重难点01 代数式的化简求值问题（复习讲义）（广东专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“整式与分式的化简求值”核心考点，涵盖整式的乘法公式应用、整体代入法，分式的因式分解、约分及选值代入等中考高频题型，构建“考点梳理-方法指导-真题训练”教学流程，通过典例解析与变式练习帮助学生突破重难点，体现复习的系统性与针对性。 亮点在于以核心素养为导向，通过整体思想培养抽象能力，如将多项式视为整体简化计算，分式化简步骤强化运算能力，新定义运算题提升推理意识。设“固根基-拓能力”分层练习，强调代入前验分母等易错点，配合真题变式训练，助力教师精准把控节奏，高效提升学生应考能力。

第一章 数与式 重难点01 整式与分式的化简求值问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 26 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 整式的化简求值问题 1. 整式的化简求值中必考考点： 乘法公式：平方差公式：. 完全平方公式：. 2.整式的化简求值常用方法：直接代入法，整体代入法。 题型01 整式化简直接代入求值 【典例】（2025·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 【变式1】（2025·广东中山·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可． 【详解】解： ； 当，时， 原式 ． 【变式2】（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题关键是熟练掌握去括号法则和合并同类项法则． 先根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，再把，的值代入化简后的式子，进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式 ． 题型02 整式化简间接代入求值 【典例】（2025·广东肇庆·二模）已知：设，． (1)化简； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据整式的混合运算法则计算即可； （2）由非负性得到，再根据整式的加减运算法则得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴ ； （2）解：在中，， ∴， 解得，， ， ∴原式． 【变式1】（2024·湖南常德·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算中的化简求值．先利用平方差公式和完全平方公式化简原式，再整体代值求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式 ． 【变式2】（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足 【答案】， 【分析】题目主要考查整式的化简求值及绝对值及平方的非负性，熟练掌握各个运算法则是解题关键． 先去括号，然后合并同类项即可；再由绝对值及平方的非负性确定，，代入求解即可． 【详解】解： = =， ∵，且，， ∴， ∴，， 原式=． 题型03 运用整体思想代入求值 整体思想代入化简求值（方法 + 例题 + 练习） 整体思想是代数化简求值中最核心的技巧之一，核心思路是：不单独求每个字母的具体值，把一个代数式（多项式、单项式组合）看成一个「整体单元」，直接代入目标式子计算，大幅简化计算，尤其适合无法 / 没必要解出单个字母的题型。 一、核心适用场景 已知条件是多项式等式，单独解、等字母很麻烦、甚至解不出（如高次、多元式子） 目标化简式中，能直接拼凑出已知整体式的结构（相反数、倍数、和差形式） 常见形式：已知ax+by=m，求含ax+by、−(ax+by)、k(ax+by)的代数式值 二、基础解题步骤 观察已知式：确定要当作「整体」的代数式，标记为A（如令A=2x−3y） 化简目标式：对所求代数式去括号、合并同类项，整理出含整体A的结构 整体代入：把已知的A的数值，直接替换目标式中的A，计算最终结果 【典例】（2025·广东汕头·二模）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）6 【分析】（1）利用合并同类项进行计算即可； （2）把3x2-6y-2021的前两项提公因式3，再代入求值即可； （3）利用已知条件求出a-c，2b-d的值，再代入计算即可． 【详解】解：（1）3（a-b）2-5（a-b）2+7（a-b）2 =（3-5+7）（a-b）2 =5（a-b）2， 故答案为：5（a-b）2． （2）∵ ∴ （3），， 则 【点睛】此题主要考查了整式的加减--化简求值，关键是掌握整体思想，注意去括号时符号的变化． 【变式1】（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【答案】(1)，，过程见解析 (2)2 【分析】本题考查的是整式的加减运算中的化简求值； （1）把看成整体，先合并，再代入计算即可； （2）把看成整体，先合并，再代入计算即可； 【详解】（1）解： ； 当时， 原式； （2）解：∵， ∴ ． 【变式2】（2025·广东·二模）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用，将式子中的某一部分看成一个整体进行运算是解题的关键． （1）把看成一个整体，合并同类项即可求解； （2）设，逆用分配律将化为，代入化简即可求解； （3）根据得到，再逆用分配律即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：设，则； 故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 题型04 整式化简求值中的新定义运算 【典例】（2025·广东茂名·二模）定义新运算“*”，规定，请按要求完成下列问题： (1)若，，化简； (2)若，求第（1）问中的值． 【答案】(1) (2) 【分析】根据定义的新运算列式为，将其去括号，合并同类项即可； 根据偶次幂及绝对值的非负性求得x，y的值，然后将其代入中所得结果中计算即可． 本题考查整式的加减，偶次幂及绝对值的非负性，有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：， ，， 解得：，， 则 ． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解一元一次不等式，解题的关键是正确分析新定义的运算法则． （1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可； （2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可． 【详解】（1）解：当时， ； （2）当时，即：时，， 解得： ； 当时，即：时， 即， 解得：， ∵， ∴． 所以x的值是或 【变式2】（2025·广东东莞·二模）定义：若，则称a、b是“西溪数”，例如：，因此3和1.5是一组“西溪数”，若m、n是一组“西溪数”，则的值为 ． 【答案】6 【分析】根据“西溪数”的概念得到，代入所求的代数式，根据整式的加减混合运算法则计算，得到答案． 【详解】解：、是一组“西溪数”， ， 则原式 ， 故答案为：6． 【点睛】本题考查新定义，整式的化简求值，掌握整式的加减混合运算法则、正确理解“西溪数”的概念是解题的关键． 重难点二 分式的化简求值问题 一、化简求值通用标准步骤 这是解决所有此类题目的固定流程，按步骤做可避免绝大多数错误： 因式分解：对分子、分母的多项式，优先用提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法分解到底； 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式（分子分母无公因式，且分母不含根号）； 判断取值范围：确定所有使原式分母、化简过程中出现的分母均不为0的字母取值； 代入计算：选择符合条件的数值，代入最简分式计算最终结果。 二、绝对易错点（扣分重灾区） 代入前不验分母：只看最终化简式的分母，忽略原式分母，代入使原式无意义的数； 符号错误：去括号、添括号时，负号未变号，分子整体相减时未加括号； 因式分解不彻底：分解到一半就约分，导致化简不最简； 混淆分式性质与等式性质：分式是同乘除非零整式，不能随意“去分母”（只有分式方程可以去分母，化简求值严禁直接去分母）； 运算顺序错误：混合运算跳步，先算加减后算乘除。 题型01 分式化简直接代入求值 【典例】（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题主要考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． 对分式先化简，再代入即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 当时， 原式＝． 【变式1】（2024·广东珠海·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简得，把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查的是整式的混合运算—化简求值，先根据分式的运算法则把原式化简，再把x的值代入计算得到答案，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型02 分式化简间接代入求值 【典例】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【答案】， 【分析】本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握分式的化简求值及一元二次方程的解法是解题的关键；由题意可先对分式进行化简，然后再求解方程，进而代值求解即可． 【详解】解：原式 ； 方程因式分解得：， 解得：， ∵是方程的一个根，且， ∴， ∴代入得：原式． 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先将原式化简，再利用整体代入法. 由已知条件 得出 ，代入化简后的式子求值即可． 【详解】解：由题意得，分母 且 ， 解得 且 . 解方程 得 或 ，均满足分式有意义的条件， ∵， ∴， ∴， 原式 将代入得，原式． 【变式2】已知：，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把整理得，再整体代入计算即可求出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 把代入， 原式． 题型03 分式化简选值代入求值 分式化简完成后，在所给的几个数值中，要判断一下是否有无意义的值，要排除掉不符合要求的值； 【典例】（2024·广东·模拟预测）先化简，然后从，0，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键． 先根据分式的运算法则把所给代数式化简，再选一个使分式有意义的数代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴，， ∴当时，原式． 【变式1】（2024·广东广州·二模）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 【答案】，． 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先化简原分式，可知且，即，代入化简结果计算即可． 【详解】 ， ∵分式既有意义，也不等于0， ∴且， ∴且， ∵（x为整数）， ∴， ∴原式． 【变式2】（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求的值． 【答案】，当时，原式 【分析】先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件把代入计算即可． 本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简；解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为． 【详解】解： ， 且且， 可以取， 当时，原式． 题型04 运用整体思想代入求值 【典例】（2025·广东阳江·二模）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【答案】(1) (2)2024 (3) 【分析】（1）令，代入计算即可； （2）令，，代入计算即可； （3）首先求出，然后求出，即可求出的值． 【详解】（1）解：令， ∴ ； 故答案为：； （2）解：令，， ∴ ； 故答案为：2024； （3）解：∵，，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了因式分解，有理数的混合运算，分式的求值，整体思想的应用，解题的关键是掌握整体思想． 【变式1】知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整式的混合运算，分式的混合运算． （1）仿照例1，整体设元，分解因式； （2）仿照例2，整体代入化简求值； （3）仿照例1，令，，分解因式，代入化简结果求值即可． 【详解】（1）解：设， 原式 ， ； （2）解：， ； （3）解：令，， ， 原式 ， 故答案为：． 【变式2】（2025·广东佛山·二模）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）先根据分式的加法法则把原式进行化简，再把，代入进行计算即可； （2）把代入进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ． （2）解：， =1． 题型05 分式化简中的求整问题 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【答案】（1）②；（2），当时，该式的值为整数 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． （1）根据“和谐分式”的定义判断即可； （2）原式化简为，继而得出原式，结合分式有意义的条件可得答案． 【详解】解：（1）为整式，， 是“和谐分式”， 故答案为：②； （2）原式 ， 且， 且且， 若该分式的值为整数，则，此时分式的值． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)①③④⑤ (2) (3)，或，或． 【分析】本题考查了分式的化简求值∶先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值． （1）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （2）利用题目所给的方法配一个出来，然后把分式写成两同分母的和，再约分，则原分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和； （3）先把把除法运算化为乘法运算，约分后进行同分母的减法运算得到原式为．把它化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式得到原式，利用整除性和分式有意义的条件确定x的值． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”， ②不是分式，故不属于“和谐分式”， ③，属于“和谐分式”， ④，属于“和谐分式”， ⑤，属于“和谐分式”， 故答案为：①③④⑤ （2） （3） ∵x为整数，为整数， ∴，或， ∵且且 ∴，或，或．该式的值为整数． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______． （3）若分式的值是整数，求整数x的值． （4）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）0，2，6，-4；（4） 【分析】（1）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以-1即可； （2）利用分式的基本性质，分子、分母都乘以10 即可； （3）将分式变形得，要使结果是整数，x-1=±1，或x-1=±5，进而求出x的整数值即可； （4）倒数法，先求出要求的代数式的倒数，利用整体代入的方法进行计算即可． 【详解】解：（1）根据分式基本性质，分子、分母都乘以-1得， ； （2）根据分式基本性质，分子、分母都乘以10得， ； （3）===， 要使分式的值为整数， ∴x-1=±1，或x-1=±5， 解得，x1=0，x2=2，x3=6，x4=-4， 答：整数x的值为0，2，6，-4． （4）∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查分式的基本性质、分式的加减运算，掌握分式的基本性质和计算法则是正确解答的前提． 题型06 分式化简的新定义运算 【典例】（2025·广东东莞·二模）定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【变式1】（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：，如，已知 (m为正整数)，则 ． 【答案】 【分析】本题考查新定义运算，分式的简便运算，利用新定义将等式左边变形为，利用裂项相消化简，即可求解． 【详解】解： ， ， 解得． 故答案为：2023． 【变式2】设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】各式左右分别利用题中的新定义化简，判断即可． 【详解】A. 根据题中的新定义化简得：， ，不符合题意； B. ， ，不符合题意； C. ， ，符合题意； D. ， ，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，弄清题中的新定义是解题的关键． 1．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 【答案】，34 【分析】此题考查了整式的混合运算——化简求值，熟练掌握单项式乘多项式法则、完全平方公式等是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果，再把，的值代入计算即可求出值． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 2．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则 ； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减和化简求值，弄清楚题中的新定义是解本题的关键． （1）利用新定义“相伴数对”列出算式，计算即可求出的值； （2）利用新定义“相伴数对”列出关系式，再把原式进行化简，最后代入进行计算即可． 【详解】解：（1）根据题意得：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 故答案为：． （2）由题意得：，即， 整理得：，即， ， 故答案为：． 3．（2023·广东广州·三模）已知． (1)化简； (2)若是一元二次方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)13 【分析】（1）分别计算单项式乘多项式、完全平方，然后进行加减运算即可； （2）由题意知，即，根据，计算求解即可 【详解】（1）解： ， ∴； （2）解：∵是一元二次方程的解， ∴，即， ∴； ∴的值为13． 【点睛】本题考查了整式的加减运算，一元二次方程的根，代数式求值等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，10 【分析】先根据整式运算法则进行化简，再代入数值计算即可． 【详解】解：， =， =， 把，代入得，原式==． 【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键是熟练运用整式运算法则和乘法公式进行化简，代入数值后准确计算． 5．（2025·广东梅州·二模）先化简，再求值：（ ）÷，其中x＝． 【答案】 ，-1. 【分析】先化简，再把x＝带入化简后的式子中求值即可. 【详解】解：原式=（ ） 把x＝带入式子中得 【点睛】此题重点考查学生对整式的化简求值，掌握化简整式是解题的关键. 6．已知，． (1)当的值与的取值无关，求、的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的加减，代数式求值， （1）将，代入，化简后，令和的系数为即可； （2）利用去括号、合并同类项化简后，再代入求值即可； 掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴，， ∴，； （2） ， 当，时， 原式． 7．图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 【答案】(1)5； (2)； (3) 【分析】本题考查了求代数式的值，能够整体代入是解此题的关键． （1 ）根据题意得出，求出，变形后代入，即可求出答案； （2 ）根据题意求出，求出，再把代入代数式，最后整体代入，即可求出答案； （3 ）根据，利用即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：， 即， 所以； （2）∵当时，代数式的值为8， ∴， ∴， 当时， ； （3）∵， ∴，得， 整理得． 8．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a是关于x的不等式的正整数解，求T的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用分式的乘除混合运算化简，解答即可． （2）解不等式，确定整数解，结合分式有意义的条件，确定不能选的数，再选择适当数，求值即可． 本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，不等式的整数解，熟练掌握化简，解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解：， 是正整数解， ， 原式． 9．（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再求出x的值代入进行计算即可． 本题考查的是分式的化简求值，特殊角的三角函数值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】【解】解： ， 当时，原式． 10．（2025·广东东莞·二模）先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查分式的化简求值： （1）除法没有分配律，从第②步开始出错； （2）先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值代入，计算即可． 【详解】（1）解：由题目中的解答过程可知，第②步开始出现错误， 故答案为：②； （2） ， 当或2时，原分式无意义， 或4， 当时，原式； 当时，原式 11．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)已知x满足，求A的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式化简和解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解方程是解题的关键． （1）A括号内两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果； （2）利用因式分解法求出方程的解，结合分式有意义的条件，再代入化简后的代数式中计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∴， 解得：，， ∵分式有意义， ∴，， ∴当时， 原式． 12．（2025·广东深圳·二模）以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 【答案】任务一：二；通分时候分子分母没有同时乘以；任务二：见解析；任务三：当时，原式（或当时，原式） 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握因式分解是解题的关键． 任务一：根据题目中的解答过程可得出结论； 任务二：利用分式的混合运算的法则解答即可； 任务三：找出合适的a的值，代入计算即可求解． 【详解】解：任务一 从第二步开始出现错误，这一步错误的原因是通分时候分子分母没有同时乘以； 故答案为：二；通分时候分子分母没有同时乘以； 任务二 解：原式 ； 任务三 解：由题得， ∴且， 当且为整数时， 或， ①当时，原式； ②当时，原式． 1．（2025·广东茂名·二模）定义新运算“”，对于任意有理数有．例如，， (1)计算：； (2)若，，化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是新定义运算的含义，有理数的四则混合运算，整式的加减运算，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）按照新定义的运算法则先列式，再计算即可； （2）按照新定义的运算法则先列式计算，再代入化简求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． ∵，， ∴ ． 2．（2025·广东深圳·二模）经过观察，给出如下定义：我们称使等式．成立的一对有理数“，”为“伴随有理数对”，记为．如：，所以数对，都是“伴随有理数对”． (1)数对，中，是“伴随有理数对”的是_____． (2)若是“伴随有理数对”，则的值是_____． (3)若是“伴随有理数对”，求的值． 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】本题考查了有理数的乘法与加减法、整式加减运算中的化简求值、一元一次方程的应用，正确理解“伴随有理数对”的定义是解题关键． （1）根据“伴随有理数对”的定义求解即可； （2）根据“伴随有理数对”的定义建立方程，解方程即可得； （3）根据“伴随有理数对”的定义可得，从而可得，再化简代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴数对不是“伴随有理数对”， ∵，， ∴是“伴随有理数对”， 故答案为： （2）∵是“伴随有理数对”，， ， 解得， 故答案为：； （3）∵是“伴随有理数对” ∴， ∴， ． 3、阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 【答案】(1)真 (2) (3)， 【分析】本题考查了分式的混合运算，读懂题目信息，理解真分式，假分式的定义及分式混合运算法则正确计算是解题的关键． （1）根据真假分式的定义判断即可； （2）仿照例题计算即可； （3）先化简，再根据要求确定x的值． 【详解】（1）解：∵分子的次数小于分母的次数， ∴是真分式， 故答案为：真． （2）解：， 故答案为：． （3）解： ∵该式的值为整数，且，0，1， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 重难点01 整式与分式的化简求值问题 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 9 固·重难考点 拓·创新能力 重难点一 整式的化简求值问题 1. 整式的化简求值中必考考点： 乘法公式：平方差公式：. 完全平方公式：. 2.整式的化简求值常用方法：直接代入法，整体代入法。 题型01 整式化简直接代入求值 【典例】（2025·广东东莞·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式1】（2025·广东中山·二模）先化简，再求值：，其中，． 【变式2】（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中，． 题型02 整式化简间接代入求值 【典例】（2025·广东肇庆·二模）已知：设，． (1)化简； (2)若，求的值． 【变式1】（2024·湖南常德·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2024·四川广元·二模）先化简再求值： ，其 中 x，y 满 足 题型03 运用整体思想代入求值 整体思想代入化简求值（方法 + 例题 + 练习） 整体思想是代数化简求值中最核心的技巧之一，核心思路是：不单独求每个字母的具体值，把一个代数式（多项式、单项式组合）看成一个「整体单元」，直接代入目标式子计算，大幅简化计算，尤其适合无法 / 没必要解出单个字母的题型。 一、核心适用场景 已知条件是多项式等式，单独解、等字母很麻烦、甚至解不出（如高次、多元式子） 目标化简式中，能直接拼凑出已知整体式的结构（相反数、倍数、和差形式） 常见形式：已知ax+by=m，求含ax+by、−(ax+by)、k(ax+by)的代数式值 二、基础解题步骤 观察已知式：确定要当作「整体」的代数式，标记为A（如令A=2x−3y） 化简目标式：对所求代数式去括号、合并同类项，整理出含整体A的结构 整体代入：把已知的A的数值，直接替换目标式中的A，计算最终结果 【典例】（2025·广东汕头·二模）阅读材料：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，如把某个多项式看成一个整体进行合理变形，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例：化简．解：原式．参照本题阅读材料的做法解答： （1）把看成一个整体，合并的结果是 ． （2）已知，求的值． （3）已知，，，求的值． 【变式1】（2025·山西运城·模拟预测）“整体思想”是数学解题中一种非常重要的数学思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 议一议：求代数式的值，其中． 把代入后求值． 把看成一个字母a，这个代数式可以简化为 (1)【问题解决】对议一议中的式子进行化简求值，并写出过程； (2)【简单应用】已知，则的值为__________． 【变式2】（2025·广东·二模）阅读理解，并解决问题．“整体思想”是中学数学中的一种重要思想，贯穿于中学数学的全过程，比如整体代入，整体换元，整体约减，整体求和，整体构造等．有些问题若从局部求解，采取各个击破的方式，很难解决，而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也能迎刃而解．因而“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 尝试应用： 例：当整式的值为7时，求整式的值． 解：因为，所以． 所以． 请根据阅读材料，解决下列问题： (1)把看成一个整体，计算的结果是______； (2)设，则______；（用含y的整式表示） (3)已知，求的值． 题型04 整式化简求值中的新定义运算 【典例】（2025·广东茂名·二模）定义新运算“*”，规定，请按要求完成下列问题： (1)若，，化简； (2)若，求第（1）问中的值． 【变式1】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，． (1)当时，求的值． (2)若，求x的值． 【变式2】（2025·广东东莞·二模）定义：若，则称a、b是“西溪数”，例如：，因此3和1.5是一组“西溪数”，若m、n是一组“西溪数”，则的值为 ． 重难点二 分式的化简求值问题 一、化简求值通用标准步骤 这是解决所有此类题目的固定流程，按步骤做可避免绝大多数错误： 因式分解：对分子、分母的多项式，优先用提公因式法、公式法（平方差、完全平方）、十字相乘法分解到底； 约分：约去分子、分母的公因式，化为最简分式（分子分母无公因式，且分母不含根号）； 判断取值范围：确定所有使原式分母、化简过程中出现的分母均不为0的字母取值； 代入计算：选择符合条件的数值，代入最简分式计算最终结果。 二、绝对易错点（扣分重灾区） 代入前不验分母：只看最终化简式的分母，忽略原式分母，代入使原式无意义的数； 符号错误：去括号、添括号时，负号未变号，分子整体相减时未加括号； 因式分解不彻底：分解到一半就约分，导致化简不最简； 混淆分式性质与等式性质：分式是同乘除非零整式，不能随意“去分母”（只有分式方程可以去分母，化简求值严禁直接去分母）； 运算顺序错误：混合运算跳步，先算加减后算乘除。 题型01 分式化简直接代入求值 【典例】（2026·广东中山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【变式1】（2024·广东珠海·三模）先化简，再求值：，其中． 【变式2】（2024·广东·模拟预测）先化简，再求值：，其中 题型02 分式化简间接代入求值 【典例】（2024·广东汕头·一模）先化简，再求值：，其中是方程的一个根． 【变式1】（2025·广东广州·模拟预测）化简求值：，其中． 【变式2】已知：，求代数式的值． 题型03 分式化简选值代入求值 分式化简完成后，在所给的几个数值中，要判断一下是否有无意义的值，要排除掉不符合要求的值； 【典例】（2024·广东·模拟预测）先化简，然后从，0，2中选一个合适的数作为x的值代入求值． 【变式1】（2024·广东广州·二模）先化简，再求值：，在（x为整数）中，选取一个满足条件的数，使得分式既有意义，也不等于0． 【变式2】（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，从，，中取一个合适的数作为的值代入求的值． 题型04 运用整体思想代入求值 【典例】（2025·广东阳江·二模）知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．利用整体思想及“倒数法”解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：整体观察、整体设元、整体代入、整体求知等．请利用整体思想解答下列问题： (1)因式分解：________； (2)计算： (3)已知，，，求的值．（可用“倒数法”求解） 【变式1】知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、结论的重要方法．阅读材料：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等． 例1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式； 例2：已知，求的值． 解：； 请根据阅读材料利用整体思想解答下列问题： (1)根据材料，请你模仿例1尝试对多项式进行因式分解； (2)已知，求的值； (3)计算：_____________．（直接写出结果） 【变式2】（2025·广东佛山·二模）阅读材料：整体思想是指把研究对象的某一部分（或全部）看成一个整体，通过对整体的形式、结构和已知条件进行综合分析，从而简化问题并得出结论的一种思想方法．常用的途径有：整体代入，整体设元等． 例如：ab=1，求证： 证明：左边 请根据阅读材料解答下列问题： (1)已知，，求的值； (2)若，求的值． 题型05 分式化简中的求整问题 【典例】（2025·广东深圳·模拟预测）（1）【定义】如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：，则是“和谐分式”． 【理解】分式：①，②中，属于“和谐分式”的是___________（填序号）； （2）【应用】先化简，并求取何整数时，该式的值为整数． 【变式1】（2025·广东东莞·二模）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如若，则和都是“和谐分式”． (1)下列式子中，属于“和谐分式”的是________（填序号）： ①；②；③；④；⑤ (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为________． (3)应用先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）（1）不改变分式的值，把下列分子和分母的最高次的系数都化为正数________． （2）不改变分式的值，把下列分子和分母的中各项系数都化为整数_______． （3）若分式的值是整数，求整数x的值． （4）已知，求的值． 题型06 分式化简的新定义运算 【典例】（2025·广东东莞·二模）定义新运算：，若，则的值是 ． 【变式1】（2024·四川广元·二模）定义一种新运算：，如，已知 (m为正整数)，则 ． 【变式2】设，都是不为0的实数，且，，定义一种新运算：，则下面四个结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2023·广东湛江·模拟预测）先化简再求值：，其中，． 2．一般情况下不成立，但有些数可以使得它成立，例如：时，我们称使得 成立的一对数m，n为“相伴数对”，记为． （1）若是“相伴数对”，则 ； （2）是“相伴数对”，则代数式的值为 ． 3．（2023·广东广州·三模）已知． (1)化简； (2)若是一元二次方程的解，求的值． 4．（2024·广东佛山·一模）先化简，再求值：，其中，． 5．（2025·广东梅州·二模）先化简，再求值：（ ）÷，其中x＝． 6．已知，． (1)当的值与的取值无关，求、的值； (2)在（1）的条件下，求多项式的值． 7．图是湘教版七年级上册数学教材65页的部分内容．    明明同学在做作业时采用的方法如下： 由题意得，所以代数式的值为5． 【方法运用】： (1)若代数的值为5，求代数式的值； (2)当时，代数式的值为8．当，求代数式的值； (3)若，求代数式的值． 8．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简T； (2)若a是关于x的不等式的正整数解，求T的值． 9．（2025·广东广州·二模）先化简，再求值：，其中． 10．（2025·广东东莞·二模）先化简，再从，0，4，2中选择一个合适的数代入求值． 小陈同学在进行分式化简时，过程如下： 解：原式① ② ③ …… (1)上述过程中，从第_____步开始出现错误． (2)请完成正确的完整解题过程． 11．（2025·广东广州·二模）已知． (1)化简A； (2)已知x满足，求A的值． 12．（2025·广东深圳·二模）以下是小麟同学化简分式的过程，根据他的过程，完成相应的任务． 解：原式    第一步     第二步     第三步 ．    第四步 任务一： 从第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二： 请写出该分式化简的正确过程； 任务三： 当时，请你取合适的整数作为a的值，求出代数式的值． 1．（2025·广东茂名·二模）定义新运算“”，对于任意有理数有．例如，， (1)计算：； (2)若，，化简． 2．（2025·广东深圳·二模）经过观察，给出如下定义：我们称使等式．成立的一对有理数“，”为“伴随有理数对”，记为．如：，所以数对，都是“伴随有理数对”． (1)数对，中，是“伴随有理数对”的是_____． (2)若是“伴随有理数对”，则的值是_____． (3)若是“伴随有理数对”，求的值． 3、阅读材料：我们定义：在分式中对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，如：， 当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：，； 假分式也可以化为带分式，即整式与真分式和的形式，如： ． (1)思考：分式是______分式（填“真”或“假”）． (2)探究：将假分式化为带分式______． (3)拓展：先化简，并求x取何整数时，该式的值为整数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $