1.4线段的垂直平分线同步练习2025-2026学年北师大版数学八年级下册

1.4线段的垂直平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图所示，中，，，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，以的顶点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，过点作射线，连接．则下列说法正确的是（   ） A．垂直平分线段 B．是等边三角形 C．射线是的平分线 D．，两点关于所在直线对称 3．如图，在中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G．若的周长为16，且，则的长为（　　） A．13 B．14 C．15 D．16 4．如图，在中，，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线，交于点，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，垂直平分交于点，若的周长为，则（    ） A． B． C． D． 6．观察图中尺规作图的痕迹，可得线段一定是的（    ） A．角平分线 B．高线 C．中位线 D．中线 7．如图所示，△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的两条中线，AD＝6，BE＝8，P是AD上的一个动点，连接PE，PC，则CP+EP的最小值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 8．如图，的顶点A，B，C都在边长为1的小正方形网格的格点上，于点D，与网格线交于点F，取格点E，连接．对于四个说法：①，②，③，④点F在的平分线上，正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，，，点D是边AC的中点，点E是边AB的中点，则的周长是（    ） A．6 B． C． D． 10．下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．全等三角形的对应边相等 C．对顶角相等 D．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 11．如图，在中，，．分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线交于点，连接．下列说法中，错误的是（   ） A． B．是的平分线 C． D． 12．已知：如图，中，点是边上一点，，，平分，且于，与相交于点，若于，交于点．有以下结论： ①；②；③若连接，则；④点是的中点；⑤与成轴对称．以上五个结论中正确的是（   ） A．①③⑤ B．①④⑤ C．①②③⑤ D．①③④⑤ 二、填空题 13．如图，已知，边的垂直平分线交与点D，连接，如果，，那么的周长等于 ． 14．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿在上，在上折叠，点与点恰好重合，则为 度． 15．如图，在中，边的垂直平分线交于，交于，若平分，，则 度． 16．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E，，已知AC＝6，DE＝2，则BC的长为 ． 17．如图中，，．通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的 ，射线是的 ；并求的度数为 ． 三、解答题 18．尺规作图，在直线l上找一点P，使它到线段两端的距离相等，保留作图痕迹． 19．在中，． (1)利用直尺和圆规完成如下操作，作的平分线和的垂直平分线，交点为（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，求的度数． 20．（1）如图，为三个住宅小区，为方便这三个小区居民购买日常生活用品，计划建一个超市，使到三个小区的距离相等，请你用尺规作图在下图中作出点．    （2）已知点，点和直线，在直线上求作一点，使最小．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    21．如图，在中，按下列要求画图并解答： (1)过点A画出直线的垂线，交直线于点D． (2)用直尺和圆规作出的边的垂直平分线，分别交直线于点E、F，那么点F到直线的距离是线段______的长．（保留作图痕迹） (3)过点D画出直线的平行线，交直线于点G，那么线段与线段长度的大小关系是：______．（填“＞”、“＜”或“=”） 22．如图，在中，，，是边上的中线，且，的垂直平分线交于点，交于点． （1）求的度数； （2）是什么三角形？说明理由． （3）若将题目中“”改为“∠BAC=120°”，且FM=4，其他条件不变，求AB的长． 23．如图，在四边形中，，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)如图1，作出四边形的对称轴l； (2)如图2，，过点D作的垂线． 24．如图，在中，，点、在上，，过、、三点作，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，，求的半径长． 《1.4线段的垂直平分线》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C B A C B C D B C 题号 11 12 答案 D A 1．B 【分析】本题考查了尺规作图和等腰三角形的判定，对各项的尺规作图分析，再根据等腰三角形的判定即可，解题的关键是掌握基本的尺规作图，熟练掌握垂直平分线的性质的应用． 【详解】A.由作法可知，以点A为圆心，为半径画弧，交于点D， ， 是等腰三角形，不符合题意； B.由作法可知，是线段是垂直平分线， 和不一定是等腰三角形，符合题意； C. 由作法可知，分别以点B、点A为圆心，大于为半径画弧，连接弧线，交于点D，交于点E， 是线段是垂直平分线， 是等腰三角形，不符合题意； D. 由作法知，是的角平分线， ， 是等腰三角形，不符合题意； 故选：B． 2．C 【分析】本题考查了尺规作图作一个角的平分线、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，由尺规作图可知，，所以是线段的垂直平分线，故A选项错误；由作图可知，所以是等腰三角形，不一定是等边三角形，故B选项错误；由作图可知射线是的平分线，故C选项正确；因为是的垂直平分线，所以点、关于直线对称，故D选项错误． 【详解】解：如下图所示，连接、， 由作图可知，， 是线段的垂直平分线，不一定是的垂直平分线， 故A选项错误； 由作图可知， 是等腰三角形，不一定是等边三角形， 故B选项错误； 在和中，， ， ， 射线是的平分线， 故C选项正确； 由作图可知，， 是线段的垂直平分线， 、两点关于直线对称，、两点不一定关于所在直线对称， 故D选项错误． 故选：C． 3．B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线，三角形的周长等知识．解决问题的关键掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 利用线段的垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】解：∵中，边的垂直平分线，分别与，交于点D，E，边的垂直平分线，分别与，交于点F，G． ∴． ∵的周长为16，即， ∵， ∴． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查作图基本作图，熟练掌握中垂线的作图和性质是解题的关键． 根据内角和定理求得，由中垂线性质知，即，从而得出答案． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知为的中垂线， ， ， ， 故选A 5．C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，进而可得的周长，即可求解，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴的周长， 故选：． 6．B 【分析】本题考查的是三角形的高的定义，作线段的垂线，根据作图痕迹可得，从而可得答案． 【详解】解：由作图可得：， ∴线段一定是的高线； 故选B 7．C 【分析】如图连接PB，只要证明PB＝PC，即可推出PC+PE＝PB+PE，由PE+PB≥BE，可得P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度． 【详解】解：如图，连接PB， ∵AB＝AC，BD＝CD， ∴AD⊥BC， ∴PB＝PC， ∴PC+PE＝PB+PE， ∵PE+PB≥BE， ∴P、B、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为BE的长度， CP+EP的最小值是：8． 故选：C． 【点睛】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 8．D 【分析】①用等积法求出即可判断； ②用勾股定理求出即可； ③根据平行线的判定方法进行判断即可； ④连接并延长交与点G，根据等腰三角形的性质即可判定． 【详解】解：①， ， ∴，故此项正确； ②， ，故此项正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故此项正确； ④连接并延长交与点G，如图所示： ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∵为等腰三角形，为底， ∴平分，故此项正确， 综上分析可知，正确的有4个， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理，垂直平分线的判定，三角形面积的计算，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 9．B 【分析】先根据含30°直角三角形的性质求出AC=4，进而求出AD，再根据勾股定理求出AB，可得BE，然后说明DE是△ABC的中位线，可求DE，即可得出DE是AB的垂直平分线，得出BD，即可得出答案． 【详解】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2， ∴AC=2BC=4， 则， 即． ∵点D，E是AC，AB的中点， ∴AD=2，，DE是△ABC的中位线， ∴，， ∴DE⊥AB， ∴DE是AB的垂直平分线， ∴BD=AD=2， ∴△BDE的周长=． 故选：B． 【点睛】这是一道关于三角形的综合题目，考查了中点的定义，直角三角形的性质，三角形中位线的定义和性质，线段垂直平分线的定义和性质等． 10．C 【分析】本题主要考查命题的逆命题及平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质，熟练掌握这些定理和定义是解题关键．先写出各命题的逆命题，再依据相关数学定理（平行线判定、全等三角形判定、对顶角定义、垂直平分线性质 ）判断逆命题真假． 【详解】解：原命题逆命题为“同位角相等，两直线平行”． 这是平行线判定定理，是真命题 A不符合题意，排除． 原命题逆命题为“对应边相等的三角形全等”． 符合SSS（边边边）全等判定，是真命题 B不符合题意，排除． 原命题逆命题为“相等的角是对顶角”． 存在相等但不是对顶角的角（如两直线平行，同位角相等，同位角不是对顶角 ），是假命题 C符合题意． 原命题逆命题为“到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上”． 这是垂直平分线判定定理，是真命题 D不符合题意，排除． 故选：C ． 11．D 【分析】本题考查了作垂直平分线，线段垂直平分线的性质，角的直角三角形的性质，先根据垂直平分线的性质判断A选项；然后利用等边对等角得到，即可判断B选项；根据角的直角三角形的性质判断C选项；然后根据高相等的两三角形的面积比等于底的比判断D选项解答即可． 【详解】解：由作图可得垂直平分， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，是的平分线，故B、C选项正确，不符合题意； ∴，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 12．A 【分析】证明，判断①，角平分线结合全等三角形的性质，判断②，连接，三线合一，全等三角形的性质，结合等边对等角，得到，判断③，中垂线的性质，结合斜边大于直角边，判断④，证明，得到垂直平分，判断⑤． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴；故②错误； 连接， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴垂直平分，， ∴，，故③正确； 在中，， ∴，故④错误； ∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴与成轴对称，故⑤正确； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，成轴对称等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等，是解题的关键． 13． 【分析】边的垂直平分线交与点D，连接，由此可知，的周长的是，由此即可求解． 【详解】解：边的垂直平分线交与点D，连接，如果，， ∴， ∴， 的周长等于， 故答案是：． 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质求线段的关系，掌握垂直平行的性质是解题的关键． 14． 【分析】如图，连接，，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，由角平分线和线段垂直平分线的性质可得，证明，得到，即可得答案． 【详解】解：如图，连接，， ，， 平分， ， 是的垂直平分线， ， ， ，， ， ，， ， 由折叠得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了折叠的性质，角平分线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，证明是解本题的关键． 15． 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．由线段垂直平分线和角平分线的定义可得，在中由三角形内角和定理可求得． 【详解】解：在线段的垂直平分线上， ， ， 平分， ， 又， ， 故答案为：． 16． 【分析】根据题意知DE是AC的垂直平分线，得CE＝AE，再通过角度可证明∠B＝∠CEB，得CE＝BC，在Rt△CDE中，利用勾股定理求出CE即可． 【详解】解：∵D是AC的中点，ED⊥AC交AB于点E， ∴DE是AC的垂直平分线， ∴CE＝AE， ∴∠A＝∠ECA＝36°， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB＝72°， ∴∠BCE＝36°， ∴∠CEB＝180°−∠B−BCE ＝180°−72°−36° ＝72°， ∴∠B＝∠CEB， ∴CE＝BC， ∵D是AC的中点， ∴CD＝3， 在Rt△CDE中，由勾股定理得： CE＝， ∴BC＝， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理等知识，证明CE＝BC是解题的关键． 17． 垂直平分线 角平分线 /25度 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据三角形内角和定理及角平分线求出∠CAD，可得结论． 【详解】解：通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的 角平分线． ∵DF垂直平分线段AB， ∴DA=DB， ∴∠BAD=∠B=40°， ∵∠B=40°，∠C=50°， ∴∠BAC=90°， ∴∠CAD=50°， ∵AE平分∠CAD， ∴∠DAE=∠CAD=25°． 故答案为：垂直平分线，角平分线，25°； 【点睛】本题考查作图-基本作图，三角形内角和定理等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 18．见解析 【分析】首先作出AB的垂直平分线EF，EF与l的交点就是P的位置． 【详解】解：如图所示：点P即为所求． 【点睛】本题主要考查了基本作图，关键是掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等． 19．(1)作图见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的作法及其性质，等腰三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）根据角平分线和线段垂直平分线的作法作图即可； （）由三线合一可得，即得，再根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可求解； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：，为的平分线， ， ∴， ∴，， 点在的垂直平分线上， ， ． 20．（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查作图－应用与设计作图，轴对称求最短距离． （1）由题意可得，作出线段的垂直平分线、的交点D，即可求解； （2）作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，连接，则点即为所求． 【详解】解：如图，点D即为所求，   ； （2）点P即为所求，   ； 21．(1)见解析 (2)见解析，点F到直线的距离是线段的长 (3) 【分析】本题考查作图-复杂作图，线段垂直平分线的性质等； （1）根据题意画出即可； （2）分别以点A、B为圆心，以大于为半径画弧，两弧相交于两点，过这两点作直线即可； （3）根据题意画平行线即可． 【详解】（1）解：如图所示，为所求作的垂线， （2）解：如图所示，即为所求； 点F到直线的距离是线段的长； （3）解： ∵，，， ∴ 22．（1）∠ADE =20°；（2）△ADF是等腰三角形，证明见解析；（3）AB=16． 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠B和∠C，求出∠BDE，即可求出答案； （2）根据垂直平分线的性质定理和等边对等角可求得∠FDC，再根据三线合一和直角三角形两锐角互余可求得∠DAF和∠ADF得出它们相等即可得出△ADF为等腰三角形； （3）可求得∠C=30°根据30°角所对直角边是斜边的一般可得FC，可证明△ADF为等边三角形即可求得AF，从而求得AC，继而求得AB． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°， ∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=40°， ∵BD=BE， ∴∠BDE=∠BED=×（180°-∠B）=70°， ∵在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB=90°， ∴∠ADE=∠ADB-∠BDE=20°； （2）△ADF是等腰三角形， 理由是：∵CD的垂直平分线MF交AC于F，交BC于M， ∴DF=CF， ∵∠C=40°， ∴∠FDC=∠C=40°， ∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∴∠DAF=90°-∠C=50°， ∴∠ADF=50°， ∴∠DAF=∠ADF， ∴AF=DF， ∴△ADF是等腰三角形； （3）∵∠BAC=120°，AB=AC， ∴∠B=∠C=×（180°-∠BAC）=30°， 又∵AD是BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠DAC=90°-∠C=60°， ∵CD的垂直平分线MF， ∴∠FMC=90°，DF=FC， ∴∠FDC=∠C=30°， ∴∠ADF=∠ADC-∠FDC=60°，∠AFD=∠C+∠FDC=60°， ∴△ADF为等边三角形，AF=DF=FC， ∵MF=4， ∴FC=2MF=8， ∴AF= 8， ∵AC=AF+CF=8+8=16， ∵AB=AC， ∴AB=16． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等边三角形的性质和判定，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图轴对称变换，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键； （1）作直线，即为所求的直线． （2）连接交于点，作直线，交于点，则直线即为所求． 【详解】（1）解：如图1，作直线， 则直线即为所求的直线． （2）解：如图2，连接交于点，作直线，交于点， 则直线即为所求． 24．(1)见解析 (2)的半径为5 【分析】（1）连接、、、，先证明，得到，再由，可得垂直平分，即， （2）设求的半径为，由（1）可知为中点，则，利用勾股定理求出，再求出，，，由勾股定理建立方程，解得，则的半径为5． 【详解】（1）证明：连接、、、， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分，即， （2）解：设求的半径为， 由（1）可知， ∴为中点，为中点， ∴， 在中，， 在中，，，， ∵ ∴， 解得， ∴的半径为5． 【点睛】本题主要考查了三线合一定理，线段垂直平分线的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，圆的基本性质等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $