5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

正弦函数、 余弦函数的性质 学习目标： 1、了解周期函数、周期、最小正周期的含义. 2、掌握=sin ∈R)，=cos ∈R)的周期性、奇 偶性、 单调性和最值和对称性 3、会求函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)的周期、 单调区间及最值和对称中心与对称轴 01 定义域 02 值域 03 周期性 问题探究 观察正弦函数的图象，你能发现正弦曲线中存在什么样的变化规律？ 周期函数 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且 那么函数就叫做周期函数. 非零常数叫做这个函数的周期. 定义 注意：T≠0 问题探究 结合周期函数的定义来分析，正弦函数是周期函数. 正弦函数是否为周期函数？ 追问 01 正弦函数的周期是多少？是否只有唯一一个？ 追问 02 根据公式一可知，正弦函数的周期是. 正弦函数的周期不止一个，例如以及 都是它的周期. 问题探究 正弦函数的周期是，当得到最小的正数. 在正弦函数的所有正周期中，是否存在一个最小的正数？ 追问 03 如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 定义 在后续的学习中，如果不加特别说明，那么所涉及的周期，一般都是指函数的最小正周期. 注意 问题探究 问题探究 根据上述定义，我们有： 正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. 余弦函数是否为周期函数？若是，则指出其周期和最小正周期. 余弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. 例题解析 例2 求下列函数的周期： 例题解析 解： 例题解析 例题解析 正弦函数与余弦函数的周期与自变量的系数有关. 即函数的周期为. 求周期的方法有定义法，公式法，图象法 练习：求下列函数的周期． （1）； （2） 探究：正弦型、余弦型函数的周期 16 04 奇偶性 问题探究 观察正弦函数、余弦函数的图象，判断它们的奇偶性. 问题探究 观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于轴对称. 所以 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 这个事实，也可由诱导公式 = f(x) y=sinx和y=cosx分别是奇函数和偶函数 例题解析 例题解析 正弦函数 余弦函数 定义域 值域 周期 奇偶性 正弦函数、余弦函数的性质 R R 奇函数 偶函数 05 单调性 问题探究 观察正弦函数、余弦函数的图象，判断它们的单调性. 问题探究 根据正弦函数的周期性，我们可以先在它的一个周期的区间上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域. 问题1 观察正弦函数的图象，你认为选取哪个区间研究函数的单调性比较合适呢？ 问题探究 从图象可以看出，如果选这一周期内，其单调递增区间是断开的，不易分析. 而选取作为一个周期区间，则能很好地体现其单调性. 问题探究 观察正弦函数的图象，探究函数在内的单调性. 追问 正弦函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 正弦函数的单调性 由正弦函数的周期性可得， 正弦函数在每一个闭区间上都单调递增； 在每一个闭区间上都单调递减. 问题探究 问题探究 类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表. 函数在区间 上单调递增，其值从增大到； 在区间 上单调递减，其值从减小到. 余弦函数的单调性 由余弦函数的周期性可得， 在每一个闭区间 上都单调递减，其值从减小到. 余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从增大到； 例　不通过求值，比较下列各组数的大小： (1) ； (2) cos； cos. 解 (1)因为−<−<−<0， 正弦函数y=sin x在区间[−，0]上单调递增， 所以sin(−)>sin(−). (2)cos(−)=cos=cos，cos(−)=cos=cos 因为0<<π，且函数y=cos x在区间[0，π]上单调递减， 所以cos>cos，即cos(−)>cos(−). 例题解析 例 例题解析 06 最大值与最小值 问题探究 观察正弦函数的图象，你能发现正弦曲线和余弦曲线中最值存在什么样的变化规律？ 问题探究 问题探究 从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到， 正弦函数当且仅当 时取得最大值， 当且仅当 时取得最小值. 余弦函数当且仅当 时取得最大值， 当且仅当 时取得最小值. 正弦函数 余弦函数 单调性 最大值 最小值 在每一个闭区间上都单调递增； 在每一个闭区间上都单调递减. 在每一个闭区间上都单调递增； 在每一个闭区间上都单调递减. 当且仅当 时取得最大值. 当且仅当时取得最小值. 当且仅当 时取得最大值. 当且仅当时取得最小值. 正弦函数、余弦函数的性质 例题解析 解： （1）该函数有最大值、最小值. 例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值. （1）； 使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最大值的的集合 使函数取得最小值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合 函数的最大值是；最小值是. （2）； 例题解析 解： （2）该函数有最大值、最小值. 例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值. 令，使函数取得最大值的的集合，就是使函数取得最小值的的集合 由，得. 所以，使函数取得最大值的的集合是 （1）； （2）； 例题解析 解： 例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量的集合，并求出最大值、最小值. 同理，使函数取得最小值的的集合是 函数的最大值是，最小值是. （1）； （2）； 07 对称性 问题探究 正弦函数的对称轴是直线 . 观察正弦函数的图象，找出它的对称轴和对称中心. 追问 01 对称中心是. 问题探究 余弦函数的对称轴是直线 . 观察余弦函数的图象，找出它的对称轴和对称中心. 追问 02 对称中心是. 正弦函数 余弦函数 对称轴 对称中心 正弦函数、余弦函数的性质 . 例1 求下列函数的图象的对称轴和对称中心. （1） ; （2） . 解：令 , ， 解得,， 所以函数的图象的对称轴方程为 , . 令 ,， 解得， ， 所以函数的图象的对称中心为 ， . 08 小结 课堂小结 正弦函数 余弦函数 定义域 值域 周期 奇偶性 对称轴 对称中心 正弦函数、余弦函数的性质 R R 奇函数 偶函数 课堂小结 正弦函数 余弦函数 单调性 最大值 最小值 在每一个闭区间上都单调递增； 在每一个闭区间上都单调递减. 在每一个闭区间上都单调递增； 在每一个闭区间上都单调递减. 当且仅当 时取得最大值. 当且仅当时取得最小值. 当且仅当 时取得最大值. 当且仅当时取得最小值. 正弦函数、余弦函数的性质 $