精品解析：天津市宝坻区第一中学等校2025-2026学年度第一学期期末高一数学学生学业能力调研试卷

2025～2026学年度第一学期期末高一数学 学生学业能力调研试卷 第I卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集和交集的定义即可求解. 【详解】由可得或， 故， 故选：D 2. 等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式和特殊角的三角函数值进行化简. 【详解】 故选：A 3. 设，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】解绝对值不等式，再根据充分必要条件进行判断即可得结论. 【详解】由可得，解得， 因为由“”推不出“”，且由“”推不出“”， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性可得， 根据对数函数的单调性可得 ， 从而可判断. 【详解】因为， 即，. 所以． 故选：A. 5. 函数的图象大致为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性排除C，D，再根据函数值的正负即可判断． 【详解】由为奇函数，得的图象关于原点对称，排除C，D；又当时，，故选B． 【点睛】有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题． 6. 函数零点所在区间为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用零点存在定理判断零点所在的区间. 【详解】易知在定义域上单调递增，， 则，由零点存在定理知，A错误； 由，可得，B正确； 由，可得，C错误； 由，可得，D错误． 故选：B. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次函数和反比例函数的单调性，列出不等式求解即可. 【详解】由题意在上单调递增，则解得． 故选：D． 8. 已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象求出函数中的参数可得函数的解析式，然后根据余弦函数的性质逐项分析即可. 【详解】对于，由图像可知，设函数的最小正周期为， 由图像可知，所以，则，则，故正确，不满足题意； 对于，因为， 所以可得, 又因，，所以函数， 令，即，则时，， 所以图像关于点对称，故正确，不满足题意； 对于，的单调递减区间为， 则令，解之可得， 令，则为递减区间， 而，故正确，不满足题意； 对于，的图像向左平移个单位，根据平移法则， 平移后函数为， 可得，所以奇函数，故错误，满足题意. 故选： 9. 设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数的取值范围，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，； 因，当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则， ； 当时，，故， 则，. 因此当时，都有， 只需要考虑时，即可，解得或， 因此当时，恒成立，即，故 ． 故选：B 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 已知扇形面积为3，圆心角为2弧度，则扇形的周长是________cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式以及弧长公式即可求解. 【详解】设扇形的半径为,弧长为， 由于，故，可得， 故弧长， 因此扇形的周长为， 故答案为： 11. 计算：_____． 【答案】3 【解析】 【分析】利用指数、对数的运算性质及换底公式化简计算即可． 【详解】原式 故答案为：3． 12. 不等式的解集为____． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式不等式的解法计算即可. 【详解】由得， 所以，且， 所以，且，解之得或. 故答案为：. 13. 角的终边经过点，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义可得正弦值，即可由诱导公式化简求解. 【详解】由于角的终边经过点，故 故， 故答案为： 14. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为_______. 【答案】 【解析】 【分析】先作出的函数图像，令，则方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根，令，可得，解出即可. 【详解】由题意作出的函数图像： 令，所以， 当时，方程没有解， 当时，方程的解集为， 当时，方程的解集为， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 当时，方程有两个不相等的实数根， 设两根为，则，，故， 方程有4个不相等的实数根等价于方程在有两个不等的实根， 令， 所以，解得， 所以实数取值范围是， 故答案为： 三、解答题（本题共5个小题，共59分） 15. 已知为锐角，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由同角三角函数关系得到，求出正切值，利用二倍角公式求出； （2）求出，由正切值得到，，利用差角公式求出答案. 【小问1详解】 ∵为锐角，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 ∵为锐角，，， ∴，又∵， ∴， 由和得 ，， 又∵，， ∴，， ∴ . 16. 随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本300万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. （1）求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 【答案】（1）， （2）年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元 【解析】 【分析】（1）根据给定的函数表达式结合年利润的求法即可得到函数关系； （2）分和两段函数，再分别利用二次函数的性质和基本不等式求出其最值，再比较即可. 【小问1详解】 每百台高级设备售价为90万元，年产量（百台）时销售收入为万元， 总成本为， 所以 ，. 所以年利润，. 【小问2详解】 由（1）当时，， 故当（百台）时，（万元）， 当时，， 当且仅当即（百台）时，等号成立，此时（万元）， 因为1300万元>1203万元， 所以年产量40百台时利润最大，最大利润为1300万元. 17. 已知函数，. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 【答案】（1）最小正周期，单增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换公式将函数化简，再由正弦函数的性质计算可得； （2）根据三角函数的变换规则得到的解析式，再由的取值范围，求出的取值范围，即可求出函数的值域. 【小问1详解】 因为 ， 即，所以的最小正周期. 令，，解得，， ∴的单调递增区间为. 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位长度得到 的图象， 再将的图象上所有点的横坐标缩小到原来的得到图象，即得到的图象，所以， 当，则， 当即时，单调递增, 当即时，单调递减， 又，，， ∴在的值域为. 18. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义导出关于的方程，解出，再结合“不为常函数”排除得到结果； （2）将值代入，化简函数表达式，在定义域内任取自变量作差，利用对数性质与真数大小比较证明函数值随自变量增大而减小； （3）将不等式分离出，构造关于函数，利用其在给定区间上的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围； 【小问1详解】 由为奇函数，则对定义域内的每一个都有， 所以，即，所以， 当时，函数为常函数，与已知矛盾， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 任取，则， ，则，， ，即所以， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 对任意的，， 即，得， 记函数，， 则函数在区间上单调递减， 函数在区间上的最大值为， ，因此，实数的取值范围是. 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 【答案】（1）2025 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“1－1－泊点”定义有，则，得，根据周期函数得，求得答案. （2）依题意，有解，法一：，求M的最大值；法二：利用齐次化，，利用基本不等式求M的最大值；法三：联立，即在上有解，换元，利用二次函数求出最大值； （3）依题意，转化为在定义域内恰有2个解，分类讨论求得答案. 【小问1详解】 因为任意，， 所以，所以， 所以为周期为2 的周期函数， 所以． 【小问2详解】 因为是的“－M－泊点”， 所以在上有解， 因为，所以， 法一：因为， 当且仅当时，即时取得等号， 所以，所以M的最大值为． 法二：因为 令，，所以， 当且仅当，即时取得等号，此时， 所以M的最大值为． 法三：因为在上有解， 即在上有解， 设，所以在区间上有解， 因函数在上关于对称， 所以解得，所以M的最大值为． 【小问3详解】 因为函数恰有2个“1－1－泊点”， 所以在定义域内恰有2个解， 因为， ①当时，则， 所以，即，所以，舍去； ②当时，所以， 即（*）， ③当时，， 所以，即（**）； 依据条件，（**）和（*）共有2个不同实数解； （i）对于（*）式，令，， 设，所以在上递增，，， 所以关于m的方程在上解的情况如下： （a）当，即时，（*）没有实数根； （b）当，即时，（*）没有实数根； （c）当即0＜t＜2，（*）只有一个实数根. （ii）对于（**）式，令，， 设， 因为 函数的对称轴为，由（i）得： （a）当时在内需2个零点，且， 所以即，无解； （b）当时，在内需2个零点， 但，至多一个零点，舍去； （c）当时，在内需1个零点，且， 所以在上递增， 所以即，解得 所以 综上所述，t的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第一学期期末高一数学 学生学业能力调研试卷 第I卷（共36分） 一、选择题（本题共9小题，每题4分，共36分每小题只有一个选项符合题意） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 等于 A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（　　） A. B. C. D. 5. 函数图象大致为 A. B. C D. 6. 函数零点所在区间为（参考数据：）（ ） A. B. C. D. 7. 已知定义域为的函数单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的部分图像如图所示，则下列选项不正确的是（ ） A. B. 的图像关于点对称 C. 在上单调递减 D. 把的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数 9. 设函数的定义域为，且，当时，，若对于，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共84分） 二、填空题（本题共5小题，每题5分，共25分） 10. 已知扇形面积为3，圆心角为2弧度，则扇形的周长是________cm. 11. 计算：_____． 12. 不等式的解集为____． 13. 角的终边经过点，则______. 14. 已知函数，若方程有4个不相等的实数根，则实数取值范围为_______. 三、解答题（本题共5个小题，共59分） 15. 已知为锐角，，． （1）求值； （2）求值． 16. 随着经济与国力的进一步加强，我国正向“智造”强国迈进，近几年来一大批自主创新的企业都在打造自己的科技品牌，某企业自主研发了一款高级智能设备，并从2025年起全面发售.经测算，生产该高级设备每年需投入固定成本300万元，每生产x百台高级设备需要另投成本y万元，且.每百台高级设备售价为90万元，假设每年生产的高级设备能够全部售出，且高级设备年产量最大为10000台. （1）求企业获得年利润M（万元）关于年产量x（百台）的函数关系式； （2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大?并求最大年利润. 17 已知函数，. （1）求函数的最小正周期及单调递增区间； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，然后把所得函数图象上所有点的横坐标缩小到原来的倍，得到的图象，求函数在上的值域. 18. 已知函数为奇函数，且不为常函数. （1）求的值； （2）若，用定义法证明：在上单调递减； （3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围. 19. 对于函数，若实数满足，其中H，M为非零实数，则称为的一个“H－M－泊点”. （1）已知任意实数x都是函数的“1－1－泊点”，若， 求； （2）设函数，若是的“－M－泊点”，求M的最大值； （3）设函数若恰有2个“1－1－泊点”，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $