寒假预习——质数和合数（讲义）-2025-2026学年五年级下册数学人教版

寒假预习讲义：质数和合数 知识精讲+例题讲解+强化训练 知识精讲 一、质数和合数的意义 1、质数（素数） （1）定义：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。 （2）特点：质数只有两个因数，没有其他因数。 （3）举例：2的因数只有1和2，所以2是质数；3的因数只有1和3，所以3是质数。 2、合数 （1）定义：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。 （2）特点：合数至少有三个因数。 （3）举例：4的因数有1、2、4，除了1和4还有2，所以4是合数；6的因数有1、2、3、6，所以6是合数。 3、特殊数字1 （1）结论：1既不是质数，也不是合数。 （2）原因：1只有一个因数（就是它本身），不符合质数（需要两个因数）和合数（需要至少三个因数）的定义。 4、分类总结 （1）按因数个数分类：自然数（0除外）可以分为三类：质数、合数和1。 （2）最小值：最小的质数是2，最小的合数是4。 二、100以内的质数表 1、记忆重点 （1）20以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19（共8个）。 （2）100以内的质数：共有25个，需要熟练掌握。 2、找质数的方法（筛选法） （1）步骤： ① 划去1（1既不是质数也不是合数）。 ② 保留2，划去2的所有倍数（2本身除外）。 ③ 保留3，划去3的所有倍数（3本身除外）。 ④ 保留5，划去5的所有倍数（5本身除外）。 ⑤ 保留7，划去7的所有倍数（7本身除外）。 ⑥ 剩下的数就是100以内的质数。 3、常见误区 （1）质数与奇数：质数不一定是奇数（如2是质数且是偶数）；奇数不一定是质数（如9、15是奇数但不是质数）。 （2）合数与偶数：合数不一定是偶数（如9、15是合数但不是偶数）。 三、质数和合数的应用 1、分解质因数 （1）概念：把一个合数写成几个质数相乘的形式。 （2）方法：用短除法或树枝法，一直分解到所有因数都是质数为止。 （3）示例： 。 2、解决实际问题 （1）密码设置：利用质数的特性设置密码。 （2）分组问题：根据质数和合数的特征解决物品分配问题。 例题讲解 【典型例题1】 判断下列各数是质数还是合数。 17，25，31，42，1 【解析】 （1）17：因数只有1和17，是质数。 （2）25：因数有1、5、25，除了1和25还有5，是合数。 （3）31：因数只有1和31，是质数。 （4）42：因数有1、2、3、6、7、14、21、42，至少有三个因数，是合数。 （5）1：只有一个因数，既不是质数也不是合数。 【跟踪练习】 （1）在1，8，13，21，27，35，41中，质数有（ ），合数有（ ）。 （2）判断：所有的质数都是奇数。（ ） 【典型例题2】 找出100以内的所有质数，并熟记。 【解析】 （1）列表法：使用筛选法，先写出1-100的数，按步骤划去非质数。 （2）结果：100以内的质数有： 2，3，5，7， 11，13，17，19， 23，29， 31，37， 41，43，47， 53，59， 61，67， 71，73，79， 83，89， 97。 【跟踪练习】 （1）20以内既是奇数又是合数的数有（ ）。 （2）最小的质数是（ ），最小的合数是（ ）。 【典型例题3】 一个三位数，百位上的数字是最小的质数，十位上的数字是最小的合数，个位上的数字既不是质数也不是合数。这个三位数是多少？ 【解析】 （1）分析： 最小的质数是2，所以百位是2。 最小的合数是4，所以十位是4。 既不是质数也不是合数的数字是1（0通常不考虑在三位数个位，且0也不是质数或合数，但题目通常指1），所以个位是1。 （2）答案：这个三位数是241。 【跟踪练习】 （1）一个两位数，十位上的数字是最大的一位质数，个位上的数字是最小的奇数。这个两位数是多少？ （2）三个连续的自然数，都是合数，请写出一组。 强化训练 一、填空题 1．在1~10 中，既是偶数又是质数的数是　 　，既是奇数又是合数的数是　 　。 2．在1，1.2， 2，9， 59， 87， 112这七个数中，　 　是　 　的倍数；　 　和　 　是质数。 3．从2、4、7中选任两个数字可以组成不同的两位数。在这些两位数中，质数是　 　；既是2的倍数，又是3的倍数，最大是　 　。 4．小兵家的电脑密码是一个四位数 abcd，a是最小的质数，b是最小的奇数，c是最小的偶数，d是最小的合数。这个密码是　 　。 5．哥德巴赫猜想是数学中一个著名的难题，其内容是所有大于2的偶数都可以表示为两个质数的和。例如：8＝3＋5，32＝3＋29，请据此把下面的偶数表示为两个质数的和：12＝　 　＋　 　，30＝　 　＋　 　。 二、判断题 6．两个合数的和一定还是合数.(　　) 7．一个整数，不是质数就是合数。 (　　) 8．两个连续的自然数相乘，积一定是合数。(　　) 9．质数不一定是奇数，偶数一定是合数。(　　) 10．自然数（0除外），可以按照因数的个数分为质数和合数两类。(　　) 三、选择题 11．一个合数至少有(　　)。 A．四个因数 B．三个因数 C．两个因数 D．一个因数 12．下面各数中，(　　)既是合数又是奇数。 A．15 B．19 C．24 D．30 13．下面各种说法，正确的是(　　)。 ①一个数的最小倍数是它本身。 ②一个数有无数个倍数。 ③一个数的倍数大于它的因数。 ④一个数至少有两个因数。 A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④ 14．关于2x+2y的和，下面描述正确的是 (　　)(x、y是自然数)。 A．一定是奇数 B．一定是偶数 C．一定是质数 D．无法确定 15．完全数是等于除了它自身以外的全部因数之和的数。例如，6的因数有1，2，3，6，这几个因数的关系就是：1+2+3=6，则6是一个完全数。下面四个选项中是完全数的是(　　) A．2 B．8 C．14 D．28 四、解决问题 16．有一个直角三角形，两条直角边的长是两个质数，和为12厘米，这个直角三角形的面积是多少平方厘米? 17．有一个四位数，各个数位上的数都不相同，它同时有因数2，3，5，且这个数中只有两个数位上的数是质数。符合要求的数中，最小的数是多少？最大的数是多少？ 18．实验小学植物园里种植了若干行月季，每行的月季棵数相同。下表是几位五年级同学数出的月季总棵数，其中只有一位同学数对了，你知道是谁吗？说明理由。 陈明 王一 许强 张雪 41棵 43棵 45棵 47棵 答案解析部分 【跟踪练习1】答案 （1）质数：13，41；合数：8，21，27，35。 （2）×。解析：2是质数但不是奇数。 【跟踪练习2】答案 （1）9，15。解析：20以内奇数有1,3,5,7,9,11,13,15,17,19，其中合数是9,15。 （2）2，4。 【跟踪练习3】答案 （1）71。解析：最大的一位质数是7，最小的奇数是1。 （2）8,9,10（答案不唯一）。解析：8,9,10都是合数。 【强化训练】 1．2；9 2．112；2；2；59 3．47；42 4．2104 5．5；7；11；19 6．错误 7．错误 8．错误 9．错误 10．错误 11．B 12．A 13．A 14．B 15．D 16．解：5×7÷2=17.5(平方厘米) 17．解：由于该数同时是2和5的倍数，个位必须为0。最小四位数，千位取最小非零数字1，剩余百位和十位需选两个质数且尽可能小，同时总和加上千位和个位（0）能被3整除，质数候选：2、3、5、7。 2和3：1+2+3+0=6（能被3整除），组合为1230。 因此最小数为1230。 最大四位数，千位取最大数字9，剩余百位和十位需选两个质数且尽可能大，同时总和加上千位和个位（0）能被3整除。 质数候选：7、5、3、2。 7和5：9+7+5+0=21（能被3整除），组合为9750。 其他组合（如7和3）总和为19，不能被3整除；7和2总和为18，但2比5小，故9750更大，因此最大数为9750。 答：最小的数是1230，最大的数是9750。 18．解：是许强。因为月季的总棵数=每行的棵数×行数；所以月季的总棵数是一个合数，而41。43，47都是质数，只有45是合数，故只有许强数对了。 1 学科网（北京）股份有限公司 $