导数中的函数构造问题讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

导数中的函数构造问题 目录 题型一：利用与构造 1 题型二：利用与构造 2 题型三：利用与构造 4 题型四：通过变量构造具体函数 4 题型五：指对互化构造函数 5 题型六：通过数值构造具体函数 6 【强化训练】 7 题型一：利用与构造 (1) 出现形式，构造，则 .(注意对的符号进行讨论) (2) 出现形式，构造，则 . 【例1.1.】 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【例1.2.】 已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例1.3.】 已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例1.5.】 定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 题型二：利用与构造 (1) 出现形式，构造，则 . (2) 出现形式，构造，则 . 【例2.1.】 已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2.2.】 定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【例2.3.】 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【例2.4.】 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A． B． C．或 D．或 【例2.5.】 设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【例2.6.】 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2.7.】 已知定义在R上的可导函数，满足，对，则下列不等关系均成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型三：利用与构造 函数与相结合构造可导函数的常见形式： (1) 构造，则. (2) 构造，则. (3) 构造，则. (4) 构造，则. 【例3.1.】 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【例3.2.】 （多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【例3.3.】 已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 题型四：通过变量构造具体函数 同构法：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解. 【例4.1.】 已知若，则（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【例4.3.】 已知．且，，，则（    ） A． B． C． D． 【例4.4.】 已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（   ） A． B． C． D． 题型五：指对互化构造函数 指、对同构的三种基本类型 (1) 乘积型 如. (2) 比商型 如. (3) 和差型 如. 【例5.1.】 若且，且，且，则（　　） A． B． C． D． 【例5.2.】 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【例5.3.】 ，，，的大小关系是(注：为自然对数的底数)（    ） A． B． C． D． 【例5.4.】 已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型六：通过数值构造具体函数 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小. 例：可构造函数，则. 【例6.1.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.2.】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【例6.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【例6.5.】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【例6.6.】 设，，，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【强化训练】 1. 已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则 0．（填>或<） 2. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 3. 已知为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 4. 已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 5. 定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 6. 设、、，则（   ）. A． B． C． D． 7. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8. 函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 9. 已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 11. 已知，，，则(    ) A． B． C． D． 12. 已知a，b，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 13. 已知，满足（是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 14. 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 导数中的函数构造问题 目录 题型一：利用与构造 1 题型二：利用与构造 5 题型三：利用与构造 11 题型四：通过变量构造具体函数 14 题型五：指对互化构造函数 16 题型六：通过数值构造具体函数 19 【强化训练】 27 题型一：利用与构造 (1) 出现形式，构造，则 .(注意对的符号进行讨论) (2) 出现形式，构造，则 . 【例1.1.】 是定义在上的偶函数，为其导函数且，且时，，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合偶函数的性质即可进一步得解. 【详解】是定义在上的偶函数， 当时，令，则，所以在上单调递减， 当时，，即， 当时，，即， 即当时，的解集为， 因为函数是定义在上的偶函数，由其对称性可知： 当时，的解集为， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【例1.2.】 已知是定义在上的奇函数，，当时，有成立，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】构造函数，利用已知条件求导分析单调性，再结合函数的奇偶性来求解不等式. 【详解】构造函数，则， 因为当时，有， 故当时，，单调递增； 又因为是定义在上的奇函数，， 故是偶函数， 则当时，是单调递减函数. 又因为，则， 不等式 等价于， 所以当时，，即； 当时，，即， 所以不等式的解集是. 故选：A. 【例1.3.】 已知定义域为R的函数，对任意的都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，由题意可得出在R上单调递增，所以不等式可变形为得，由单调性解不等式即可得出答案. 【详解】令，则， 则在R上单调递增，， 由可得，即， 得，， 故选：B． 【例1.4.】 已知定义在上的奇函数，其导函数为，当时，恒有.则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、函数奇偶性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】利用构造偶函数，结合求导可判断单调性，从而求解原不等式. 【详解】根据题意可构造函数， 则， 由题可知，所以在区间上为增函数， 又由于为奇函数，为奇函数，所以为偶函数， 又，即， 又为开口向上的偶函数，所以，解得或. 故选：B. 【例1.5.】 定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【分析】根据题意，令g（x）＝f（x），（x＞0），对其求导分析可得g（x）在（0，+∞）上为增函数，原不等式可以转化为g（x）＜g（2），结合函数g（x）的单调性分析可得答案． 【详解】根据题意，令其导数， 若函数满足，则有，即在上为增函数， 又由，则， ，又由在上为增函数，则有； 即不等式的解集为（0，2）； 故选D． 题型二：利用与构造 (1) 出现形式，构造，则 . (2) 出现形式，构造，则 . 【例2.1.】 已知函数为上的奇函数，，当时，，不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，利用导数得到在各区间的符号，再分类讨论即可解出不等式. 【详解】构造，则， 因为当时，，则此时，单调递增， 则的正负符号由决定， 又因为，则，因为在上单调递增， 则当时，，所以此时， 当时，，所以此时， 又因为为上的奇函数，则当时，，则， 当时，，则， 且， 则若，则或 即或，解得或， 综上，的解集为. 故选：D. 【例2.2.】 定义在上的连续函数，导函数为．若对任意不等于的实数，均有成立，且，则下列命题中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数对称性的应用 【分析】构造函数，利用导数分析出函数在上单调递增，在上单调递减，并推导出函数的图象关于直线对称，进而可判断出各选项的正误. 【详解】构造函数，则， 当时，. 当时，则，； 当时，则，. 所以，函数在上单调递增，在上单调递减. 又，所以， 即，故函数的图象关于直线对称． 对于A选项，，即，与的大小关系不确定，A选项错误； 对于B选项，，即，即，B选项正确； 对于C、D选项，，即，C、D选项错误. 故选：B． 【例2.3.】 已知函数的定义域为，，若对任意，都有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】令，利用导数可判断函数得单调性，由已知条件可得函数的零点，由此可解得不等式. 【详解】令，则， 因为， 所以， 所以，即在上单调递增， 又，所以， 故当时，，即， 整理得，两边同除以，即可得， 所以当且仅当时，， 所以的解集为. 故选：B. 【例2.4.】 定义在上的函数满足：，，是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为 A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解. 【详解】设，， 则， ， ， ， 在定义域上单调递增， ， ， 又， ， ， 不等式的解集为. 故选：B 【例2.5.】 设函数的定义域为，是其导函数，若，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求出，利用条件知，所以单调递增，将转化为，利用函数单调性即可得到答案. 【详解】令，则， 因为，所以，所以， 所以函数在上单调递增， 而可化为，又 即，解得， 所以不等式的解集是． 故选：B 【例2.6.】 已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用 【分析】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【详解】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【例2.7.】 已知定义在R上的可导函数，满足，对，则下列不等关系均成立的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【分析】构造函数，通过其导数大于零，断定其为增函数，得出；构造函数，通过其导数小于零，断定其为减函数，得出. 【详解】解：令函数，则， 即在上单调递增，因为， 则； 令函数，则， 即在上单调递减，则 即，即， 故选：D． 题型三：利用与构造 函数与相结合构造可导函数的常见形式： (1) 构造，则. (2) 构造，则. (3) 构造，则. (4) 构造，则. 【例3.1.】 设函数是定义在上的函数的导函数，有，若，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【解析】根据题意，构造函数，求导，可得在上的单调性，将a，b，c变形整理，结合单调性，即可得答案. 【详解】设函数，则， 因为，所以， 所以在上是增函数， ，，， 所以， 故选：A 【例3.2.】 （多选）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【解析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断． 【详解】解：令，， 因为， 则， 故在，上单调递减， 因为，则， 结合选项可知，，从而有，即，故错误， 因为，结合在，上单调递减可知，从而有， 由可得，故错误； ，从而有，且，即．故正确； ，从而有即．故正确． 故选：． 【例3.3.】 已知定义在上的函数，为其导函数，且恒成立，则 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的单调性 【详解】令 ,则,所以 在上单调递增,因此 , ,所以选C. 题型四：通过变量构造具体函数 同构法：若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量分别置于等号或不等号两边，即可构造函数，并且利用函数的单调性求解. 【例4.1.】 已知若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】对数的运算性质的应用、由指数函数的单调性解不等式 【分析】依题意构造函数，判断其单调性即可得结果． 【详解】由题意知可以化为， 所以可以构造函数，因为在上为增函数， 又因为．所以 故选：B 【例4.2.】 已知且，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设，利用导数求得函数的单调性，画出图象，根据题意转化为，，，结合图象，即可求解. 【详解】设，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 函数的图象如图所示， 由且，可变形为，可得； 由且，变形为，可得， 由且，变形为，可得， 所以. 故选：C 【例4.3.】 已知．且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数和，利用导数分别判断其单调性，由即可得，最后可得. 【详解】令，则，即在上单调递减， ∴，即， 设，则， 即在上单调递增， 又∵，∴. 故选：. 【例4.4.】 已知函数 是定义在上的偶函数，且满足 ，.若， 则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据题设条件，构造函数，判断其单调性和奇偶性，再利用单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】因 ，，不妨设，则可得， 设，则，故函数在上单调递增， 又函数 是定义在上的偶函数，由，可知函数为上的偶函数. 因，则，故不等式等价于， 即，也即，由函数单调性，可得，即或. 故选：B. 题型五：指对互化构造函数 指、对同构的三种基本类型 (1) 乘积型 如. (2) 比商型 如. (3) 和差型 如. 【例5.1.】 若且，且，且，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较对数式的大小 【分析】利用构造函数法，结合导数求得正确答案. 【详解】令，则． 由得：． 函数在上单调递增，在上单调递减． ，，，，，， ， ， ． ，，， 又，，，，，都小于，． 故选：B 【例5.2.】 设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】把不等式进行变形，引入函数，由导数确定函数单调性，由单调性及不等关系得结论． 【详解】由已知，，则． 设，则． 因为，则．又，则，即，从而． 当时，，则在内单调递增， 所以，即， 故选：B． 【例5.3.】 ，，，的大小关系是(注：为自然对数的底数)（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由幂函数的单调性比较大小、比较指数幂的大小 【分析】利用指数函数和幂函数的单调性、构造法、导数的性质求解即可． 【详解】解：， ，， 构造函数， ， ， 当时，，在上是增函数， ，， ， ． 故选：B． 【例5.4.】 已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【解析】将变形为，利用单调性可得，从而，再构造函数，通过求导找到最小值即可. 【详解】易知在上单调递增，在上单调递减，同理， ，易得在上单调递增，在上单调递减，又存在 使得成立，则， ，且，又在上单调递增， 故，所以，令，则， 易知，在上单调递减，在上单调递增， 故. 故选：D. 题型六：通过数值构造具体函数 当要比较的各数为某些函数的函数值时，要仔细观察这些数值的共同之处，构造一个或两个函数，使要比较的数成为该函数的函数值，然后利用函数的单调性比较大小. 例：可构造函数，则. 【例6.1.】 设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、利用导数证明不等式 【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对，的大小作出判定，对于与，与的大小关系，将换成,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括的较小范围内的单调性，结合,即可得出与，与的大小关系. 【详解】因为,所以； 下面比较与的大小关系. 记,则,， 由于 所以当时，,即,, 所以在上单调递增， 所以,即,即； 令,则,, 由于，在时,, 所以,即函数在上单调递减，所以,即,即；综上，． 故选：B 【例6.2.】 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对两边取对数，从而构造函数与，利用导数判断得两者的单调性，进而判断得与，由此得解. 【详解】因为，，所以，， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 因为，所以，而， 令，则， 令，则恒成立， 所以在上单调递减，则， 所以在上恒成立，则上单调递减，又， 所以，即，即， 所以，则； 综上，. 故选：B． 【例6.3.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由结合三角函数的性质可得;构造函数,利用导数可得,即可得解. 【详解】[方法一]：构造函数 因为当 故，故，所以； 设， ，所以在单调递增， 故，所以， 所以，所以，故选A [方法二]：不等式放缩 因为当， 取得：，故 ，其中，且 当时，，及 此时， 故，故 所以，所以，故选A [方法三]：泰勒展开 设，则，， ，计算得，故选A. [方法四]：构造函数 因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以， 故选：A． [方法五]：【最优解】不等式放缩 因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以． 故选：A． 【例6.4.】 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】利用导数证明不等式 【分析】利用导数证明，当时，，取特殊值得出大小关系. 【详解】令，若，则， 若，则，则函数在上单调递减，在上单调递 增.则，即，. 取，则，即. 取，则，即，. 又，令， 则函数都在上单调递增，则. 所以时，. . 又函数在上单调递增，所以. 即，. 故选：A 【例6.5.】 已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】构造，利用导数求其单调性可判断的大小，构造，利用导数求其单调性可得到，再由为锐角时，，即可得到答案. 【详解】设， 则， 令，， 因为在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减， 由，所以， 所以当，所以在上单调递增， 当，所以在上单调递减， 又，， 从而即在上恒成立， 故在上单调递增， 所以，即， 即， 构建，则， 令，则， 当时，，则在单调递增， 所以，即， 故在上单调递增，则， 故在恒成立， 取，可得， 而由为锐角时，可知，， 由不等式传递性知， 综上可得：. 故选：D. 【例6.6.】 设，，，则大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、比较函数值的大小关系 【分析】构造函数，，求导利用函数的单调性比较的大小，构造函数，，求导利用函数的单调性比较的大小，从而确定的大小关系. 【详解】令，， 由， 在上单调递增， 所以，即，， ，所以； 令，， 由， 令，，， 令，则， 所以在上单调递减， 又，， 所以存在唯一，使得， 即当时，，当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以的最小值为，中一个，而，， 所以，即， 所以在上单调递增，所以， 即，，所以，即. 所以. 故选：B. 【强化训练】 1. 已知函数的定义域是，其导函数是，且满足，则 0．（填>或<） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，根据题意得到，单调递增，得到，进而求得. 【详解】令，可得， 因为，可得，单调递增， 又由，所以，即，即. 故答案为：. 2. 已知是定义在上的奇函数，若对于任意的，都有成立，且，则不等式解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设函数，结合导数与单调性关系先判断的单调性，然后判断奇偶性，即可求解． 【详解】设函数，则， 因为是上的奇函数，所， 所以是上的偶函数，， 因为当时，， 所以，即在上单调递减， 因此在上单调递增， 所以，， 当，原不等式可化为，即，解得， 当，原不等式可化为，即，解得， 综上所述，. 故选：D 3. 已知为自然对数的底数)，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导确定单调性，根据单调性确定大小. 【详解】, 设，则， 令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 故选：B. 4. 已知定义在上的连续函数，其导函数，当时，恒有成立．设，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，求出函数的导函数，结合已知可得的单调性，即可判断； 【详解】解：令，则， 当时，恒有成立， 当时， ，即在上单调递减． 则，，， ，即， 故选：C． 5. 定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、函数对称性的应用 【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在时单调递增．由注意到，则，代入已知表达式可得，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果． 【详解】解：设，则， 对任意的都有； 则，则在上单调递增； 则，； 因为， ， ，所以关于对称， 在上单调递增； ，所以，，所以错误； ，又由对称性知， ，，即，所以B错误； ，，，所以C错误； ，，， ，，所以D正确． 故选：D． 6. 设、、，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】比较对数式的大小、比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】要通过对数函数的单调性以及构造函数利用导数判断函数单调性的方法，来比较、、的大小. 【详解】∵，在内单调递增，∴，∴， 令，定义域为， ， 当时，，∴在内单调递减，∴， 即，即，∴，∴. 故选：B. 7. 已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系、比较对数式的大小 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，再由函数的单调性结合对数函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】构造函数，其中，则， 令，则对任意的恒成立， 当时，，即， 所以，函数在上单调递减， 因为，， ， 又因为在上单调递减，则， 即，故. 故选：C. 8. 函数定义域为R，导函数为，满足下列条件：①任意，恒成立，②时，恒成立，则关于t的不等式：的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断或证明函数的对称性、根据函数的单调性解不等式 【分析】设函数，利用已知条件判断函数的单调性及对称性，根据所得结论化简不等式求其解集. 【详解】设函数， 则，又时，恒成立， 所以当时，， 所以函数在单调递增， 又 因为任意，恒成立， 所以， 所以，所以函数的图象关于对称， 因为可化为， 所以， 所以 所以， 所以， 所以不等式：的解集为， 故选：A. 9. 已知定义在上的函数满足，且，为的导函数，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】构造函数，利用的奇偶性和单调性求得正确答案. 【详解】设， ， 所以是奇函数. 当时，， 则， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 不等式即， 所以， 所以不等式的解集为. 故选：D 10. 已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】变换，，，构造，确定函数的单调区间得到，得到答案. 【详解】，，， 设，则，当时，，函数单调递增， 故，即. 故选：A 11. 已知，，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】对于a和c，可构造函数，利用导数判断其单调性即可判断a、c大小；，可构造函数判断与0.1的大小，构造函数判断0.1与大小，从而可判断b、c大小． 【详解】①令， 令， ， 当时，单调递增， 又，∴，又， ∴在成立，∴，即； ②令，则， 在时，，则为减函数， ∴，即； ③令，则， 故在为减函数， ∴，即； ∴， 令，则， 即，∴，∴． 故选：B． 12. 已知a，b，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】比较函数值的大小关系、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】将转化为、转化为，转化为，作出的图像，根据，可得. 【详解】构造函数（），， 函数在上单调递减，， 可转化为，可转化为， 可转化为， 下面比较的大小关系， 显然：， ， 设，由和的图像可知： 当时，，而，所以， 所以，即. ,     设，和的图像如图所示： 因为，所以，使得， 所以当时，，而，所以， 所以，即， 综上：, 则分别函数与直线的交点横坐标， 如图所示： 由图可知：. 故选：B 13. 已知，满足（是自然对数的底数），则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.15 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、判断零点所在的区间 【分析】由题知，令，进而构造函数，再根据函数的单调性得，，再与求和整理即可判断A、B，再由零点存在性定理判断C、D. 【详解】因为，所以，即，也即， 即， 令， 由，即，所以， 即， 令，，在恒成立， 所以函数在定义域上单调递减， 由，， 所以，，所以，则，所以，故A错误； 又因为，得，所以，解得， 所以，故B错误； 令，则在定义域上单调递减， 又，， ， 则在上存在唯一零点，又，所以，故C错误； 因为， 因为，所以，所以， ， 所以在上存在唯一零点，即，则，又， 则，所以，故D正确. 故选：D 14. 已知函数的定义域为，其导函数是．有，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】令，根据题设条件，求得，得到函数在内的单调递减函数，再把不等式化为，结合单调性和定义域，即可求解. 【详解】由题意，函数满足， 令，则 函数是定义域内的单调递减函数， 由于，关于的不等式可化为， 即，所以且，解得， 不等式的解集为. 故答案为： ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $