27.2.1 相似三角形的判定2 同步练2025-2026学年人教版数学九年级下册

第二十七章 相似 27.2.1 相似三角形的判定2 相似三角形的判定(三) 易错点睛 如图,D为△ABC 的边AB 上一点,AB=12,AC=15,AD=8,在AC边上取一点E，使A，D，E 三点组成的三角形与△ABC 相似，则AE 的长是 【点睛】 易漏解,注意分类:(1)AD 与AB 对应;(2)AD 与AC 对应. A基础题夯实 知识点 利用两边对应成比例且夹角相等判定两个三角形相似 1.如图,在△EOF 中,OE=4,OF=6,下列阴影部分的三角形与△EOF 是否相似，说法正确的是( ) A.只有甲相似 B.只有乙相似 C.甲，乙都不相似 D.甲，乙都相似 2.如图,点D,E 分别在AB,AC上,若AB=2AE,AC=2AD,DE=5,则BC的长为 . 3.如图,已知OA·OC=12,OD=3,当OB= 时, 4.如图,D 是△ABC的边AB 上一点,AD=3,BD=2,当AC= 时, 5.如图,AD⊥BC 于点D,BD=2CD,AE=ED,AB=2,则EC 的长为 . 6.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C旋转得到△DEC,点A 的对应点D 落在边AB 上,连接BE.求证:△BCE∽△ACD. 7.如图,在△ABC 中,点 D 在AB 边上,连接CD,AC=4,AD=2,BD=6,求证:△ACD∽△ABC. B中档题运用 8.如图,在△ABC中,CD=CE,2AD=3AE,2BD=3CD,求证:△ABD∽△ACE. 9.如图,在四边形ABCD 中,∠ACB=∠ADB=90°,AC,BD 交于点E,且∠AEB=120°. (1)求证:△DCE∽△ABE; (2)求 的值. 10.如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AB=6,CD=4,BD=14.点 P 在BD 上移动,当以P,C,D 为顶点的三角形与△ABP 相似时,求 PB 的长. C 综合题探究 11.如图,点E 在△ABC内,∠ABC=∠EFC=90°,BC=2BA,FC=2FE. (1)求证:∠ACE=∠BCF; (2)若∠CAE+∠CBE=90°,且 求 EF 的长. 相似三角形的判定(四) 易错点睛 如图,在△ABC 中,∠A=90°,∠C=30°,D 为AB 边上一点,过点 D的直线与边AC 交于点E.若△ADE与△ABC 相似,则∠ADE 的度数为 【点睛】根据△ADE 与△ABC 相似的对应情况,分类讨论:∠ADE 与∠B 对应,或∠ADE 与∠C 对应. A基础题夯实 知识点1 利用两角相等判定两个三角形相似 1.在△ABC与 中， 当 时， 2.如图,点 D,E 分别在△ABC 的边AB,AC 上,且∠AED=∠ABC,若DE=3,BC=6,AB=8,则AE 的长为 . 3.如图,F是△ABC的BC 边上一点,且AC=2CF=2,∠CAB=∠CFA,则BF= 4.如图,在五边形ABCDE 中,AE∥BC,延长BA,BC,分别交直线 DE 于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是() A.∠B+∠4=180° B. CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 5.如图,在△PAB 中,点C,D在AB上,PC=PD,∠A=∠BPD.求证:△APC∽△PBD. 知识点2 两直角三角形相似的判定 6.如图,在 Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD 是斜边BC上的高. (1)求证:△ABD∽△CBA; (2)若AB=6,BC=10,求 BD 的长. B中档题运用 7.如图,△ABC 内接于⊙O,AH⊥BC 于点H.若AC=10,AH=8,⊙O 的半径为7,则AB 的长为 . 8.已知∠ACB=90°,将△ABC按如图的位置放在直角坐标系中,若点 A(0,2),点C(1,0),点 B的横坐标为4，求点 B 的纵坐标. 9.如图,四边形ABCD 为菱形,点E 在AC 的延长线上,且∠ACD=∠ABE. (1)求证:△ABC∽△AEB; (2)当AB=6,AC=4时,求 AE 的长. C综合题探究 10.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,AD 平分∠CAB,BE⊥AD,E为垂足. (1)若∠CAB=45°,则 的值为 ； (2)若∠CAB=30°,求 的值. 相似三角形的判定(三) 易错点睛 10或 基础题夯实 1. B 2.10 3.4 4. 5.1 6.证明:∵将△ABC 绕点C 旋转得到△DEC,点 A 的对应点 D 落在边AB上, ∴AC=CD,CB=CE, ∠ACD=∠BCE, ∴△BCE∽△ACD. 7.证明:∵点 D 在AB 边上,AC=4, AD=2,BD=6, ∴AB=AD+BD=2+6=8, ∵∠A=∠A, ∴△ACD∽△ABC. 中档题运用 8.证明:∵CD=CE, ∴∠CDE=∠CED, ∴∠ADB=∠AEC, ∵2AD=3AE,2BD=3CD, ∴△ABD∽△ACE. 9.解:(1)∵∠AEB=120°, ∠ADB=∠ACB=90°, ∴∠DAE=∠CBE=30°, 又∵∠DEC=∠AEB, ∴△DCE∽△ABE; (2)∵△DCE∽△ABE, 10.解:设 DP=x,则 BP=BD-x=14-x. ∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, 当 时,△ABP∽△CDP, 即 解得 当 时,△ABP∽△PDC,即 整理得 解得. ∴BP=14-2=12或BP=14-12=2, ∴PB的长为8.4或2或12. 综合题探究 11.解:(1)∵BC=2BA,FC=2FE, 又∵∠ABC=∠EFC=90°, ∴△ABC∽△EFC, ∴∠ACB=∠ECF, ∴∠ACE=∠BCF; (2)连接BF. 由(1)知△ABC∽△EFC, 又∵∠ACE=∠BCF, ∴△BCF∽△ACE, ∵FC=2FE,∠EFC=90°, ∵∠CAE+∠CBE=90°, ∴∠CBF+∠CBE=90°, ∴∠FBE=90°, 相似三角形的判定(四) 易错点睛 60°或30° 基础题夯实 1.70°2.4 3.3 4. D 5.证明:∵PC=PD, ∴∠PCD=∠PDC. ∵∠ACP +∠PCD =∠PDC +∠PDB=180°, ∴∠PCA=∠PDB, 又∵∠A=∠BPD, ∴△APC∽△PBD. 6.解:(1)∵AD 是斜边BC上的高, ∴∠BDA=90°, ∵∠BAC=90°, ∴∠BDA=∠BAC, 又∵∠B 为公共角， ∴△ABD∽△CBA; (2)由(1)知△ABD∽△CBA, ∴BD=3.6. 中档题运用 7. 8.解:过点 B 作BD⊥x轴于点D,则CD=OD-OC=3, ∵∠ACB=90°, ∴∠ACO+∠BCD=90°, 又∵∠ACO+∠OAC=90°, ∴∠BCD=∠OAC, 又∵∠AOC=∠CDB, ∴△AOC∽△CDB, 即 ∴点 B 的纵坐标为 9.解:(1)∵四边形ABCD 为菱形, ∴∠ACD=∠BCA, ∵∠ACD=∠ABE, ∴∠BCA=∠ABE, ∵∠BAC=∠EAB, ∴△ABC∽△AEB; (2)∵△ABC∽△AEB, ∵AB=6,AC=4, 综合题探究 10.解: (2)延长AC 与BE 相交于点 F. ∵∠ACB=90°,∠CAB=30°, ∵∠ACB=∠BED=90°,∠ADC=∠BDE, ∴∠CAD=∠CBF, ∵∠ACD=∠BCF=90°, ∴△ADC∽△BFC, ∵AD平分∠CAB,BE⊥AD, ∴BF=2BE, 学科网（北京）股份有限公司 $