形的性质进行证明即可； （2）先过点B作BG∥DM，根据同角的余角相等，得出∠ABD＝∠CBG，再根据平行线的性质，得出∠C＝∠CBG，即可得到∠ABD＝∠C； （3）先过点B作BG∥DM，根据角平分线的定义，得出∠ABF＝∠GBF，再设∠DBE＝α，∠ABF＝β，根据∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得（2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，根据AB⊥BC，可得β+β+2α＝90°，最后解方程组即可得到∠ABE＝15°，进而得出∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 故答案为：∠A+∠C＝90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABD＝∠C； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）可得∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则 ∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α＝90°，② 由①②联立方程组，解得α＝15°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 31．【分析】（1）根据对顶角相等和角的等量关系可求∠2的度数； （2）首先根据∠BAP+∠APD＝180°可判断出AB∥CD，根据平行线的性质可得∠BAP＝∠APC，再有∠1＝∠2可得∠FPA＝∠EAP，然后根据内错角相等，两直线平行可判定出AE∥PF． 【解答】（1）解：∵∠AOE＝∠1，∠FOP＝∠2 又∵∠AOE＝∠FOP（对顶角相等）， ∴∠1＝∠2 ∵∠1＝55°， ∴∠2＝55°； （2）证明：∵∠BAP+∠APD＝180°， ∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）， ∴∠BAP＝∠APC（两直线平行，内错角相等）， ∵∠1＝∠2， ∴∠EAO＝∠FPO， ∴AE∥PF． 32．【分析】（1）过M作MN∥AB∥CD，由平行线的性质可得∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF，进而即可得解； （2）由题干易得∠MFN＝10°，∠DFN＝30°，再根据（1）中结论可得∠BEM＝α﹣20°，所以∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°，进而可求∠EGF和∠EGN的度数，进而利用三角形内角和即可得解； （3）由题干易得，然后分类讨论，当时或时，再设参建立方程求解即可． 【解答】解：（1）如图，过M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴MN∥AB∥CD， ∴∠BEM＝∠NME，∠DFM＝∠NMF， ∵∠EMF＝α＝80°， ∴∠NME+∠NMF＝80°， ∴∠BEM+∠DFM＝80°； （2）∵，∠DFM＝20°， ∴∠MFN＝10°，∠DFN＝30°， ∵∠BEM+∠DFM＝α， ∴∠BEM＝α﹣20°， ∵， ∴∠MEN＝3∠BEM＝3α﹣60°， ∴∠EGF＝∠BEM+∠DFG＝α﹣20°+30°＝α+10， ∴∠EGN＝180°﹣∠EGF＝170°﹣α， ∴∠ENF＝180°﹣∠MEN﹣∠EGN ＝180°﹣（3α﹣60°）﹣（170°﹣α） ＝70°﹣2α； （3）方法一：∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， ∴， （Ⅰ）如图3，当时， 设∠PFN＝x，则∠CFP＝2x＝∠DFM，∠CFN＝3x， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴∠BEM＝α﹣2x， ∴∠AEM＝180°﹣α+2x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠1＝180°﹣∠ENF﹣∠NFP， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝17.5°， ∴∠CFN＝3x＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， 设∠CFP＝x，则∠PFN＝2x，∠CFN＝3x， ∴∠DFM＝∠CFP＝x， ∵∠MFD+∠BEM＝α， ∴∠BEM＝α﹣x， ∴∠AEM＝180°﹣α+x， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∵∠ENF+∠NFP+∠1＝180°， ∴， ∴， ∵∠2+∠MEN+∠EMF＝180°， ∴， 解得x＝14°， ∴∠CFN＝3x＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 方法二：设∠CFN＝x， （Ⅰ）如图3，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴∠2＝180°﹣∠EMF﹣∠MEN， ∵∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝52.5°， 即∠CFN＝52.5°； （Ⅱ）如图4，当时， ∴， ∵∠DFM+∠BEM＝∠EMF＝α， ∴， ∴， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∴， ∵∠1+∠2＝180°， ∴， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝α， 即， 解得x＝42°， 即∠CFN＝42°； 综上，∠CFN的度数为52.5°或42°． 33．【分析】由角平分线的定义和已知条件得出∠1＝∠3，证出∠2＝∠3由内错角相等证出AB∥CD，再由平行线的性质得出同旁内角互补，即可得出结论． 【解答】证明：∵BE，DF分别平分∠ABC，∠ADC（已知）， ∴（ 角平分线定义）， ∵∠ABC＝∠ADC（ 已知）． ∴（等式性质）， ∴∠1＝∠3（等量代换）， 又因为∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠2＝∠3（等量代换）． ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠A+∠ADC＝180°，∠C+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． ∴∠A＝∠C（ 等角的补角相等）． 故答案为：角平分线定义；等式性质；等量代换；已知；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；等角的补角相等． 34．【分析】由对顶角相等得到一对角相等，根据已知一对角互补，得到同旁内角互补，利用同旁内角互补两直线平行得到AF与ED平行，由两直线平行同旁内角互补得到一对角互补，等量代换得到∠D与∠AED互补，利用同旁内角互补两直线平行即可得证． 【解答】证明：∵∠1＝∠CGD，∠1与∠2互补， ∴∠CGD+∠2＝180°， ∴AF∥ED， ∴∠A+∠AED＝180°， ∵∠A＝∠D， ∴∠D+∠AED＝180°， ∴AB∥CD 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $