8.4.2 机械能守恒定律的应用 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理导学案聚焦“机械能守恒定律的应用”，衔接前期守恒条件及表达式学习，通过三种表达式对比、系统与单个物体应用策略、与动能定理比较等学习支架，引导学生掌握多物体系统、关联速度等复杂问题的分析方法。 资料以科学思维为核心，通过绳杆关联、链条液柱、弹簧问题等模型建构，培养学生科学推理能力，结合分层检测题及多种解法参考答案，强化能量观念，提升解决实际问题的能力，助力学生物理核心素养的全面发展。

8.4.2机械能守恒定律的应用 导学案-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册 学号： 班级： 姓名： 【学习目标】 1. 加深对机械能守恒条件的理解． 2. 会熟练应用机械能守恒定律解决问题． 3. 会解决多物体系统机械能守恒问题． 【活动方案】 多个物体组成的系统，如果仅仅在动能和势能之间转化时，系统机械能守恒（单个物体机械能不一定守恒），往往分别找出各个物体的势能变化，同时找出各物体的速度关系，进而利用机械能守恒定律解决问题． 机械能守恒定律有三种常见的表达式： 表达式 意义 注意事项 守恒观点 E1＝E2或 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2 系统初、末状态机械能的总和　　　　 初、末状态必须选择同一零势能面计算势能 转化观点 ΔEk＝－ΔEp 系统增加（或减少）的动能等于系统减少（或增加）的 　　　　能 应用时关键在于分清势能的减少量或增加量 转移观点 ΔEA＝－ΔEB A物体增加的机械能等于B物体减少的　　　　能 常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题 当研究对象为单个物体时，可优先考虑应用表达式Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或ΔEk＝－ΔEp来求解．当研究对象为两个物体组成的系统时：①若两个物体的重力势能都在减小（或增加），动能都在增加（或减小），可优先考虑应用表达式ΔEk＝－ΔEp来求解；②若A物体的机械能增加，B物体的机械能减少，可优先考虑用表达式ΔEA＝－ΔEB来求解． 1. 如图所示，质量为m的木块放在光滑的水平桌面上，用轻绳绕过桌边的光滑定滑轮与质量为M＝2m的砝码相连．让绳拉直后使砝码从静止开始下降h的距离，此时竖直绳长小于桌高且木块仍在桌面上，则此时砝码的速度为多大？ 2. 如图所示，质量都为m的A、B两金属环用细线相连后，分别套在两互成直角的水平光滑细杆和竖直光滑细杆上，细线长l＝0.4 m．现将细线拉直后使A和B从同一高度上由静止释放，求当运动到使细线与水平方向成30°角时，金属环A和B的速度大小．（g取10 m/s2） 总结：对于绳、杆、斜面关联物体的机械能守恒问题，应注意寻找物体间的速度关系（关联速度）、位移与高度变化量的关系． 3. 如图所示，均匀铁链长为L，平放在距地面为2L的光滑水平桌面上，其长度的 悬垂于桌面下．从静止开始释放铁链，求铁链的下端刚要着地时的速度大小． 总结：像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理．一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解． 机械能守恒定律 动能定理 表达式 E1＝E2 ΔEk＝－ΔEp ΔEA＝－ΔEB W＝ΔEk 物理意义 重力或弹力做功的过程是系统的动能与势能相互转化的过程，其他力（重力、弹力以外）所做的功是机械能变化的量度 合外力对物体做的功是动能变化的量度 应用范围 需要判断是否满足守恒条件，一般需要确定零势能面 无条件限制，不需要确定零势能面，一般选择地面为参考系 结论 能用机械能守恒定律解决的问题，一般都能用动能定理解决 能用动能定理解决的问题，不一定能用机械能守恒定律解决 提示：动能定理和机械能守恒定律都可以用来求能量或速度，但侧重不同，动能定理解决物体运动，尤其计算对该物体的做功时较简单，机械能守恒定律解决系统问题往往较简单，两者的灵活选择可以简化运算过程． 1. 如图所示的是一个横截面为半圆、半径为R的光滑柱面．一根不可伸长的细线两端分别系着物体A、B，且mA＝2mB.由图示位置从静止开始释放物体A，当物体B到达圆柱顶点时，求细线的张力对物体B所做的功．（重力加速度为g） 2. 如图所示，质量不计的硬直杆的两端分别固定质量均为m的小球A和B，它们可以绕光滑轴O在竖直面内自由转动．已知OA＝2OB＝2l，将杆从水平位置由静止释放．（重力加速度为g） (1)在杆转动到竖直位置时，小球A、B的速度大小分别为多少？ (2)在杆转动到竖直位置的过程中，杆对A球做了多少功？ 高中阶段一般从能量守恒的角度求解弹簧的弹性势能． 1. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，并且处于原长状态，现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L（未超过弹性限度），则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　) A. 圆环的机械能守恒 B. 弹簧弹性势能变化了 mgL C. 圆环下滑到最大距离时，所受合力为零 D. 圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变 2. 如图所示，半径为R的光滑半圆弧轨道与高为10R的光滑斜轨道放在同一竖直平面内，两轨道之间由一条光滑水平轨道CD相连，水平轨道与斜轨道间有一段圆弧过渡．在水平轨道上，轻质弹簧被a、b两小球挤压，处于静止状态．同时释放两个小球，a球恰好能通过圆弧轨道的最高点A，b球恰好能到达斜轨道的最高点B.已知a球质量为m1，b球质量为m2，重力加速度为g.求： (1)a球离开弹簧时的速度大小va； (2)b球离开弹簧时的速度大小vb； (3)释放小球前弹簧的弹性势能Ep. 【检测反馈】 1. 如图所示，一不可伸长的柔软轻绳跨过光滑的轻质定滑轮，绳两端各系一小球a和b.a球质量为m，静止于地面；b球质量为3m，用手托住，高度为h，此时轻绳刚好被拉紧．从静止开始释放b球，则当b球刚落地时，a球的速度为（不计空气阻力，重力加速度为g）(　　) A. 　　 B. 　　 C. D. （第1题） （第2题） （第3题） 2. 一人在指定的地点放烟花庆祝农历新年，如图所示．某一瞬间两颗烟花弹同时从盒子中飞出，烟花弹a的初速度方向竖直向上，烟花弹b的初速度方向斜向右上方，如果两颗烟花弹到达的最大高度相等，忽略空气阻力，则(　　) A. 两颗烟花弹初速度大小相等 B. 烟花弹b在最高点速度为零 C. 烟花弹b上升过程中运动的时间更长 D. 在空中运动的过程中，两颗烟花弹的速度变化率相同 3. 如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上．其上方A位置有一小球，小球从静止开始下落到B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零．不计空气阻力，则小球(　　) A. 下落至B处速度最大 B. 由A至D的过程中机械能守恒 C. 由B至C的过程中，加速度先增大后减小 D. 由A运动到D时，重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量 4. 如图所示，水平轻弹簧一端与墙相连处于自由伸长状态，质量为4 kg的木块沿光滑的水平面以5 m/s的速度开始运动并挤压弹簧，求： (1)弹簧的最大弹性势能； (2)木块被弹回速度增大到3 m/s时弹簧的弹性势能． 5. 如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的轻质细线连接，跨过固定在水平地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放（A落地时，立即烧断细线），求B上升的最大高度． 6. 如图所示，倾角为30°、足够长的光滑斜面体固定在水平地面上，顶端A点处固定有一光滑轻质定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，一端与斜面上质量为m＝2 kg的小滑块相连，另一端与光滑水平地面上质量为M＝10 kg的小车相连．开始小滑块位于斜面顶端A点处，小车位于水平地面A′点，轻绳恰好伸直且与水平地面间的夹角为30°.由静止释放小滑块，某时刻小滑块经过斜面上B点时测得速度为v＝0.5 m/s，此时小车经过水平地面B′点，轻绳与水平地面间的夹角为60°，滑块、小车和定滑轮均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2.求： (1)小车经过水平地面B′点时的速度v′的大小； (2)A、B两点间的距离L. 7. 如图所示，在长为L的轻杆中点和端点各固定一质量为m的球A、B，杆可绕轴O无摩擦地转动，使杆从水平位置无初速度释放．问当杆转到竖直位置时，杆对A、B两球分别做了多少功？（重力加速度为g） 8. 如图甲所示，半径为R的光滑半球壳固定于水平地面上，开口平面平行于地面，O为球心，质量均为m的A、B两小球用长为R的轻质硬杆连接置于球壳内，重力加速度为g. (1)求两球静止时杆对A球的作用力大小F； (2)如图乙所示，在过O的竖直平面内将B球置于开口边缘且A球紧靠壳壁，将两小球由静止释放，求两球速度最大时A球的速度大小v. 　　 甲　　　　　　　 乙 9. 如图所示，水平光滑长杆上套有一个质量为mA的小物块A，细线跨过O点的轻小光滑定滑轮一端连接小物块A，另一端悬挂质量为mB的小物块B，C为O点正下方杆上一点，滑轮到杆的距离OC＝h.开始时小物块A受到水平向左的拉力静止于P点，PO与水平方向的夹角为30°. (1)求小物块A受到的水平拉力大小； (2)撤去水平拉力，问： ①当PO与水平方向的夹角为45°时，物块A的速率是物块B的速率的几倍？ ②物块A在运动过程中的最大速度是多少？ 10. 如图所示是某城市广场喷泉喷出水柱的场景．从远处看，喷泉喷出的水柱超过了40层楼的高度；靠近看，喷管的直径约为10 cm.请你据此估计用于给喷管喷水的电动机输出功率至少有多大？（g取10 m/s2，ρ水＝1×103 kg/m3，结果保留三位有效数字） 【参考答案】 【活动方案】 活动一： 相等　势　机械 1. 砝码、木块及轻绳组成的系统在相互作用的过程中，只存在砝码、木块的动能和重力势能之间的转化，故系统的机械能守恒． 方法一：利用E2＝E1求解．设砝码开始离桌面的距离为x，取桌面所在的水平面为参考平面，则系统的初始机械能E1＝－Mgx，系统的末态机械能E2＝－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2， 由E2＝E1， 得－Mg(x＋h)＋(M＋m)v2＝－Mgx， 又M＝2m，联立解得v＝. 方法二：利用ΔEk增＝ΔEp减求解．在砝码下降h的过程中， 系统增加的动能ΔEk增＝(M＋m)v2， 系统减少的重力势能ΔEp减＝Mgh， 由ΔEk增＝ΔEp减， 得 (M＋m)v2＝Mgh， 联立解得v＝＝. 方法三：利用ΔEm增＝ΔEM减求解．在砝码下降的过程中，木块增加的机械能ΔEm增＝mv2，砝码减少的机械能ΔEM减＝Mgh－Mv2， 由ΔEm增＝ΔEM减，得 mv2＝Mgh－Mv2， 联立解得 v＝. 方法四：利用动能定理求解．设拉力对木块所做的功为W，则拉力对砝码所做的功为－W，对木块由动能定理得W＝mv2， 对砝码由动能定理得Mgh－W＝Mv2， 联立解得v＝. 方法五：利用牛顿定律及运动学关系求解．设绳中张力为T，对砝码有Mg－T＝Ma，对木块有T＝ma，砝码和木块都做匀加速直线运动，位移大小都为h，由运动学规律得2ah＝v2，联立解得v＝. 2. A释放后，在A、B运动过程中，因为A、B组成的系统的机械能与其他形式的能量之间没有相互转化，两环机械能之和是保持不变的．设当两环运动到使细线与水平方向成30°角时，A和B的速度分别为vA、vB，将vA、vB分别沿细线方向和垂直细线方向分解，如图所示． 分析可知，它们在沿细线方向上的分速度v1和v3大小相等，所以有vAsin θ＝vBcos θ， 在这一过程中A下降的高度为l sin θ，因两环组成的系统机械能守恒，则有 mgl sin θ＝mv＋mv， 联立解得vA＝ m/s，vB＝1 m/s. 3. 以整个铁链为研究对象，在铁链从静止开始运动至其下端刚要着地的整个过程中，只有重力做功，机械能守恒．但要表示整个铁链的重力势能必须把铁链分成两段，才能方便表达，取地面为零势能面，铁链初始状态的机械能 E1＝mg×2L＋mg×＝mgL， 下端刚要着地时的机械能E2＝mg·＋mv2， 由机械能守恒定律有E2＝E1， 得mg·＋mv2＝mgL， 解得铁链下端刚要着地时的速度大小为v＝. 活动二： 1. 方法一：由于圆柱面是光滑的，故系统的机械能守恒．系统重力势能的减少量 ΔEp减＝mAg－mBgR， 系统动能的增加量ΔEk增＝(mA＋mB)v2， 由ΔEp减＝ΔEk增， 得mAg－mBgR＝(mA＋mB)v2， 又 mA＝2mB， 联立以上两式得v2＝(π－1)gR， 对物体B应用动能定理，细线的张力对物体B做的功W＝mBv2＋mBgR＝mBgR. 方法二：细线在运动中没有动能和势能，也就没有动能和势能的变化，而A、B两物体给予细线的力必须大小相等，且总功为零，则设细线给予B的力做功W，细线给予A的力做功－W，对A、B分别应用动能定理， mAg－W＝mAv2－0， W－mBgR＝mBv2－0， 解得W＝mBgR. 2. (1)小球A和B及杆组成的系统机械能守恒．设转到竖直位置的瞬间A、B的速率分别为vA、vB，杆旋转的角速度为ω， 有mg×2l－mgl＝mv＋mv， vA＝2lω，vB＝lω， 联立解得vB＝，vA＝. (2)对A球，由动能定理得 mg×2l＋W＝mv， 联立解得W＝－mgl. 活动三： 1. B　圆环在下落过程中机械能减少，弹簧弹性势能增加，而圆环与弹簧组成的系统机械能守恒．圆环下落到最低点时速度为零，但是加速度不为零，即合力不为零；圆环下降高度h＝＝L，所以圆环重力势能减少了mgL，由机械能守恒定律可知，弹簧的弹性势能增加了 mgL.故B正确． 2. (1)由a球恰好能到达A点，知m1g＝m1， 由机械能守恒定律得m1v－m1v＝m1g×2R， 联立解得va＝. (2)对于b球由机械能守恒定律得m2v＝m2g×10R， 解得vb＝＝2. (3)由机械能守恒定律得Ep＝m1v＋m2v， 解得Ep＝gR. 【检测反馈】 1. A　a、b两球组成的系统机械能守恒，设b球刚落地时的速度大小为v，则整个过程中系统动能增加量Ek增＝(m＋3m)v2＝2mv2，系统重力势能的减少量Ep减＝3mgh－mgh＝2mgh，由机械能守恒定律得Ek增＝Ep减，所以2mv2＝2mgh，v＝，A正确． 2. D　烟花弹a的初速度方向竖直向上，到达最高点时速度为0，则有magh＝mv，烟花弹b的初速度方向斜向右上方，到达最高点时速度不为0，则有mbgh＝mv－mv′，联立解得v＝v－v′，所以两颗烟花弹初速度大小不相等，A错误；烟花弹b在最高点速度不为零，只是竖直方向分速度为0，B错误；根据运动的独立性原理可知，a、b在竖直方向的运动一样，所以上升的最大高度相同时，两烟花弹上升过程中运动的时间相同，所以C错误；在空中运动的过程中，两颗烟花弹的速度变化率相同，因为速度变化率等于物体的加速度，所以D正确． 3. D　小球从A至B过程，做自由落体运动，速度逐渐增大，小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球做加速运动，加速度减小，小球从C至D过程，重力小于弹力，合力向上，小球做减速运动，加速度增大，所以从A至D过程小球的动能先增大后减小，在C点动能最大，速度最大，故A、C错误；由A至B下落过程中小球只受重力，其机械能守恒，从B至D过程，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，故B错误；在D位置小球速度减小到零，小球的动能为零，则从A运动到D时，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故D正确． 4. (1)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有Epm＝mv＝×4×52 J＝50 J. (2)对弹簧和木块组成的系统由机械能守恒定律有 mv＝mv＋Ep1， 则Ep1＝mv－mv＝32 J. 5. 设B的质量为m，则A的质量为3m，A球落地前，A、B组成的系统机械能守恒， 有3mgR－mgR＝(3m＋m)v2， 解得v＝. 对B运用动能定理有 －mgh＝0－mv2， 解得h＝， 则B上升的最大高度为H＝h＋R＝. 6. (1)将小车在B′点的速度分解成沿绳向上和垂直绳向下两个方向，则有v′cos 60°＝v， 解得此时小车在水平地面B′点时的速度大小为v′＝＝1 m/s. (2)滑块和小车组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得 mgL sin 30°＝mv2＋Mv′2， 解得L＝0.525 m. 7. 设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB.如果把轻杆、两球组成的系统作为研究对象，因为机械能没有转化为其他形式的能，故系统机械能守恒，可得 mgL＋mgL＝mv＋mv， 因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同， 故vB＝2vA， 联立得vA＝，vB＝. 根据动能定理， 对A有WA＋mg·＝mv－0， 解得WA＝－mgL； 对B有WB＋mgL＝mv－0， 解得WB＝mgL. 8. (1)两球静止时杆对A球受力分析如图所示， 由平衡条件F1＝mg tan 30°， 解得F1＝mg. (2)A、B两小球和轻质硬杆组成的系统机械能守恒，两小球的速度相等，从释放到杆水平，两小球速度最大，设最大速度为v，由机械能守恒定律得mgR cos 30°＝×2mv2， 解得v＝. 9. (1)如图所示，对物块A、B进行受力分析，由平衡条件有 对B：T＝mBg， 对A：F＝T′cos 30°， T＝T′， 联立解得F＝mBg. (2)①如图所示，有vAcos θ＝vB， 当PO与水平方向的夹角为45°时，得 ＝. ②A的最大速度出现在θ＝90°时，由系统机械能守恒得mBg＝mAv， 解得vm＝. 10. 管口的圆形内径约有10 cm， 则半径r＝5 cm＝0.05 m， 根据实际情况，每层楼高约h＝3 m， 所以喷水的高度H＝40h＝120 m， 则管口处水的速度为 v＝＝ m/s＝20 m/s. 设电动机输出功率为P，在接近管口很短一段时间Δt内水柱的质量为 m＝ρvΔtS＝ρπr2vΔt， 根据动能定理可得PΔt＝mv2， 解得P＝≈4.61×105 W. 学科网（北京）股份有限公司 $