精品解析：河南郸城县李楼乡第二中学等校2025-2026学年度华东师大版上学期期末考试卷 九年级数学

2025-2026学年度华师版上学期期末考试卷 九年级数学 满分：120分 考试时间：100分钟 适用范围：华师版九年级上册 (一元二次方程、旋转、圆、概率初步、二次函数) 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程是只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的整式方程，根据一元二次方程的定义即可得出结果． 【详解】解：A．方程中含有两个未知数x和y，故不是一元方程． B．方程中只含未知数x，且最高次数为2，是整式方程，故是一元二次方程． C．方程化简后为，最高次数为1，故不是一元二次方程． D．方程中含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程． 故选：B． 2. 二次函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可． 【详解】解：中， ，，， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次函数图象的顶点坐标和对称轴． 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程； 把常数项移到等号右边，方程左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，再利用完全平方公式变形即可． 【详解】解：把常数项移到等号右边得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方得：， 由完全平方公式得：， 故选：D． 4. 已知的半径为，则点到圆心的距离为 （ ）时，点在外 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，熟练掌握和运用点与圆的位置关系的判定方法是解决本题的关键． 根据点与圆的位置关系，当点到圆心的距离大于半径时，点在圆外． 【详解】解：∵的半径，点在外， ∴点到圆心的距离，即， 只有选项D（）满足条件， 故选D． 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个不相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：A． 6. 函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（ ） A. （2，－1） B. （2，1） C. （－2，－1） D. （－2， 1） 【答案】B 【解析】 【详解】y＝－x2＋4x－3=，所以函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（2，1），故选B. 7. 如图, 是的直径, 是的弦, ，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，构造直角三角形是解题的关键． 连接，得出，的长度，再结合勾股定理得，即可求出的长度． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选A． 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的平移，解题关键是知道平移规律：左加右减上加下减可得．根据函数平移的规律：左加右减上加下减，即可得到答案． 【详解】解：抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为， ， 故选：D． 9. 三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据任意一个数的绝对值都是非负数和偶次方具有非负性可得：a-b=0，b-c=0，再根据三角形的判断方法即可知道该三角形的形状． 【详解】∵（a-b）2+|b-c|=0， ∴a-b=0，b-c=0， ∴a=b=c， ∴以a，b，c，为三边长的三角形是等边三角形， 故选C． 【点睛】考查了任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0、偶次方的非负性以及等边三角形的判定． 10. 某商品经过两次降价，每台零售价由3000元降到2430元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程应用，设该商品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（降价的百分率），则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：B． 二、填空题 (本大题共5小题，每小题3分, 共15分) 11. 方程的根=_________，= ________________. 【答案】 ①. 0 ②. 2 【解析】 【分析】用因式分解法求解即可得出结论． 【详解】∵x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，则x＝0或x＝2． 故答案为0，2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 12. 若点 都在二次函数 的图象上，则 的大小关系是 _________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较二次函数的函数值大小，将各点的横坐标代入二次函数解析式，求出对应的纵坐标，再比较大小即可． 【详解】解：对于点，代入二次函数，得； 对于点，代入得； 对于点，代入得． 比较得，即． 故答案为：． 13. 如图,是 的外接圆， 则 的度数是______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理．直接利用圆周角定理求解． 【详解】解：∵是 的外接圆，和都对， ∴． 故答案为：． 14. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据根与系数的关系，可知两根之和，从而求得另一个根． 【详解】解：由题意可知，， 那么有 即方程的另一个根为2． 故答案为：2． 15. 二次函数的图象如图所示， 下列结论：①；②；③；④,其中正确的结论有_______________(填序号)． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数之间的关系，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据开口方向，判断结论①；根据抛物线与轴的交点，判断结论②；根据对称轴的位置，判断结论③；根据时的函数值，判断结论④；可得出答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴，故结论①正确； 观察图像，函数与轴有两个交点， ∴，故结论②正确； ∵抛物线对称轴为直线， 即，得，即，故结论③错误； 观察图象，当时，函数值大于， 即，故结论④正确； 故正确的结论有①②④， 故答案为：①②④． 三、解答题 (本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解即可； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解: 【小问2详解】 解： 或 ， 17. 已知二次函数 （1）求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； （2）请画出该函数的大致图象． 【答案】（1）顶点坐标为；与y轴交点坐标为；与x轴交点坐标为和 （2） 二次函数图象如下： 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象是解题的关键． （1）将函数解析式化为顶点式后即可得出顶点坐标，将、分别代入函数解析式，计算求解即可； （2）通过描点法画出函数图象即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴顶点坐标为， 令得，， 则与轴的交点坐标为， 令得，， 解得或， 则与轴的交点坐标为和； 【小问2详解】 解：由（1）知，该函数图象经过点、和，顶点坐标． 18. 如图,是的直径,是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，直角三角形的两个锐角互余，含角的直角三角形，勾股定理，熟知切线的性质是解题的关键． 根据切线的性质，得出角度以及边长的等量关系，得关键信息，由含角的直角三角形边长的关系，设，则，结合由勾股定理可求出的值． 【详解】解:∵是的切线， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在中, 设，则， 由勾股定理得， 解得， ∴⊙O的半径为2， 19. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为元，若每件售价为元，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件．设每件衬衫降价元． （1）若商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元? （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 【答案】（1）每件衬衫应降价元 （2）每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，准确理解题意得出对应表达式是解题的关键． （1）根据题意列出方程，求解即可； （2）先得出盈利量和降价量的函数关系式，化为顶点式即可判断出结果． 【小问1详解】 解：根据题意得 整理得 解得（舍去），， 答：每件衬衫应降价元． 【小问2详解】 解：设每天盈利为元， ∵， ∴当时，有最大值， 答：每件衬衫降价15元时，商场平均每天盈利最多． 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接．求证：． 【答案】 证明:∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， 根据等腰三角形三线合一，是边上的中线 ∴． 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据圆周角定理，得出，再由等腰三角形三线合一即可证出． 【详解】略 21. 已知抛物线经过点,,． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 【答案】（1） （2）直线， 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，求二次函数抛物线和顶点坐标，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）由点,，设函数表达式为交点式，代入求即可； （2）先求出对称轴所在直线，再代入函数表达式即可求出顶点坐标． 【小问1详解】 解：设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴． 【小问2详解】 解：对称轴为直线 当时，， 故顶点坐标为． 22. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心坐标是，将直线向上平移个单位后恰好与相切，求的值． 【答案】的值为或． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线长定理，同角的余角相等，勾股定理等知识，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，与交于点，先证明，则，从而可得，因为直线向上平移个单位后恰好与相切，所以设平移后的直线为，与轴交于点，然后分如图，当与相切；如图，当与相切，两种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，与轴交于点，连接，与交于点， ∵半径为的的圆心坐标是， ∴与相切，记切点为，连接， ∴， ∴，， 由直线得，当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直线向上平移个单位后恰好与相切， ∴设平移后的直线为，与轴交于点， 如图，当与相切， ∵与相切， ∴， 由勾股定理得， 设， ∴， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点在平移后的直线为， ∴， 解得：； 如图，当与相切， ∵与相切， ∴， 设， ∴， 由勾股定理得， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵点在平移后的直线为， ∴， 解得：； 综上可得：的值为或． 23. 在 中， ，，，点 为边上的一个动点(点 不与点 重合)，过 作，垂足为 E，连接，将沿直线 翻折得到 ,点 落在射线上的处． （1）求证:； （2）当点与点重合时(如图1),求线段的长； （3）设，，求关于的函数解析式，并判断是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴，， ∴． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质以及翻转变换的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理以及翻转变换的性质是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． （1）根据垂直的定义得到，证明，根据相似三角形的判定定理证明即可； （2）根据勾股定理求出的长，根据相似三角形的性质得到比例式，代入计算即可； （3）分点在线段上和点在线段的延长线上两种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， 由翻转变换的性质可知， ， ∵， ∴， 即， 解得：． 【小问3详解】 解：当点在线段上时， ∵， ∴， 即， 解得：， ∵， ∴， ∴， 即关于的关系式为， 当点在线段的延长线上时，如图， ， ∴， 当点在线段上时， ∵，， ∴， 要使，只要即可， 即， 解得， 当点在线段的延长线上时，不成立， 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度华师版上学期期末考试卷 九年级数学 满分：120分 考试时间：100分钟 适用范围：华师版九年级上册 (一元二次方程、旋转、圆、概率初步、二次函数) 一、选择题 (本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的对称轴为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知的半径为，则点到圆心的距离为 （ ）时，点在外 A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 函数y＝－x2＋4x－3图象顶点坐标是（ ） A. （2，－1） B. （2，1） C. （－2，－1） D. （－2， 1） 7. 如图, 是的直径, 是的弦, ，垂足为，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则得到的新抛物线的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 三角形三边长分别为a，b，c，它们满足(a－b)2＋|b－c|＝0，则该三角形是( ) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 10. 某商品经过两次降价，每台零售价由3000元降到2430元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则可列方程为 （ ） A. B. C. D. 二、填空题 (本大题共5小题，每小题3分, 共15分) 11. 方程的根=_________，= ________________. 12. 若点 都在二次函数 的图象上，则 的大小关系是 _________ 13. 如图,是 的外接圆， 则 的度数是______ 14. 已知一元二次方程的一个根为1，则另一个根为_______． 15. 二次函数的图象如图所示， 下列结论：①；②；③；④,其中正确的结论有_______________(填序号)． 三、解答题 (本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. 解下列一元二次方程 （1） （2） 17. 已知二次函数 （1）求该函数图象的顶点坐标及与坐标轴的交点坐标； （2）请画出该函数的大致图象． 18. 如图,是的直径,是上一点，过点作的切线，交的延长线于点，若，，求的半径． 19. 某商场销售一批名牌衬衫，每件进价为元，若每件售价为元，每天可售出件．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件．设每件衬衫降价元． （1）若商场平均每天盈利元，每件衬衫应降价多少元? （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 20. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，连接．求证：． 21. 已知抛物线经过点,,． （1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的对称轴及顶点坐标． 22. 如图，在平面直角坐标系中，半径为的的圆心坐标是，将直线向上平移个单位后恰好与相切，求的值． 23. 在 中， ，，，点 为边上的一个动点(点 不与点 重合)，过 作，垂足为 E，连接，将沿直线 翻折得到 ,点 落在射线上的处． （1）求证:； （2）当点与点重合时(如图1),求线段的长； （3）设，，求关于的函数解析式，并判断是否存在这样的点，使？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $