1.5 角平分线 同步练习 2025--2026学年北师大版数学八年级下册

1.5角平分线 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 2．如图，在的外角的平分线上任取一点P，作，，垂足分别为点E、F．则与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 3．如图，在中，D为内一点，平分，，垂足为D，交于点E，．若，，则的长为（　　） A．1 B． C．2 D． 4．如图，在中，，平分交于点，平分交于点，、交于点．①；②若，则 ；③；④ ⑤．则上列说法一定正确的是（    ） A．①②④ B．①②④⑤ C．①②③④ D．①②③④⑤ 5．在正方形网格中，的位置如图所示，到两边距离相等的点应是(   ) A．点 B．点 C．点 D．点 6．如图，在四边形中，，连接，，过点D作于点P，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点E，当时，图中不相等的线段有（　　） A．和 B．和 C．和 D．和 8．如图，在中，，分别是和的平分线，，交于点D，于点F．若，，，则的面积为（    ）    A．50 B．55 C．60 D．65 9．如图，在中，，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 10．如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则的长不可能是（   ）    A． B．3 C．4 D．6 11．如图，，点为与的平分线的交点，于，若，则与两平行线之间的距离是（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 12．如图，在中，是的平分线，，，则为（　　）    A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，是的角平分线，于点于点，若的面积是，，则的面积为 ． 14．如图，已知的周长是，，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 15．如图，是外的一点，的延长线于点于点的延长线于点，连接．若，则的度数为 ． 16．如图，在中，，三角形的两个外角和的平分线交于点，则 度． 17．如图，的内角与外角的平分线相交于点，为的延长线上一点，，交于点，交于点，连结、．给出下列结论：①；②；③垂直平分；④．其中正确的是 ．（填序号） 三、解答题 18．如图，在中，分别平分和，交于点E、F．    (1)求证：； (2)过点E作于点G，若的周长为，求的面积． 19．在中，，若点在的平分线所在的直线上． (1)如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且， ①求证：点在的垂直平分线上； ②___________； (2)如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度． 20．数学活动：探究利用角的对称性构造全等三角形解决问题，利用角平分线构造“全等模型”解决问题，事半功倍. 【问题提出】 （1）尺规作图：如图①，用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图，说明的依据是，这两个三角形全等的判定条件是______． 【问题探究】 （2）①巧翻折，造全等 如图②，在中，是的角平分线，请说明． 小明在上截取．连接DE，则．请继续完成小明的解答； ②构距离，造全等 如图③，在四边形ABCD中，，，和的平分线，交于点．过点作于点．若，求点到的距离； 【问题解决】 （3）如图④，在中，，，是的两条角平分线，且，交于点．请判断与之间的数量关系，并说明理由． 21．如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 22．如图，，，于点E，交的延长线于点F． (1)求证：平分． (2)若，，求的长． 23．如图，是的角平分线，P是上一点．交于D，交于E，F是上的另一点，连接，．求证：． 24．证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．请你补全已知和求证，并写出证明过程． 已知：如图，平分，点在上，___________． 求证：___________． 《1.5角平分线》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A B A A D B C A 题号 11 12 答案 C D 1．A 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．作于H，根据角平分线的性质得到，然后根据垂线段最短求解． 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，， ∴， ∵Q为上一动点， ∴的最小值为的长，即的最小值为2． 故选：B． 2．B 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的三边关系，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．由角平分线的性质可得，再结合三角形的任意两边之和大于第三边求解即可． 【详解】解：是的平分线，，， ， ， 故选：B． 3．A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定是解题的关键． 根据平分，，证出，得到，，根据，得到，进而求得即可． 【详解】解：平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．B 【分析】设，，由角平分线的定义结合三角形内角和定理可得，再由三角形内角和定理计算即可判断①；证明，得出即可判断②；由平分，但与不一定相等即可判断③；在边上截取，连接，证明，，即可判断④；作于，于，由④可得，，推出，证明，得出，再由三角形面积公式即可判断⑤，从而得出答案． 【详解】解：①设，， ∵在中，，平分交于点，平分交于点， ∴，，， ∴， ∴，故①正确； ②∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵平分，但与不一定相等， ∴与不一定相等，故③错误； ④如图，在边上截取，连接， ， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④正确； ⑤如图，作于，于， ， 由④可得，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，故⑤正确； 综上所述，正确的有①②④⑤． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5．A 【分析】本题考查了角平分线的性质，网格与勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明平分是解题的关键．证明，则根据全等三角形的对应角相等得到，根据角平分线的性质即可求解． 【详解】解：如图，连接， 根据网格得出，， 在与中 ∴， ∴， 即平分 ∴到两边距离相等的格点应是点， 故选A 6．A 【分析】由题意可知，是的平分线，则，在中，因为，所以，则在中可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的平分线， ∴， ∵，即， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了角平分线的判定定理及直角三角形的性质，解题的关键是熟记角平分线的判定定理． 7．D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的性质，直角三角形的性质，根据垂直平分线的性质，等边对等角，角平分线的性质，直角三角形的性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键， 【详解】解：、∵的垂直平分线交于点， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵的垂直平分线交于点， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴，即平分， ∴，原选项正确，不符合题意； 、∵的垂直平分线交于点， ∴，， ∴， 在中，， ∴，原选项错误，符合题意； 故选：． 8．B 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质的综合应用以及等角对等边的应用；解题的关键是熟练掌握相关性质．过E作于M，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可求得，根据平行线和角平分线的性质易证，根据等角对等边求得，从而求得，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：过E作于M，     平分，，，， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 9．C 【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理、直角三角形的性质等知识，熟练掌握角平分线的判定定理是解题关键．根据“在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上”可得，进而可得，然后根据求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 10．A 【分析】根据余角的性质可得，即平分，作于E，则，再根据垂线段最短即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴，即平分， 作于E，则， ∵P是边上一动点，则，即， ∴的长不可能是； 故选：A．      【点睛】本题考查了直角三角形的性质和角平分线的性质，得出平分是解题的关键． 11．C 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，平行线之间的距离， 作，可知点F，O，G三点共线，再根据角平分线的性质得，可得答案． 【详解】解：过点O作，分别交于点F，G， ∴， ∴点F，O，G三点共线． ∵分别是的平分线，且， ∴， ∴， ∴与两平行线之间的距离是6． 故选：C． 12．D 【分析】本题考查的是角平分线的性质及三角形的面积公式，由角平分线的性质及三角形的面积公式作出辅助线是解答此题的关键．作于，于，由角平分线的性质可知，，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：作于，于，   是的平分线， ， ． 故选：D． 13．20 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题关键．先根据角平分线的性质定理可得，再根据可求出的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵是的角平分线，于点，于点， ∴， 设， ∵的面积是，， ∴， ∴， 解得， ∴的面积为， 故答案为：20． 14．21 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形面积公式，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，，由题意可得，再由三角形的面积公式计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，作于，于， ， ∵，分别平分和，于D，且， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】利用角平分线判定定理得出相关角的平分线，再结合三角形外角性质和角的和差关系求出的度数． 【详解】解：∵，，且， ∴点在的外角平分线上． 同理可证：∵，，且， ∴平分． ∵，，且， ∴平分． 在中，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了角平分线的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角性质，解题关键是利用角平分线的判定定理得出角平分线，再结合三角形内角和与外角性质进行角度计算． 16． 【分析】根据题意过点作三边的垂线段，根据角平分线的性质可得，，进而判定是的角平分线，根据角平分线的定义即可求得． 【详解】解：如图，过点作三边的垂线段， 三角形的两个外角和的平分线交于点E 在的角平分线上，即是的角平分线 故答案为： 【点睛】本题考查了角平分线的性质与判定，证明是的角平分线是解题的关键． 17．①③④ 【分析】结合角平分线定义和三角形外角性质可证①正确；由角平分线的性质得，再由角平分线判定可知平分，则可证，②不正确；由三线合一定理可证③正确；由及平分可证④正确． 【详解】解：平分，平分， ，， ，， 即，， ，故①正确； 如答图，过点作于点，于点，于点， 平分，平分， ， 平分， ，故②不正确； ，平分， 垂直平分，故③正确； ， ， 平分， ， ，故④正确． 综上，正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查的知识点是角平分线定义、外角性质、角平分线的判定与性质、三线合一定理、平行线性质，解题关键是熟练掌握角平分线的判定与性质． 18．(1)见解析 (2)36 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，再根据角平分线的定义可得，从而可得，可证，即可得证； （2）过点E作于点P，根据角平分线的性质可得，再根据题意可得，再利用求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， 分别平分和， ， ， ， ； （2）解：过点E作于点P， ∵分别平分和， ∴， 的周长为36， ， ．    【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、角平分线的性质及角平分线的定义、熟练掌握相关定理是解题的关键． 19．(1)①见解析；②2 (2) 【分析】()①连接，证明得到即可求证；②证明得到，即得，再根据即可求解； ()延长交于，先证明，进而证明，得到，由勾股定理可得，又可得，得到，再证明，得到，最后根据线段的和差关系即可求解． 【详解】（1）①证明：连接， ∵点在的平分线所在的直线上，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上； ②在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：延长交于， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 20．（1）；（2）①见解析；②点到的距离是；（3），理由见解析 【分析】（1）直接利用证明即可得出； （2）①根据全等三角形的判定和性质，利用三角形的外角性质即可解答； ②如图：过点作，垂足为点，利用角平分线的性质证得,即为的中点，进而求得的长即可； （3）在上截取，连接；再证明得到，；再证明，最后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：（1）证明：    根据作图可得， 又， ∴， ∴， 即； 故答案为：； （2）①在上截取．连接DE， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴． ∴； ②如图：过点作，垂足为点， 和的平分线，交于点， ，即， ，即点到的距离是； （3），理由如下： ， ， ，是的两条角平分线，且，交于点． ， ； 在上截取，连接，则， ，， ∵， ， ， ， 又， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线性质定理、三角形的外角性质以及全等三角形的判定与性质，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 21．(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 22．(1)见解析 (2)15 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）通过证明，再根据其性质得出，再根据角平分线的判定进行证明即可； （2）先证明，再根据全等三角形的性质及线段的和差进行求解即可． 【详解】（1）证明：，， ， ，， ， 在与中，， ， ， 平分； （2）由（1）知平分， ， 在和中， ， ， ， 由（1）知， ， ． 23．见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定与性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． 先根据证明，就可以得出，，就可以得出，就可以得出结论． 【详解】证明：是的角平分线，，， ，． ， ，． 在和中， ， ， ． 24．见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．结合题意补全已知和求证，证明，由全等三角形的性质可证明结论． 【详解】已知：如图，平分，点在上， ，，垂足分别为点，． 求证：． 证明：∵，， ∴； ∵在和中， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $